matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/multiple/llpx_sn_drop.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/substitution/drop_drop.ma".
  16 include "basic_2A/multiple/llpx_sn_lreq.ma".
  17
  18 (* LAZY SN POINTWISE EXTENSION OF A CONTEXT-SENSITIVE REALTION FOR TERMS ****)
  19
  20 (* Advanced forward lemmas **************************************************)
  21
  22 lemma llpx_sn_fwd_lref_dx: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 →
  23                            ∀I,K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  24                            i < l ∨
  25                            ∃∃K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 &
  26                                     R K1 V1 V2 & l ≤ i.
  27 #R #L1 #L2 #l #i #H #I #K2 #V2 #HLK2 elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [ * || * ]
  28 [ #_ #H elim (lt_refl_false i)
  29   lapply (drop_fwd_length_lt2 … HLK2) -HLK2
  30   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  31 | /2 width=1 by or_introl/
  32 | #I #K11 #K22 #V11 #V22 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #Hli
  33   lapply (drop_mono … HLK22 … HLK2) -L2 #H destruct
  34   /3 width=5 by ex4_2_intro, or_intror/
  35 ]
  36 qed-.
  37
  38 lemma llpx_sn_fwd_lref_sn: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 →
  39                            ∀I,K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  40                            i < l ∨
  41                            ∃∃K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 &
  42                                     R K1 V1 V2 & l ≤ i.
  43 #R #L1 #L2 #l #i #H #I #K1 #V1 #HLK1 elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [ * || * ]
  44 [ #H #_ elim (lt_refl_false i)
  45   lapply (drop_fwd_length_lt2 … HLK1) -HLK1
  46   /2 width=3 by lt_to_le_to_lt/ (**) (* full auto too slow *)
  47 | /2 width=1 by or_introl/
  48 | #I #K11 #K22 #V11 #V22 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #Hli
  49   lapply (drop_mono … HLK11 … HLK1) -L1 #H destruct
  50   /3 width=5 by ex4_2_intro, or_intror/
  51 ]
  52 qed-.
  53
  54 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  55
  56 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_dx: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  57                               ∀I,K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  58                               ∃∃K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 &
  59                                        llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  60 #R #L1 #L2 #l #i #H #Hli #I #K2 #V2 #HLK2 elim (llpx_sn_fwd_lref_dx … H … HLK2) -L2
  61 [ #H elim (ylt_yle_false … H Hli)
  62 | * /2 width=5 by ex3_2_intro/
  63 ]
  64 qed-.
  65
  66 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_sn: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  67                               ∀I,K1,V1. ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 →
  68                               ∃∃K2,V2. ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 &
  69                                        llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  70 #R #L1 #L2 #l #i #H #Hli #I #K1 #V1 #HLK1 elim (llpx_sn_fwd_lref_sn … H … HLK1) -L1
  71 [ #H elim (ylt_yle_false … H Hli)
  72 | * /2 width=5 by ex3_2_intro/
  73 ]
  74 qed-.
  75
  76 lemma llpx_sn_inv_lref_ge_bi: ∀R,L1,L2,l,i. llpx_sn R l (#i) L1 L2 → l ≤ i →
  77                               ∀I1,I2,K1,K2,V1,V2.
  78                               ⬇[i] L1 ≡ K1.ⓑ{I1}V1 → ⬇[i] L2 ≡ K2.ⓑ{I2}V2 →
  79                               ∧∧ I1 = I2 & llpx_sn R 0 V1 K1 K2 & R K1 V1 V2.
  80 #R #L1 #L2 #l #i #HL12 #Hli #I1 #I2 #K1 #K2 #V1 #V2 #HLK1 #HLK2
  81 elim (llpx_sn_inv_lref_ge_sn … HL12 … HLK1) // -L1 -l
  82 #J #Y #HY lapply (drop_mono … HY … HLK2) -L2 -i #H destruct /2 width=1 by and3_intro/
  83 qed-.
  84
  85 fact llpx_sn_inv_S_aux: ∀R,L1,L2,T,l0. llpx_sn R l0 T L1 L2 → ∀l. l0 = l + 1 →
  86                         ∀K1,K2,I,V1,V2. ⬇[l] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 → ⬇[l] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
  87                         llpx_sn R 0 V1 K1 K2 → R K1 V1 V2 → llpx_sn R l T L1 L2.
  88 #R #L1 #L2 #T #l0 #H elim H -L1 -L2 -T -l0
  89 /2 width=1 by llpx_sn_gref, llpx_sn_free, llpx_sn_sort/
  90 [ #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil #l #H #K1 #K2 #I #V1 #V2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HV12 destruct
  91   elim (yle_split_eq i l) /2 width=1 by llpx_sn_skip, ylt_fwd_succ2/ -HL12 -Hil
  92   #H destruct /2 width=9 by llpx_sn_lref/
  93 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hl0i #HLK11 #HLK22 #HK12 #HV12 #_ #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #_ #_ #_ #_ destruct
  94   /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_pred_sn/
  95 | #a #I #L1 #L2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HW12 destruct
  96   /4 width=9 by llpx_sn_bind, drop_drop/
  97 | #I #L1 #L2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #l #H #K1 #K2 #J #W1 #W2 #HLK1 #HLK2 #HK12 #HW12 destruct
  98   /3 width=9 by llpx_sn_flat/
  99 ]
 100 qed-.
 101
 102 lemma llpx_sn_inv_S: ∀R,L1,L2,T,l. llpx_sn R (l + 1) T L1 L2 →
 103                      ∀K1,K2,I,V1,V2. ⬇[l] L1 ≡ K1.ⓑ{I}V1 → ⬇[l] L2 ≡ K2.ⓑ{I}V2 →
 104                      llpx_sn R 0 V1 K1 K2 → R K1 V1 V2 → llpx_sn R l T L1 L2.
 105 /2 width=9 by llpx_sn_inv_S_aux/ qed-.
 106
 107 lemma llpx_sn_inv_bind_O: ∀R. (∀L. reflexive … (R L)) →
 108                           ∀a,I,L1,L2,V,T. llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 →
 109                           llpx_sn R 0 V L1 L2 ∧ llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V).
 110 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_inv_bind … H) -H
 111 /3 width=9 by drop_pair, conj, llpx_sn_inv_S/
 112 qed-.
 113
 114 (* More advanced forward lemmas *********************************************)
 115
 116 lemma llpx_sn_fwd_bind_O_dx: ∀R. (∀L. reflexive … (R L)) →
 117                              ∀a,I,L1,L2,V,T. llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 →
 118                              llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V).
 119 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_inv_bind_O … H) -H //
 120 qed-.
 121
 122 (* Advanced properties ******************************************************)
 123
 124 lemma llpx_sn_bind_repl_O: ∀R,I,L1,L2,V1,V2,T. llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V1) (L2.ⓑ{I}V2) →
 125                            ∀J,W1,W2. llpx_sn R 0 W1 L1 L2 → R L1 W1 W2 → llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{J}W1) (L2.ⓑ{J}W2).
 126 /3 width=9 by llpx_sn_bind_repl_SO, llpx_sn_inv_S/ qed-.
 127
 128 lemma llpx_sn_dec: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 129                    ∀T,L1,L2,l. Decidable (llpx_sn R l T L1 L2).
 130 #R #HR #T #L1 @(f2_ind … rfw … L1 T) -L1 -T
 131 #x #IH #L1 * *
 132 [ #k #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_sort/
 133 | #i #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|))
 134   [ #HL12 #l elim (ylt_split i l) /3 width=1 by llpx_sn_skip, or_introl/
 135     #Hli elim (lt_or_ge i (|L1|)) #HiL1
 136     elim (lt_or_ge i (|L2|)) #HiL2 /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_free/
 137     elim (drop_O1_lt (Ⓕ) … HiL2) #I2 #K2 #V2 #HLK2
 138     elim (drop_O1_lt (Ⓕ) … HiL1) #I1 #K1 #V1 #HLK1
 139     elim (eq_bind2_dec I2 I1)
 140     [ #H2 elim (HR K1 V1 V2) -HR
 141       [ #H3 elim (IH K1 V1 … K2 0) destruct
 142         /3 width=9 by llpx_sn_lref, drop_fwd_rfw, or_introl/
 143       ]
 144     ]
 145     -IH #H3 @or_intror
 146     #H elim (llpx_sn_fwd_lref … H) -H [1,3,4,6,7,9: * ]
 147     [1,3,5: /3 width=4 by lt_to_le_to_lt, lt_refl_false/
 148     |7,8,9: /2 width=4 by ylt_yle_false/
 149     ]
 150     #Z #Y1 #Y2 #X1 #X2 #HLY1 #HLY2 #HY12 #HX12
 151     lapply (drop_mono … HLY1 … HLK1) -HLY1 -HLK1
 152     lapply (drop_mono … HLY2 … HLK2) -HLY2 -HLK2
 153     #H #H0 destruct /2 width=1 by/
 154   ]
 155 | #p #Hx #L2 elim (eq_nat_dec (|L1|) (|L2|)) /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_gref/
 156 | #a #I #V #T #Hx #L2 #l destruct
 157   elim (IH L1 V … L2 l) /2 width=1 by/
 158   elim (IH (L1.ⓑ{I}V) T … (L2.ⓑ{I}V) (⫯l)) -IH /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_bind/
 159   #H1 #H2 @or_intror
 160   #H elim (llpx_sn_inv_bind … H) -H /2 width=1 by/
 161 | #I #V #T #Hx #L2 #l destruct
 162   elim (IH L1 V … L2 l) /2 width=1 by/
 163   elim (IH L1 T … L2 l) -IH /3 width=1 by or_introl, llpx_sn_flat/
 164   #H1 #H2 @or_intror
 165   #H elim (llpx_sn_inv_flat … H) -H /2 width=1 by/
 166 ]
 167 -x /4 width=4 by llpx_sn_fwd_length, or_intror/
 168 qed-.
 169
 170 (* Properties on relocation *************************************************)
 171
 172 lemma llpx_sn_lift_le: ∀R. d_liftable R →
 173                        ∀K1,K2,T,l0. llpx_sn R l0 T K1 K2 →
 174                        ∀L1,L2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 175                        ∀U. ⬆[l, m] T ≡ U → l0 ≤ l → llpx_sn R l0 U L1 L2.
 176 #R #HR #K1 #K2 #T #l0 #H elim H -K1 -K2 -T -l0
 177 [ #K1 #K2 #l0 #k #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 178   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 179   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 180 | #K1 #K2 #l0 #i #HK12 #Hil0 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 181   * #Hli #H destruct
 182   [ lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 183     /2 width=1 by llpx_sn_skip/
 184   | elim (ylt_yle_false … Hil0) -L1 -L2 -K1 -K2 -m -Hil0
 185     /3 width=3 by yle_trans, yle_inj/
 186   ]
 187 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hil0 #HK11 #HK22 #HK12 #HV12 #IHK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 188   * #Hli #H destruct [ -HK12 | -IHK12 ]
 189   [ elim (drop_trans_lt … HLK1 … HK11) // -K1
 190     elim (drop_trans_lt … HLK2 … HK22) // -Hli -K2
 191     /3 width=18 by llpx_sn_lref/
 192   | lapply (drop_trans_ge_comm … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 193     lapply (drop_trans_ge_comm … HLK2 … HK22 ?) // -Hli -Hl0 -K2
 194     /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_plus_dx1_trans/
 195   ]
 196 | #K1 #K2 #l0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 197   * #Hil #H destruct
 198   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 199   [ /3 width=7 by llpx_sn_free, drop_fwd_be/
 200   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 201     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 202     @llpx_sn_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hil -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 203   ]
 204 | #K1 #K2 #l0 #p #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 205   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l -m
 206   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 207 | #a #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 208   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 209 | #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 210   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 211 ]
 212 qed-.
 213
 214 lemma llpx_sn_lift_ge: ∀R,K1,K2,T,l0. llpx_sn R l0 T K1 K2 →
 215                        ∀L1,L2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 216                        ∀U. ⬆[l, m] T ≡ U → l ≤ l0 → llpx_sn R (l0+m) U L1 L2.
 217 #R #K1 #K2 #T #l0 #H elim H -K1 -K2 -T -l0
 218 [ #K1 #K2 #l0 #k #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort1 … H) -X
 219   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 220   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 221 | #K1 #K2 #l0 #i #HK12 #Hil0 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 222   * #_ #H destruct
 223   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2
 224   [ /3 width=3 by llpx_sn_skip, ylt_plus_dx2_trans/
 225   | /3 width=3 by llpx_sn_skip, monotonic_ylt_plus_dx/
 226   ]
 227 | #I #K1 #K2 #K11 #K22 #V1 #V2 #l0 #i #Hil0 #HK11 #HK22 #HK12 #HV12 #_ #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 228   * #Hil #H destruct
 229   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K1 -K2 -K11 -K22 -V1 -V2 -m -Hil0
 230     /3 width=3 by ylt_yle_trans, ylt_inj/
 231   | lapply (drop_trans_ge_comm … HLK1 … HK11 ?) // -K1
 232     lapply (drop_trans_ge_comm … HLK2 … HK22 ?) // -Hil -Hl0 -K2
 233     /3 width=9 by llpx_sn_lref, monotonic_yle_plus_dx/
 234   ]
 235 | #K1 #K2 #l0 #i #HK1 #HK2 #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref1 … H) -H
 236   * #Hil #H destruct
 237   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -HK12
 238   [ /3 width=7 by llpx_sn_free, drop_fwd_be/
 239   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #HLK1
 240     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #HLK2
 241     @llpx_sn_free [ >HLK1 | >HLK2 ] -Hil -HLK1 -HLK2 /2 width=1 by monotonic_le_plus_r/ (**) (* explicit constructor *)
 242   ]
 243 | #K1 #K2 #l0 #p #HK12 #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref1 … H) -X
 244   lapply (drop_fwd_length_eq2 … HLK1 HLK2 HK12) -K1 -K2 -l
 245   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 246 | #a #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind1 … H) -H
 247   #W #U #HVW #HTU #H destruct /4 width=5 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 248 | #I #K1 #K2 #V #T #l0 #_ #_ #IHV #IHT #L1 #L2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat1 … H) -H
 249   #W #U #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by llpx_sn_flat/
 250 ]
 251 qed-.
 252
 253 (* Inversion lemmas on relocation *******************************************)
 254
 255 lemma llpx_sn_inv_lift_le: ∀R. d_deliftable_sn R →
 256                            ∀L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 257                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 258                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → l0 ≤ l → llpx_sn R l0 T K1 K2.
 259 #R #HR #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 260 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 261   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l -m
 262   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 263 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 264   * #_ #H destruct
 265   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 266   [ /2 width=1 by llpx_sn_skip/
 267   | /3 width=3 by llpx_sn_skip, yle_ylt_trans/
 268   ]
 269 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #IHK12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 270   * #Hil #H destruct [ -HK12 | -IHK12 ]
 271   [ elim (drop_conf_lt … HLK1 … HLK11) // -L1 #L1 #V1 #HKL1 #HKL11 #HVW1
 272     elim (drop_conf_lt … HLK2 … HLK22) // -Hil -L2 #L2 #V2 #HKL2 #HKL22 #HVW2
 273     elim (HR … HW12 … HKL11 … HVW1) -HR #V0 #HV0 #HV12
 274     lapply (lift_inj … HV0 … HVW2) -HV0 -HVW2 #H destruct
 275     /3 width=10 by llpx_sn_lref/
 276   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 277     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hil0
 278     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil /4 width=9 by llpx_sn_lref, yle_trans, yle_inj/ (**) (* slow *)
 279   ]
 280 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 281   * #_ #H destruct
 282   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 283   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 284     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 285     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 286   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 287     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 288     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 289   ]
 290 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 291   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l -m
 292   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 293 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 294   #V #T #HVW #HTU #H destruct /4 width=6 by llpx_sn_bind, drop_skip, yle_succ/
 295 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 296   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 297 ]
 298 qed-.
 299
 300 lemma llpx_sn_inv_lift_be: ∀R,L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 301                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 302                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → l ≤ l0 → l0 ≤ yinj l + m → llpx_sn R l T K1 K2.
 303 #R #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 304 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 305   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l0 -m
 306   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 307 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 308   * #Hil #H destruct
 309   [ lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 310     -Hil0 /3 width=1 by llpx_sn_skip, ylt_inj/
 311   | elim (ylt_yle_false … Hil0) -L1 -L2 -Hl0 -Hil0
 312     /3 width=3 by yle_trans, yle_inj/ (**) (* slow *)
 313   ]
 314 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #_ #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 315   * #Hil #H destruct
 316   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W1 -W2 -Hl0m -Hil0
 317     /3 width=3 by ylt_yle_trans, ylt_inj/
 318   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 319     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hil0 -Hl0 -Hl0m
 320     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil /3 width=9 by llpx_sn_lref, yle_inj/
 321   ]
 322 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 323   * #_ #H destruct
 324   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 325   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 326     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 327     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 328   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 329     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 330     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 331   ]
 332 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 333   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l0 -m
 334   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 335 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 336   >commutative_plus #V #T #HVW #HTU #H destruct
 337   @llpx_sn_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW (**) (* explicit constructor *)
 338   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=1 by drop_skip, yle_succ/
 339 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hl0 #Hl0m elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 340   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=6 by llpx_sn_flat/
 341 ]
 342 qed-.
 343
 344 lemma llpx_sn_inv_lift_ge: ∀R,L1,L2,U,l0. llpx_sn R l0 U L1 L2 →
 345                            ∀K1,K2,l,m. ⬇[Ⓕ, l, m] L1 ≡ K1 → ⬇[Ⓕ, l, m] L2 ≡ K2 →
 346                            ∀T. ⬆[l, m] T ≡ U → yinj l + m ≤ l0 → llpx_sn R (l0-m) T K1 K2.
 347 #R #L1 #L2 #U #l0 #H elim H -L1 -L2 -U -l0
 348 [ #L1 #L2 #l0 #k #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_sort2 … H) -X
 349   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l
 350   /2 width=1 by llpx_sn_sort/
 351 | #L1 #L2 #l0 #i #HL12 #Hil0 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 352   * #Hil #H destruct [ -Hil0 | -Hlml0 ]
 353   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2
 354   [ /4 width=3 by llpx_sn_skip, yle_plus1_to_minus_inj2, ylt_yle_trans, ylt_inj/
 355   | elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil #_
 356     /4 width=1 by llpx_sn_skip, monotonic_ylt_minus_dx, yle_inj/
 357   ]
 358 | #I #L1 #L2 #K11 #K22 #W1 #W2 #l0 #i #Hil0 #HLK11 #HLK22 #HK12 #HW12 #_ #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 359   * #Hil #H destruct
 360   [ elim (ylt_yle_false … Hil0) -I -L1 -L2 -K11 -K22 -W1 -W2 -Hil0
 361     /3 width=3 by yle_fwd_plus_sn1, ylt_yle_trans, ylt_inj/
 362   | lapply (drop_conf_ge … HLK1 … HLK11 ?) // -L1
 363     lapply (drop_conf_ge … HLK2 … HLK22 ?) // -L2 -Hlml0 -Hil
 364     /3 width=9 by llpx_sn_lref, monotonic_yle_minus_dx/
 365   ]
 366 | #L1 #L2 #l0 #i #HL1 #HL2 #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_lref2 … H) -H
 367   * #_ #H destruct
 368   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12)
 369   [ lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK1) -HLK1
 370     lapply (drop_fwd_length_le4 … HLK2) -HLK2
 371     #HKL2 #HKL1 #HK12 @llpx_sn_free // /2 width=3 by transitive_le/ (**) (* full auto too slow *)
 372   | lapply (drop_fwd_length … HLK1) -HLK1 #H >H in HL1; -H
 373     lapply (drop_fwd_length … HLK2) -HLK2 #H >H in HL2; -H
 374     /3 width=1 by llpx_sn_free, le_plus_to_minus_r/
 375   ]
 376 | #L1 #L2 #l0 #p #HL12 #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #_ >(lift_inv_gref2 … H) -X
 377   lapply (drop_fwd_length_eq1 … HLK1 HLK2 HL12) -L1 -L2 -l
 378   /2 width=1 by llpx_sn_gref/
 379 | #a #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_bind2 … H) -H
 380   #V #T #HVW #HTU #H destruct
 381   @llpx_sn_bind [ /2 width=5 by/ ] -IHW (**) (* explicit constructor *)
 382   <yminus_succ1_inj /2 width=2 by yle_fwd_plus_sn2/
 383   @(IHU … HTU) -IHU -HTU /2 width=1 by drop_skip, yle_succ/
 384 | #I #L1 #L2 #W #U #l0 #_ #_ #IHW #IHU #K1 #K2 #l #m #HLK1 #HLK2 #X #H #Hlml0 elim (lift_inv_flat2 … H) -H
 385   #V #T #HVW #HTU #H destruct /3 width=5 by llpx_sn_flat/
 386 ]
 387 qed-.
 388
 389 (* Advanced inversion lemmas on relocation **********************************)
 390
 391 lemma llpx_sn_inv_lift_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 392                           ∀K1,K2,m. ⬇[m] L1 ≡ K1 → ⬇[m] L2 ≡ K2 →
 393                           ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U → llpx_sn R 0 T K1 K2.
 394 /2 width=11 by llpx_sn_inv_lift_be/ qed-.
 395
 396 lemma llpx_sn_drop_conf_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 397                            ∀K1,m. ⬇[m] L1 ≡ K1 → ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U →
 398                            ∃∃K2. ⬇[m] L2 ≡ K2 & llpx_sn R 0 T K1 K2.
 399 #R #L1 #L2 #U #HU #K1 #m #HLK1 #T #HTU elim (llpx_sn_fwd_drop_sn … HU … HLK1)
 400 /3 width=10 by llpx_sn_inv_lift_O, ex2_intro/
 401 qed-.
 402
 403 lemma llpx_sn_drop_trans_O: ∀R,L1,L2,U. llpx_sn R 0 U L1 L2 →
 404                             ∀K2,m. ⬇[m] L2 ≡ K2 → ∀T. ⬆[0, m] T ≡ U →
 405                             ∃∃K1. ⬇[m] L1 ≡ K1 & llpx_sn R 0 T K1 K2.
 406 #R #L1 #L2 #U #HU #K2 #m #HLK2 #T #HTU elim (llpx_sn_fwd_drop_dx … HU … HLK2)
 407 /3 width=10 by llpx_sn_inv_lift_O, ex2_intro/
 408 qed-.
 409
 410 (* Inversion lemmas on negated lazy pointwise extension *********************)
 411
 412 lemma nllpx_sn_inv_bind: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 413                          ∀a,I,L1,L2,V,T,l. (llpx_sn R l (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 414                          (llpx_sn R l V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R (⫯l) T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) → ⊥).
 415 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 l)
 416 /4 width=1 by llpx_sn_bind, or_intror, or_introl/
 417 qed-.
 418
 419 lemma nllpx_sn_inv_flat: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 420                          ∀I,L1,L2,V,T,l. (llpx_sn R l (ⓕ{I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 421                          (llpx_sn R l V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R l T L1 L2 → ⊥).
 422 #R #HR #I #L1 #L2 #V #T #l #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 l)
 423 /4 width=1 by llpx_sn_flat, or_intror, or_introl/
 424 qed-.
 425
 426 lemma nllpx_sn_inv_bind_O: ∀R. (∀L,T1,T2. Decidable (R L T1 T2)) →
 427                            ∀a,I,L1,L2,V,T. (llpx_sn R 0 (ⓑ{a,I}V.T) L1 L2 → ⊥) →
 428                            (llpx_sn R 0 V L1 L2 → ⊥) ∨ (llpx_sn R 0 T (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V) → ⊥).
 429 #R #HR #a #I #L1 #L2 #V #T #H elim (llpx_sn_dec … HR V L1 L2 0)
 430 /4 width=1 by llpx_sn_bind_O, or_intror, or_introl/
 431 qed-.