matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/multiple/llpx_sn_alt_rec.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/and_4.ma".
  16 include "basic_2A/substitution/lift_neg.ma".
  17 include "basic_2A/substitution/drop_drop.ma".
  18 include "basic_2A/multiple/llpx_sn.ma".
  19
  20 (* LAZY SN POINTWISE EXTENSION OF A CONTEXT-SENSITIVE REALTION FOR TERMS ****)
  21
  22 (* alternative definition of llpx_sn (recursive) *)
  23 inductive llpx_sn_alt_r (R:relation3 lenv term term): relation4 ynat term lenv lenv ≝
  24 | llpx_sn_alt_r_intro: ∀L1,L2,T,l.
  25                        (∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
  26                           ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 → I1 = I2 ∧ R K1 V1 V2
  27                        ) →
  28                        (∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
  29                           ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 → llpx_sn_alt_r R 0 V1 K1 K2
  30                        ) → |L1| = |L2| → llpx_sn_alt_r R l T L1 L2
  31 .
  32
  33 (* Compact definition of llpx_sn_alt_r **************************************)
  34
  35 lemma llpx_sn_alt_r_intro_alt: ∀R,L1,L2,T,l. |L1| = |L2| →
  36                                (∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
  37                                  ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
  38                                  ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn_alt_r R 0 V1 K1 K2
  39                                ) → llpx_sn_alt_r R l T L1 L2.
  40 #R #L1 #L2 #T #l #HL12 #IH @llpx_sn_alt_r_intro // -HL12
  41 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
  42 elim (IH … HnT HLK1 HLK2) -IH -HnT -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by conj/
  43 qed.
  44
  45 lemma llpx_sn_alt_r_ind_alt: ∀R. ∀S:relation4 ynat term lenv lenv.
  46                              (∀L1,L2,T,l. |L1| = |L2| → (
  47                                 ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
  48                                 ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
  49                                 ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn_alt_r R 0 V1 K1 K2 & S 0 V1 K1 K2
  50                              ) → S l T L1 L2) →
  51                              ∀L1,L2,T,l. llpx_sn_alt_r R l T L1 L2 → S l T L1 L2.
  52 #R #S #IH #L1 #L2 #T #l #H elim H -L1 -L2 -T -l
  53 #L1 #L2 #T #l #H1 #H2 #HL12 #IH2 @IH -IH // -HL12
  54 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
  55 elim (H1 … HnT HLK1 HLK2) -H1 /4 width=8 by and4_intro/
  56 qed-.
  57
  58 lemma llpx_sn_alt_r_inv_alt: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn_alt_r R l T L1 L2 →
  59                              |L1| = |L2| ∧
  60                              ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
  61                                ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
  62                              ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn_alt_r R 0 V1 K1 K2.
  63 #R #L1 #L2 #T #l #H @(llpx_sn_alt_r_ind_alt … H) -L1 -L2 -T -l
  64 #L1 #L2 #T #l #HL12 #IH @conj // -HL12
  65 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
  66 elim (IH … HnT HLK1 HLK2) -IH -HnT -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by and3_intro/
  67 qed-.
  68
  69 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  70
  71 lemma llpx_sn_alt_r_inv_flat: ∀R,I,L1,L2,V,T,l. llpx_sn_alt_r R l (ⓕ{I}V.T) L1 L2 →
  72                               llpx_sn_alt_r R l V L1 L2 ∧ llpx_sn_alt_r R l T L1 L2.
  73 #R #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … H) -H
  74 #HL12 #IH @conj @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
  75 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hli #H #HLK1 #HLK2
  76 elim (IH … HLK1 HLK2) -IH -HLK1 -HLK2 //
  77 /3 width=8 by nlift_flat_sn, nlift_flat_dx, and3_intro/
  78 qed-.
  79
  80 lemma llpx_sn_alt_r_inv_bind: ∀R,a,I,L1,L2,V,T,l. llpx_sn_alt_r R l (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 →
  81                               llpx_sn_alt_r R l V L1 L2 ∧ llpx_sn_alt_r R (↑l) T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V).
  82 #R #a #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … H) -H
  83 #HL12 #IH @conj @llpx_sn_alt_r_intro_alt [1,3: normalize // ] -HL12
  84 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hli #H #HLK1 #HLK2
  85 [ elim (IH … HLK1 HLK2) -IH -HLK1 -HLK2
  86   /3 width=9 by nlift_bind_sn, and3_intro/
  87 | lapply (yle_inv_succ_sn_lt … Hli) -Hli * #Hli #Hi
  88   lapply (drop_inv_drop1_lt … HLK1 ?) -HLK1 /2 width=1 by ylt_inv_inj/ #HLK1
  89   lapply (drop_inv_drop1_lt … HLK2 ?) -HLK2 /2 width=1 by ylt_inv_inj/ #HLK2
  90   elim (IH … HLK1 HLK2) -IH -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by yle_plus_dx1_trans, and3_intro/
  91   @nlift_bind_dx <plus_minus_m_m /2 width=2 by ylt_inv_inj/
  92 ]
  93 qed-.
  94
  95 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  96
  97 lemma llpx_sn_alt_r_fwd_length: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn_alt_r R l T L1 L2 → |L1| = |L2|.
  98 #R #L1 #L2 #T #l #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … H) -H //
  99 qed-.
 100
 101 lemma llpx_sn_alt_r_fwd_lref: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn_alt_r R l (#i) L1 L2 →
 102                               ∨∨ |L1| ≤ i ∧ |L2| ≤ i
 103                                | yinj i < l
 104                                | ∃∃I,K1,K2,V1,V2. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 &
 105                                                   ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 &
 106                                                   llpx_sn_alt_r R (yinj 0) V1 K1 K2 &
 107                                                   R K1 V1 V2 & l ≤ yinj i.
 108 #R #L1 #L2 #l #i #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … H) -H
 109 #HL12 #IH elim (lt_or_ge i (|L1|)) /3 width=1 by or3_intro0, conj/
 110 elim (ylt_split i l) /3 width=1 by or3_intro1/
 111 #Hli #HL1 elim (drop_O1_lt (Ⓕ) … HL1)
 112 #I1 #K1 #V1 #HLK1 elim (drop_O1_lt (Ⓕ) L2 i) //
 113 #I2 #K2 #V2 #HLK2 elim (IH … HLK1 HLK2) -IH
 114 /3 width=9 by nlift_lref_be_SO, or3_intro2, ex5_5_intro/
 115 qed-.
 116
 117 (* Basic properties *********************************************************)
 118
 119 lemma llpx_sn_alt_r_sort: ∀R,L1,L2,l,k. |L1| = |L2| → llpx_sn_alt_r R l (⋆k) L1 L2.
 120 #R #L1 #L2 #l #k #HL12 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 121 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #_ #H elim (H (⋆k)) //
 122 qed.
 123
 124 lemma llpx_sn_alt_r_gref: ∀R,L1,L2,l,p. |L1| = |L2| → llpx_sn_alt_r R l (§p) L1 L2.
 125 #R #L1 #L2 #l #p #HL12 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 126 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #_ #H elim (H (§p)) //
 127 qed.
 128
 129 lemma llpx_sn_alt_r_skip: ∀R,L1,L2,l,i. |L1| = |L2| → yinj i < l → llpx_sn_alt_r R l (#i) L1 L2.
 130 #R #L1 #L2 #l #i #HL12 #Hil @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 131 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #j #Hlj #H elim (H (#i)) -H
 132 /4 width=3 by lift_lref_lt, ylt_yle_trans, ylt_inv_inj/
 133 qed.
 134
 135 lemma llpx_sn_alt_r_free: ∀R,L1,L2,l,i. |L1| ≤ i → |L2| ≤ i → |L1| = |L2| →
 136                           llpx_sn_alt_r R l (#i) L1 L2.
 137 #R #L1 #L2 #l #i #HL1 #_ #HL12 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 138 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #j #_ #H #HLK1 elim (H (#(i-1))) -H
 139 lapply (drop_fwd_length_lt2 … HLK1) -HLK1
 140 /3 width=3 by lift_lref_ge_minus, lt_to_le_to_lt/
 141 qed.
 142
 143 lemma llpx_sn_alt_r_lref: ∀R,I,L1,L2,K1,K2,V1,V2,l,i. l ≤ yinj i →
 144                           ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
 145                           llpx_sn_alt_r R 0 V1 K1 K2 → R K1 V1 V2 →
 146                           llpx_sn_alt_r R l (#i) L1 L2.
 147 #R #I #L1 #L2 #K1 #K2 #V1 #V2 #l #i #Hli #HLK1 #HLK2 #HK12 #HV12 @llpx_sn_alt_r_intro_alt
 148 [ lapply (llpx_sn_alt_r_fwd_length … HK12) -HK12 #HK12
 149   @(drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2) normalize //
 150 | #Z1 #Z2 #Y1 #Y2 #X1 #X2 #j #Hlj #H #HLY1 #HLY2
 151   elim (lt_or_eq_or_gt i j) #Hij destruct
 152   [ elim (H (#i)) -H /2 width=1 by lift_lref_lt/
 153   | lapply (drop_mono … HLY1 … HLK1) -HLY1 -HLK1 #H destruct
 154     lapply (drop_mono … HLY2 … HLK2) -HLY2 -HLK2 #H destruct /2 width=1 by and3_intro/
 155   | elim (H (#(i-1))) -H /2 width=1 by lift_lref_ge_minus/
 156   ]
 157 ]
 158 qed.
 159
 160 lemma llpx_sn_alt_r_flat: ∀R,I,L1,L2,V,T,l.
 161                           llpx_sn_alt_r R l V L1 L2 → llpx_sn_alt_r R l T L1 L2 →
 162                           llpx_sn_alt_r R l (ⓕ{I}V.T) L1 L2.
 163 #R #I #L1 #L2 #V #T #l #HV #HT
 164 elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … HV) -HV #HL12 #IHV
 165 elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … HT) -HT #_ #IHT
 166 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 167 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hli #HnVT #HLK1 #HLK2
 168 elim (nlift_inv_flat … HnVT) -HnVT #H
 169 [ elim (IHV … HLK1 … HLK2) -IHV /2 width=2 by and3_intro/
 170 | elim (IHT … HLK1 … HLK2) -IHT /3 width=2 by and3_intro/
 171 ]
 172 qed.
 173
 174 lemma llpx_sn_alt_r_bind: ∀R,a,I,L1,L2,V,T,l.
 175                           llpx_sn_alt_r R l V L1 L2 →
 176                           llpx_sn_alt_r R (↑l) T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) →
 177                           llpx_sn_alt_r R l (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2.
 178 #R #a #I #L1 #L2 #V #T #l #HV #HT
 179 elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … HV) -HV #HL12 #IHV
 180 elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … HT) -HT #_ #IHT
 181 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 182 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hli #HnVT #HLK1 #HLK2
 183 elim (nlift_inv_bind … HnVT) -HnVT #H
 184 [ elim (IHV … HLK1 … HLK2) -IHV /2 width=2 by and3_intro/
 185 | elim IHT -IHT /2 width=12 by drop_drop, yle_succ, and3_intro/
 186 ]
 187 qed.
 188
 189 (* Main properties **********************************************************)
 190
 191 theorem llpx_sn_lpx_sn_alt_r: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn R l T L1 L2 → llpx_sn_alt_r R l T L1 L2.
 192 #R #L1 #L2 #T #l #H elim H -L1 -L2 -T -l
 193 /2 width=9 by llpx_sn_alt_r_sort, llpx_sn_alt_r_gref, llpx_sn_alt_r_skip, llpx_sn_alt_r_free, llpx_sn_alt_r_lref, llpx_sn_alt_r_flat, llpx_sn_alt_r_bind/
 194 qed.
 195
 196 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
 197
 198 theorem llpx_sn_alt_r_inv_lpx_sn: ∀R,T,L1,L2,l. llpx_sn_alt_r R l T L1 L2 → llpx_sn R l T L1 L2.
 199 #R #T #L1 @(f2_ind … rfw … L1 T) -L1 -T #x #IH #L1 * *
 200 [1,3: /3 width=4 by llpx_sn_alt_r_fwd_length, llpx_sn_gref, llpx_sn_sort/
 201 | #i #Hx #L2 #l #H lapply (llpx_sn_alt_r_fwd_length … H)
 202   #HL12 elim (llpx_sn_alt_r_fwd_lref … H) -H
 203   [ * /2 width=1 by llpx_sn_free/
 204   | /2 width=1 by llpx_sn_skip/
 205   | * /4 width=9 by llpx_sn_lref, drop_fwd_rfw/
 206   ]
 207 | #a #I #V #T #Hx #L2 #l #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_bind … H) -H
 208   /3 width=1 by llpx_sn_bind/
 209 | #I #V #T #Hx #L2 #l #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_flat … H) -H
 210   /3 width=1 by llpx_sn_flat/
 211 ]
 212 qed-.
 213
 214 (* Alternative definition of llpx_sn (recursive) ****************************)
 215
 216 lemma llpx_sn_intro_alt_r: ∀R,L1,L2,T,l. |L1| = |L2| →
 217                            (∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
 218                               ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
 219                               ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2
 220                            ) → llpx_sn R l T L1 L2.
 221 #R #L1 #L2 #T #l #HL12 #IH @llpx_sn_alt_r_inv_lpx_sn
 222 @llpx_sn_alt_r_intro_alt // -HL12
 223 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
 224 elim (IH … HnT HLK1 HLK2) -IH -HnT -HLK1 -HLK2 /3 width=1 by llpx_sn_lpx_sn_alt_r, and3_intro/
 225 qed.
 226
 227 lemma llpx_sn_ind_alt_r: ∀R. ∀S:relation4 ynat term lenv lenv.
 228                          (∀L1,L2,T,l. |L1| = |L2| → (
 229                             ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
 230                             ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
 231                             ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & S 0 V1 K1 K2
 232                          ) → S l T L1 L2) →
 233                          ∀L1,L2,T,l. llpx_sn R l T L1 L2 → S l T L1 L2.
 234 #R #S #IH1 #L1 #L2 #T #l #H lapply (llpx_sn_lpx_sn_alt_r … H) -H
 235 #H @(llpx_sn_alt_r_ind_alt … H) -L1 -L2 -T -l
 236 #L1 #L2 #T #l #HL12 #IH2 @IH1 -IH1 // -HL12
 237 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
 238 elim (IH2 … HnT HLK1 HLK2) -IH2 -HnT -HLK1 -HLK2 /3 width=1 by llpx_sn_alt_r_inv_lpx_sn, and4_intro/
 239 qed-.
 240
 241 lemma llpx_sn_inv_alt_r: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn R l T L1 L2 →
 242                          |L1| = |L2| ∧
 243                          ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2,i. l ≤ yinj i → (∀U. ⬆[i, 1] U ≡ T → ⊥) →
 244                          ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
 245                          ∧∧ I1 = I2 & R K1 V1 V2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2.
 246 #R #L1 #L2 #T #l #H lapply (llpx_sn_lpx_sn_alt_r … H) -H
 247 #H elim (llpx_sn_alt_r_inv_alt … H) -H
 248 #HL12 #IH @conj //
 249 #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #i #Hil #HnT #HLK1 #HLK2
 250 elim (IH … HnT HLK1 HLK2) -IH -HnT -HLK1 -HLK2 /3 width=1 by llpx_sn_alt_r_inv_lpx_sn, and3_intro/
 251 qed-.