matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/multiple/cpys.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/notation/relations/psubststar_6.ma".
  16 include "basic_2A/substitution/cpy.ma".
  17
  18 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED MULTIPLE SUBSTITUTION FOR TERMS ***************)
  19
  20 definition cpys: ynat → ynat → relation4 genv lenv term term ≝
  21                  λl,m,G. LTC … (cpy l m G).
  22
  23 interpretation "context-sensitive extended multiple substritution (term)"
  24    'PSubstStar G L T1 l m T2 = (cpys l m G L T1 T2).
  25
  26 (* Basic eliminators ********************************************************)
  27
  28 lemma cpys_ind: ∀G,L,T1,l,m. ∀R:predicate term. R T1 →
  29                 (∀T,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[l, m] T2 → R T → R T2) →
  30                 ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 → R T2.
  31 #G #L #T1 #l #m #R #HT1 #IHT1 #T2 #HT12
  32 @(TC_star_ind … HT1 IHT1 … HT12) //
  33 qed-.
  34
  35 lemma cpys_ind_dx: ∀G,L,T2,l,m. ∀R:predicate term. R T2 →
  36                    (∀T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶*[l, m] T2 → R T → R T1) →
  37                    ∀T1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 → R T1.
  38 #G #L #T2 #l #m #R #HT2 #IHT2 #T1 #HT12
  39 @(TC_star_ind_dx … HT2 IHT2 … HT12) //
  40 qed-.
  41
  42 (* Basic properties *********************************************************)
  43
  44 lemma cpy_cpys: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2.
  45 /2 width=1 by inj/ qed.
  46
  47 lemma cpys_strap1: ∀G,L,T1,T,T2,l,m.
  48                    ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2.
  49 normalize /2 width=3 by step/ qed-.
  50
  51 lemma cpys_strap2: ∀G,L,T1,T,T2,l,m.
  52                    ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T → ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶*[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2.
  53 normalize /2 width=3 by TC_strap/ qed-.
  54
  55 lemma lsuby_cpys_trans: ∀G,l,m. lsub_trans … (cpys l m G) (lsuby l m).
  56 /3 width=5 by lsuby_cpy_trans, LTC_lsub_trans/
  57 qed-.
  58
  59 lemma cpys_refl: ∀G,L,l,m. reflexive … (cpys l m G L).
  60 /2 width=1 by cpy_cpys/ qed.
  61
  62 lemma cpys_bind: ∀G,L,V1,V2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[l, m] V2 →
  63                  ∀I,T1,T2. ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ▶*[⫯l, m] T2 →
  64                  ∀a. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ▶*[l, m] ⓑ{a,I}V2.T2.
  65 #G #L #V1 #V2 #l #m #HV12 @(cpys_ind … HV12) -V2
  66 [ #I #T1 #T2 #HT12 @(cpys_ind … HT12) -T2 /3 width=5 by cpys_strap1, cpy_bind/
  67 | /3 width=5 by cpys_strap1, cpy_bind/
  68 ]
  69 qed.
  70
  71 lemma cpys_flat: ∀G,L,V1,V2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[l, m] V2 →
  72                  ∀T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 →
  73                  ∀I. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.T1 ▶*[l, m] ⓕ{I}V2.T2.
  74 #G #L #V1 #V2 #l #m #HV12 @(cpys_ind … HV12) -V2
  75 [ #T1 #T2 #HT12 @(cpys_ind … HT12) -T2 /3 width=5 by cpys_strap1, cpy_flat/
  76 | /3 width=5 by cpys_strap1, cpy_flat/
  77 qed.
  78
  79 lemma cpys_weak: ∀G,L,T1,T2,l1,m1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l1, m1] T2 →
  80                  ∀l2,m2. l2 ≤ l1 → l1 + m1 ≤ l2 + m2 →
  81                  ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l2, m2] T2.
  82 #G #L #T1 #T2 #l1 #m1 #H #l1 #l2 #Hl21 #Hlm12 @(cpys_ind … H) -T2
  83 /3 width=7 by cpys_strap1, cpy_weak/
  84 qed-.
  85
  86 lemma cpys_weak_top: ∀G,L,T1,T2,l,m.
  87                      ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, |L| - l] T2.
  88 #G #L #T1 #T2 #l #m #H @(cpys_ind … H) -T2
  89 /3 width=4 by cpys_strap1, cpy_weak_top/
  90 qed-.
  91
  92 lemma cpys_weak_full: ∀G,L,T1,T2,l,m.
  93                       ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[0, |L|] T2.
  94 #G #L #T1 #T2 #l #m #H @(cpys_ind … H) -T2
  95 /3 width=5 by cpys_strap1, cpy_weak_full/
  96 qed-.
  97
  98 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  99
 100 lemma cpys_fwd_up: ∀G,L,U1,U2,lt,mt. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶*[lt, mt] U2 →
 101                    ∀T1,l,m. ⬆[l, m] T1 ≡ U1 →
 102                    l ≤ lt → l + m ≤ lt + mt →
 103                    ∃∃T2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶*[l+m, lt+mt-(l+m)] U2 & ⬆[l, m] T2 ≡ U2.
 104 #G #L #U1 #U2 #lt #mt #H #T1 #l #m #HTU1 #Hllt #Hlmlmt @(cpys_ind … H) -U2
 105 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 106 | -HTU1 #U #U2 #_ #HU2 * #T #HU1 #HTU
 107   elim (cpy_fwd_up … HU2 … HTU) -HU2 -HTU /3 width=3 by cpys_strap1, ex2_intro/
 108 ]
 109 qed-.
 110
 111 lemma cpys_fwd_tw: ∀G,L,T1,T2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 → ♯{T1} ≤ ♯{T2}.
 112 #G #L #T1 #T2 #l #m #H @(cpys_ind … H) -T2 //
 113 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 lapply (cpy_fwd_tw … HT2) -HT2
 114 /2 width=3 by transitive_le/
 115 qed-.
 116
 117 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
 118
 119 (* Note: this can be derived from cpys_inv_atom1 *)
 120 lemma cpys_inv_sort1: ∀G,L,T2,k,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ▶*[l, m] T2 → T2 = ⋆k.
 121 #G #L #T2 #k #l #m #H @(cpys_ind … H) -T2 //
 122 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 destruct
 123 >(cpy_inv_sort1 … HT2) -HT2 //
 124 qed-.
 125
 126 (* Note: this can be derived from cpys_inv_atom1 *)
 127 lemma cpys_inv_gref1: ∀G,L,T2,p,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ▶*[l, m] T2 → T2 = §p.
 128 #G #L #T2 #p #l #m #H @(cpys_ind … H) -T2 //
 129 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 destruct
 130 >(cpy_inv_gref1 … HT2) -HT2 //
 131 qed-.
 132
 133 lemma cpys_inv_bind1: ∀a,I,G,L,V1,T1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ▶*[l, m] U2 →
 134                       ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[l, m] V2 &
 135                                ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ▶*[⫯l, m] T2 &
 136                                U2 = ⓑ{a,I}V2.T2.
 137 #a #I #G #L #V1 #T1 #U2 #l #m #H @(cpys_ind … H) -U2
 138 [ /2 width=5 by ex3_2_intro/
 139 | #U #U2 #_ #HU2 * #V #T #HV1 #HT1 #H destruct
 140   elim (cpy_inv_bind1 … HU2) -HU2 #V2 #T2 #HV2 #HT2 #H
 141   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V1) ?) -HT2
 142   /3 width=5 by cpys_strap1, lsuby_succ, ex3_2_intro/
 143 ]
 144 qed-.
 145
 146 lemma cpys_inv_flat1: ∀I,G,L,V1,T1,U2,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.T1 ▶*[l, m] U2 →
 147                       ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ▶*[l, m] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, m] T2 &
 148                                U2 = ⓕ{I}V2.T2.
 149 #I #G #L #V1 #T1 #U2 #l #m #H @(cpys_ind … H) -U2
 150 [ /2 width=5 by ex3_2_intro/
 151 | #U #U2 #_ #HU2 * #V #T #HV1 #HT1 #H destruct
 152   elim (cpy_inv_flat1 … HU2) -HU2
 153   /3 width=5 by cpys_strap1, ex3_2_intro/
 154 ]
 155 qed-.
 156
 157 lemma cpys_inv_refl_O2: ∀G,L,T1,T2,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶*[l, 0] T2 → T1 = T2.
 158 #G #L #T1 #T2 #l #H @(cpys_ind … H) -T2 //
 159 #T #T2 #_ #HT2 #IHT1 <(cpy_inv_refl_O2 … HT2) -HT2 //
 160 qed-.
 161
 162 lemma cpys_inv_lift1_eq: ∀G,L,U1,U2. ∀l,m:nat.
 163                          ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ▶*[l, m] U2 → ∀T1. ⬆[l, m] T1 ≡ U1 → U1 = U2.
 164 #G #L #U1 #U2 #l #m #H #T1 #HTU1 @(cpys_ind … H) -U2
 165 /2 width=7 by cpy_inv_lift1_eq/
 166 qed-.