matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/multiple/llpx_sn_drop.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/ex_4_2.ma".
  16 include "basic_2A/substitution/drop_drop.ma".
  17 include "basic_2A/multiple/llpx_sn_lreq.ma".
  18
  19 (* LAZY SN POINTWISE EXTENSION OF A CONTEXT-SENSITIVE REALTION FOR TERMS ****)
  20
  21 (* Advanced forward lemmas **************************************************)
  22
  23 lemma llpx_sn_fwd_lref_dx: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 →
  24                            ∀I,K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  25                            i < l ∨
  26                            ∃∃K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 &
  27                                     R K1 V1 V2 & l ≤ i.
  28 #R #L1 #L2 #l #i #H #I #K2 #V2 #HLK2 elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [ * || * ]
  29 [ #_ #H elim (lt_refl_false i)
  30   lapply (drop_fwd_length_lt2 … HLK2) -HLK2
  31   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  32 | /2 width=1 by or_introl/
  33 | #I #K11 #K22 #V11 #V22 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #Hli
  34   lapply (drop_mono … HLK22 … HLK2) -L2 #H destruct
  35   /3 width=5 by ex4_2_intro, or_intror/
  36 ]
  37 qed-.
  38
  39 lemma llpx_sn_fwd_lref_sn: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 →
  40                            ∀I,K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  41                            i < l ∨
  42                            ∃∃K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 &
  43                                     R K1 V1 V2 & l ≤ i.
  44 #R #L1 #L2 #l #i #H #I #K1 #V1 #HLK1 elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [ * || * ]
  45 [ #H #_ elim (lt_refl_false i)
  46   lapply (drop_fwd_length_lt2 … HLK1) -HLK1
  47   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  48 | /2 width=1 by or_introl/
  49 | #I #K11 #K22 #V11 #V22 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #Hli
  50   lapply (drop_mono … HLK11 … HLK1) -L1 #H destruct
  51   /3 width=5 by ex4_2_intro, or_intror/
  52 ]
  53 qed-.
  54
  55 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  56
  57 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_dx: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  58                               ∀I,K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  59                               ∃∃K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 &
  60                                        llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  61 #R #L1 #L2 #l #i #H #Hli #I #K2 #V2 #HLK2 elim (llpx_sn_fwd_lref_dx … H … HLK2) -L2
  62 [ #H elim (ylt_yle_false … H Hli)
  63 | * /2 width=5 by ex3_2_intro/
  64 ]
  65 qed-.
  66
  67 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_sn: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  68                               ∀I,K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  69                               ∃∃K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 &
  70                                        llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  71 #R #L1 #L2 #l #i #H #Hli #I #K1 #V1 #HLK1 elim (llpx_sn_fwd_lref_sn … H … HLK1) -L1
  72 [ #H elim (ylt_yle_false … H Hli)
  73 | * /2 width=5 by ex3_2_intro/
  74 ]
  75 qed-.
  76
  77 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_bi: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  78                               ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2.
  79                               ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
  80                               ∧∧ I1 = I2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  81 #R #L1 #L2 #l #i #HL12 #Hli #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #HLK1 #HLK2
  82 elim (llpx_sn_inv_lref_ge_sn … HL12 … HLK1) // -L1 -l
  83 #J #Y #HY lapply (drop_mono … HY … HLK2) -L2 -i #H destruct /2 width=1 by and3_intro/
  84 qed-.
  85
  86 fact llpx_sn_inv_S_aux: ∀R,L1,L2,T,l0. llpx_sn R l0 T L1 L2 → ∀l. l0 = l + 1 →
  87                         ∀K1,K2,I,V1,V2. ⬇[l] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 → ⬇[l] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  88                         llpx_sn R 0 V1 K1 K2 → R K1 V1 V2 → llpx_sn R l T L1 L2.
  89 #R #L1 #L2 #T #l0 #H elim H -L1 -L2 -T -l0
  90 /2 width=1 by llpx_sn_gref, llpx_sn_free, llpx_sn_sort/
  91 [ #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil #l #H #K1 #K2 #I #V1 #V2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HV12 destruct
  92   elim (yle_split_eq i l) /2 width=1 by llpx_sn_skip, ylt_fwd_succ2/ -HL12 -Hil
  93   #H destruct /2 width=9 by llpx_sn_lref/
  94 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hl0i #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #_ #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #_ #_ #_ #_ destruct
  95   /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_pred_sn/
  96 | #a #I #L1 #L2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HW12 destruct
  97   /4 width=9 by llpx_sn_bind, drop_drop/
  98 | #I #L1 #L2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HW12 destruct
  99   /3 width=9 by llpx_sn_flat/
 100 ]
 101 qed-.
 102
 103 lemma llpx_sn_inv_S: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn R (l + 1) T L1 L2 →
 104                      ∀K1,K2,I,V1,V2. ⬇[l] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 → ⬇[l] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
 105                      llpx_sn R 0 V1 K1 K2 → R K1 V1 V2 → llpx_sn R l T L1 L2.
 106 /2 width=9 by llpx_sn_inv_S_aux/ qed-.
 107
 108 lemma llpx_sn_inv_bind_O: ∀R. (∀L. reflexive … (R L)) →
 109                           ∀a,I,L1,L2,V,T. llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 →
 110                           llpx_sn R 0 V L1 L2 ∧ llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V).
 111 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_inv_bind … H) -H
 112 /3 width=9 by drop_pair, conj, llpx_sn_inv_S/
 113 qed-.
 114
 115 (* More advanced forward lemmas *********************************************)
 116
 117 lemma llpx_sn_fwd_bind_O_dx: ∀R. (∀L. reflexive … (R L)) →
 118                              ∀a,I,L1,L2,V,T. llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 →
 119                              llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V).
 120 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_inv_bind_O … H) -H //
 121 qed-.
 122
 123 (* Advanced properties ******************************************************)
 124
 125 lemma llpx_sn_bind_repl_O: ∀R,I,L1,L2,V1,V2,T. llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V1) (L2.ⓑ{I}V2) →
 126                            ∀J,W1,W2. llpx_sn R 0 W1 L1 L2 → R L1 W1 W2 → llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{J}W1) (L2.ⓑ{J}W2).
 127 /3 width=9 by llpx_sn_bind_repl_SO, llpx_sn_inv_S/ qed-.
 128
 129 lemma llpx_sn_dec: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 130                    ∀T,L1,L2,l. Decidable (llpx_sn R l T L1 L2).
 131 #R #HR #T #L1 @(f2_ind … rfw … L1 T) -L1 -T
 132 #x #IH #L1 * *
 133 [ #k #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_sort/
 134 | #i #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|))
 135   [ #HL12 #l elim (ylt_split i l) /3 width=1 by llpx_sn_skip, or_introl/
 136     #Hli elim (lt_or_ge i (|L1|)) #HiL1
 137     elim (lt_or_ge i (|L2|)) #HiL2 /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_free/
 138     elim (drop_O1_lt (Ⓕ) … HiL2) #I2 #K2 #V2 #HLK2
 139     elim (drop_O1_lt (Ⓕ) … HiL1) #I1 #K1 #V1 #HLK1
 140     elim (eq_bind2_dec I2 I1)
 141     [ #H2 elim (HR K1 V1 V2) -HR
 142       [ #H3 elim (IH K1 V1 … K2 0) destruct
 143         /3 width=9 by llpx_sn_lref, drop_fwd_rfw, or_introl/
 144       ]
 145     ]
 146     -IH #H3 @or_intror
 147     #H elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [1,3,4,6,7,9: * ]
 148     [1,3,5: /3 width=4 by lt_to_le_to_lt, lt_refl_false/
 149     |7,8,9: /2 width=4 by ylt_yle_false/
 150     ]
 151     #Z #Y1 #Y2 #X1 #X2 #HLY1 #HLY2 #HY12 #HX12
 152     lapply (drop_mono … HLY1 … HLK1) -HLY1 -HLK1
 153     lapply (drop_mono … HLY2 … HLK2) -HLY2 -HLK2
 154     #H #H0 destruct /2 width=1 by/
 155   ]
 156 | #p #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_gref/
 157 | #a #I #V #T #Hx #L2 #l destruct
 158   elim (IH L1 V … L2 l) /2 width=1 by/
 159   elim (IH (L1.ⓑ{I}V) T … (L2.ⓑ{I}V) (↑l)) -IH /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_bind/
 160   #H1 #H2 @or_intror
 161   #H elim (llpx_sn_inv_bind … H) -H /2 width=1 by/
 162 | #I #V #T #Hx #L2 #l destruct
 163   elim (IH L1 V … L2 l) /2 width=1 by/
 164   elim (IH L1 T … L2 l) -IH /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_flat/
 165   #H1 #H2 @or_intror
 166   #H elim (llpx_sn_inv_flat … H) -H /2 width=1 by/
 167 ]
 168 -x /4 width=4 by llpx_sn_fwd_length, or_intror/
 169 qed-.
 170
 171 (* Properties on relocation *************************************************)
 172
 173 lemma llpx_sn_lift_le: ∀R. d_liftable R →
 174                        ∀K1,K2,T,l0. llpx_sn R l0 T K1 K2 →
 175                        ∀L1,L2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 176                        ∀U. ⬆[l, m] T ≡ U → l0 ≤ l → llpx_sn R l0 U L1 L2.
 177 #R #HR #K1 #K2 #T #l0 #H elim H -K1 -K2 -T -l0
 178 [ #K1 #K2 #l0 #k #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 179   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 180   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 181 | #K1 #K2 #l0 #i #HK12 #Hil0 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 182   * #Hli #H destruct
 183   [ lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 184     /2 width=1 by llpx_sn_skip/
 185   | elim (ylt_yle_false … Hil0) -L1 -L2 -K1 -K2 -m -Hil0
 186     /3 width=3 by yle_trans, yle_inj/
 187   ]
 188 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hil0 #HK11 #HK22 #HK12 #HV12 #IHK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 189   * #Hli #H destruct [ -HK12 | -IHK12 ]
 190   [ elim (drop_trans_lt … HLK1 … HK11) // -K1
 191     elim (drop_trans_lt … HLK2 … HK22) // -Hli -K2
 192     /3 width=18 by llpx_sn_lref/
 193   | lapply (drop_trans_ge_comm … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 194     lapply (drop_trans_ge_comm … HLK2 … HK22 ?) // -Hli -Hl0 -K2
 195     /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_plus_dx1_trans/
 196   ]
 197 | #K1 #K2 #l0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 198   * #Hil #H destruct
 199   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 200   [ /3 width=7 by llpx_sn_free, drop_fwd_be/
 201   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 202     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 203     @llpx_sn_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hil -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 204   ]
 205 | #K1 #K2 #l0 #p #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 206   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l -m
 207   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 208 | #a #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 209   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 210 | #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 211   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 212 ]
 213 qed-.
 214
 215 lemma llpx_sn_lift_ge: ∀R,K1,K2,T,l0. llpx_sn R l0 T K1 K2 →
 216                        ∀L1,L2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 217                        ∀U. ⬆[l, m] T ≡ U → l ≤ l0 → llpx_sn R (l0+m) U L1 L2.
 218 #R #K1 #K2 #T #l0 #H elim H -K1 -K2 -T -l0
 219 [ #K1 #K2 #l0 #k #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 220   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 221   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 222 | #K1 #K2 #l0 #i #HK12 #Hil0 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 223   * #_ #H destruct
 224   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2
 225   [ /3 width=3 by llpx_sn_skip, ylt_plus_dx1_trans/
 226   | /3 width=3 by llpx_sn_skip, monotonic_ylt_plus_dx/
 227   ]
 228 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hil0 #HK11 #HK22 #HK12 #HV12 #_ #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 229   * #Hil #H destruct
 230   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K1 -K2 -K11 -K22 -V1 -V2 -m -Hil0
 231     /3 width=3 by ylt_yle_trans, ylt_inj/
 232   | lapply (drop_trans_ge_comm … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 233     lapply (drop_trans_ge_comm … HLK2 … HK22 ?) // -Hil -Hl0 -K2
 234     /3 width=9 by llpx_sn_lref, monotonic_yle_plus_dx/
 235   ]
 236 | #K1 #K2 #l0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 237   * #Hil #H destruct
 238   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 239   [ /3 width=7 by llpx_sn_free, drop_fwd_be/
 240   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 241     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 242     @llpx_sn_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hil -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 243   ]
 244 | #K1 #K2 #l0 #p #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 245   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 246   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 247 | #a #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 248   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=5 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 249 | #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 250   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by llpx_sn_flat/
 251 ]
 252 qed-.
 253
 254 (* Inversion lemmas on relocation *******************************************)
 255
 256 lemma llpx_sn_inv_lift_le: ∀R. d_deliftable_sn R →
 257                            ∀L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 258                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 259                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → l0 ≤ l → llpx_sn R l0 T K1 K2.
 260 #R #HR #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 261 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 262   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l -m
 263   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 264 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 265   * #_ #H destruct
 266   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 267   [ /2 width=1 by llpx_sn_skip/
 268   | /3 width=3 by llpx_sn_skip, yle_ylt_trans/
 269   ]
 270 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #IHK12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 271   * #Hil #H destruct [ -HK12 | -IHK12 ]
 272   [ elim (drop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1 #L1 #V1 #HKL1 #HKL11 #HVW1
 273     elim (drop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -Hil -L2 #L2 #V2 #HKL2 #HKL22 #HVW2
 274     elim (HR … HW12 … HKL11 … HVW1) -HR #V0 #HV0 #HV12
 275     lapply (lift_inj … HV0 … HVW2) -HV0 -HVW2 #H destruct
 276     /3 width=10 by llpx_sn_lref/
 277   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 278     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hil0
 279     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil /4 width=9 by llpx_sn_lref, yle_trans, yle_inj/ (**) (* slow *)
 280   ]
 281 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 282   * #_ #H destruct
 283   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 284   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 285     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 286     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 287   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 288     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 289     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 290   ]
 291 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 292   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l -m
 293   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 294 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 295   #V #T #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 296 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 297   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 298 ]
 299 qed-.
 300
 301 lemma llpx_sn_inv_lift_be: ∀R,L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 302                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 303                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → l ≤ l0 → l0 ≤ yinj l + m → llpx_sn R l T K1 K2.
 304 #R #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 305 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 306   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l0 -m
 307   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 308 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 309   * #Hil #H destruct
 310   [ lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 311     -Hil0 /3 width=1 by llpx_sn_skip, ylt_inj/
 312   | elim (ylt_yle_false … Hil0) -L1 -L2 -Hl0 -Hil0
 313     /3 width=3 by yle_trans, yle_inj/ (**) (* slow *)
 314   ]
 315 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #_ #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 316   * #Hil #H destruct
 317   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W1 -W2 -Hl0m -Hil0
 318     /3 width=3 by ylt_yle_trans, ylt_inj/
 319   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 320     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hil0 -Hl0 -Hl0m
 321     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_inj/
 322   ]
 323 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 324   * #_ #H destruct
 325   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 326   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 327     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 328     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 329   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 330     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 331     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 332   ]
 333 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 334   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l0 -m
 335   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 336 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 337   >commutative_plus #V #T #HVW #HTU #H destruct
 338   @llpx_sn_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW (**) (* explicit constructor *)
 339   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=1 by drop_skip, yle_succ/
 340 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 341   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 342 ]
 343 qed-.
 344
 345 lemma llpx_sn_inv_lift_ge: ∀R,L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 346                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 347                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → yinj l + m ≤ l0 → llpx_sn R (l0-m) T K1 K2.
 348 #R #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 349 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 350   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l
 351   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 352 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 353   * #Hil #H destruct [ -Hil0 | -Hlml0 ]
 354   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 355   [ /4 width=3 by llpx_sn_skip, yle_plus1_to_minus_inj2, ylt_yle_trans, ylt_inj/
 356   | elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil #_
 357     /4 width=1 by llpx_sn_skip, monotonic_ylt_minus_dx, yle_inj/
 358   ]
 359 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #_ #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 360   * #Hil #H destruct
 361   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W1 -W2 -Hil0
 362     /3 width=3 by yle_fwd_plus_sn1, ylt_yle_trans, ylt_inj/
 363   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 364     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hlml0 -Hil
 365     /3 width=9 by llpx_sn_lref, monotonic_yle_minus_dx/
 366   ]
 367 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 368   * #_ #H destruct
 369   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 370   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 371     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 372     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 373   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 374     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 375     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 376   ]
 377 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 378   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l
 379   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 380 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 381   #V #T #HVW #HTU #H destruct
 382   @llpx_sn_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW (**) (* explicit constructor *)
 383   <yminus_succ1_inj /2 width=2 by yle_fwd_plus_sn2/
 384   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=1 by drop_skip, yle_succ/
 385 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 386   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by llpx_sn_flat/
 387 ]
 388 qed-.
 389
 390 (* Advanced inversion lemmas on relocation **********************************)
 391
 392 lemma llpx_sn_inv_lift_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 393                           ∀K1,K2,m. ⬇[m] L1 ≡ K1 → ⬇[m] L2 ≡ K2 →
 394                           ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U → llpx_sn R 0 T K1 K2.
 395 /2 width=11 by llpx_sn_inv_lift_be/ qed-.
 396
 397 lemma llpx_sn_drop_conf_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 398                            ∀K1,m. ⬇[m] L1 ≡ K1 → ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U →
 399                            ∃∃K2. ⬇[m] L2 ≡ K2 & llpx_sn R 0 T K1 K2.
 400 #R #L1 #L2 #U #HU #K1 #m #HLK1 #T #HTU elim (llpx_sn_fwd_drop_sn … HU … HLK1)
 401 /3 width=10 by llpx_sn_inv_lift_O, ex2_intro/
 402 qed-.
 403
 404 lemma llpx_sn_drop_trans_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 405                             ∀K2,m. ⬇[m] L2 ≡ K2 → ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U →
 406                             ∃∃K1. ⬇[m] L1 ≡ K1 & llpx_sn R 0 T K1 K2.
 407 #R #L1 #L2 #U #HU #K2 #m #HLK2 #T #HTU elim (llpx_sn_fwd_drop_dx … HU … HLK2)
 408 /3 width=10 by llpx_sn_inv_lift_O, ex2_intro/
 409 qed-.
 410
 411 (* Inversion lemmas on negated lazy pointwise extension *********************)
 412
 413 lemma nllpx_sn_inv_bind: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 414                          ∀a,I,L1,L2,V,T,l. (llpx_sn R l (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 415                          (llpx_sn R l V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R (↑l) T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) → ⊥).
 416 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 l)
 417 /4 width=1 by llpx_sn_bind, or_intror, or_introl/
 418 qed-.
 419
 420 lemma nllpx_sn_inv_flat: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 421                          ∀I,L1,L2,V,T,l. (llpx_sn R l (ⓕ{I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 422                          (llpx_sn R l V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R l T L1 L2 → ⊥).
 423 #R #HR #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 l)
 424 /4 width=1 by llpx_sn_flat, or_intror, or_introl/
 425 qed-.
 426
 427 lemma nllpx_sn_inv_bind_O: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 428                            ∀a,I,L1,L2,V,T. (llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 429                            (llpx_sn R 0 V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) → ⊥).
 430 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 0)
 431 /4 width=1 by llpx_sn_bind_O, or_intror, or_introl/
 432 qed-.