matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/static/lsuba.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/ex_5_3.ma".
  16 include "ground_2/xoa/ex_6_4.ma".
  17 include "basic_2A/notation/relations/lrsubeqa_3.ma".
  18 include "basic_2A/static/lsubr.ma".
  19 include "basic_2A/static/aaa.ma".
  20
  21 (* LOCAL ENVIRONMENT REFINEMENT FOR ATOMIC ARITY ASSIGNMENT *****************)
  22
  23 inductive lsuba (G:genv): relation lenv ≝
  24 | lsuba_atom: lsuba G (⋆) (⋆)
  25 | lsuba_pair: ∀I,L1,L2,V. lsuba G L1 L2 → lsuba G (L1.ⓑ{I}V) (L2.ⓑ{I}V)
  26 | lsuba_beta: ∀L1,L2,W,V,A. ⦃G, L1⦄ ⊢ ⓝW.V ⁝ A → ⦃G, L2⦄ ⊢ W ⁝ A →
  27               lsuba G L1 L2 → lsuba G (L1.ⓓⓝW.V) (L2.ⓛW)
  28 .
  29
  30 interpretation
  31   "local environment refinement (atomic arity assignment)"
  32   'LRSubEqA G L1 L2 = (lsuba G L1 L2).
  33
  34 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  35
  36 fact lsuba_inv_atom1_aux: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
  37 #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  38 [ //
  39 | #I #L1 #L2 #V #_ #H destruct
  40 | #L1 #L2 #W #V #A #_ #_ #_ #H destruct
  41 ]
  42 qed-.
  43
  44 lemma lsuba_inv_atom1: ∀G,L2. G ⊢ ⋆ ⫃⁝ L2 → L2 = ⋆.
  45 /2 width=4 by lsuba_inv_atom1_aux/ qed-.
  46
  47 fact lsuba_inv_pair1_aux: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → ∀I,K1,X. L1 = K1.ⓑ{I}X →
  48                           (∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & L2 = K2.ⓑ{I}X) ∨
  49                           ∃∃K2,W,V,A. ⦃G, K1⦄ ⊢ ⓝW.V ⁝ A & ⦃G, K2⦄ ⊢ W ⁝ A &
  50                                       G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & I = Abbr & L2 = K2.ⓛW & X = ⓝW.V.
  51 #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  52 [ #J #K1 #X #H destruct
  53 | #I #L1 #L2 #V #HL12 #J #K1 #X #H destruct /3 width=3 by ex2_intro, or_introl/
  54 | #L1 #L2 #W #V #A #HV #HW #HL12 #J #K1 #X #H destruct /3 width=9 by or_intror, ex6_4_intro/
  55 ]
  56 qed-.
  57
  58 lemma lsuba_inv_pair1: ∀I,G,K1,L2,X. G ⊢ K1.ⓑ{I}X ⫃⁝ L2 →
  59                        (∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & L2 = K2.ⓑ{I}X) ∨
  60                        ∃∃K2,W,V,A. ⦃G, K1⦄ ⊢ ⓝW.V ⁝ A & ⦃G, K2⦄ ⊢ W ⁝ A & G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 &
  61                                    I = Abbr & L2 = K2.ⓛW & X = ⓝW.V.
  62 /2 width=3 by lsuba_inv_pair1_aux/ qed-.
  63
  64 fact lsuba_inv_atom2_aux: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
  65 #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  66 [ //
  67 | #I #L1 #L2 #V #_ #H destruct
  68 | #L1 #L2 #W #V #A #_ #_ #_ #H destruct
  69 ]
  70 qed-.
  71
  72 lemma lsuba_inv_atom2: ∀G,L1. G ⊢ L1 ⫃⁝ ⋆ → L1 = ⋆.
  73 /2 width=4 by lsuba_inv_atom2_aux/ qed-.
  74
  75 fact lsuba_inv_pair2_aux: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → ∀I,K2,W. L2 = K2.ⓑ{I}W →
  76                           (∃∃K1. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & L1 = K1.ⓑ{I}W) ∨
  77                           ∃∃K1,V,A. ⦃G, K1⦄ ⊢ ⓝW.V ⁝ A & ⦃G, K2⦄ ⊢ W ⁝ A &
  78                                     G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & I = Abst & L1 = K1.ⓓⓝW.V.
  79 #G #L1 #L2 * -L1 -L2
  80 [ #J #K2 #U #H destruct
  81 | #I #L1 #L2 #V #HL12 #J #K2 #U #H destruct /3 width=3 by ex2_intro, or_introl/
  82 | #L1 #L2 #W #V #A #HV #HW #HL12 #J #K2 #U #H destruct /3 width=7 by or_intror, ex5_3_intro/
  83 ]
  84 qed-.
  85
  86 lemma lsuba_inv_pair2: ∀I,G,L1,K2,W. G ⊢ L1 ⫃⁝ K2.ⓑ{I}W →
  87                        (∃∃K1. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & L1 = K1.ⓑ{I}W) ∨
  88                        ∃∃K1,V,A. ⦃G, K1⦄ ⊢ ⓝW.V ⁝ A & ⦃G, K2⦄ ⊢ W ⁝ A & G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 &
  89                                  I = Abst & L1 = K1.ⓓⓝW.V.
  90 /2 width=3 by lsuba_inv_pair2_aux/ qed-.
  91
  92 (* Basic forward lemmas *****************************************************)
  93
  94 lemma lsuba_fwd_lsubr: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → L1 ⫃ L2.
  95 #G #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2 /2 width=1 by lsubr_pair, lsubr_beta/
  96 qed-.
  97
  98 (* Basic properties *********************************************************)
  99
 100 lemma lsuba_refl: ∀G,L. G ⊢ L ⫃⁝ L.
 101 #G #L elim L -L /2 width=1 by lsuba_atom, lsuba_pair/
 102 qed.
 103
 104 (* Note: the constant 0 cannot be generalized *)
 105 lemma lsuba_drop_O1_conf: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → ∀K1,s,m. ⬇[s, 0, m] L1 ≡ K1 →
 106                           ∃∃K2. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & ⬇[s, 0, m] L2 ≡ K2.
 107 #G #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2
 108 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 109 | #I #L1 #L2 #V #_ #IHL12 #K1 #s #m #H
 110   elim (drop_inv_O1_pair1 … H) -H * #Hm #HLK1
 111   [ destruct
 112     elim (IHL12 L1 s 0) -IHL12 // #X #HL12 #H
 113     <(drop_inv_O2 … H) in HL12; -H /3 width=3 by lsuba_pair, drop_pair, ex2_intro/
 114   | elim (IHL12 … HLK1) -L1 /3 width=3 by drop_drop_lt, ex2_intro/
 115   ]
 116 | #L1 #L2 #W #V #A #HV #HW #_ #IHL12 #K1 #s #m #H
 117   elim (drop_inv_O1_pair1 … H) -H * #Hm #HLK1
 118   [ destruct
 119     elim (IHL12 L1 s 0) -IHL12 // #X #HL12 #H
 120     <(drop_inv_O2 … H) in HL12; -H /3 width=3 by lsuba_beta, drop_pair, ex2_intro/
 121   | elim (IHL12 … HLK1) -L1 /3 width=3 by drop_drop_lt, ex2_intro/
 122   ]
 123 ]
 124 qed-.
 125
 126 (* Note: the constant 0 cannot be generalized *)
 127 lemma lsuba_drop_O1_trans: ∀G,L1,L2. G ⊢ L1 ⫃⁝ L2 → ∀K2,s,m. ⬇[s, 0, m] L2 ≡ K2 →
 128                            ∃∃K1. G ⊢ K1 ⫃⁝ K2 & ⬇[s, 0, m] L1 ≡ K1.
 129 #G #L1 #L2 #H elim H -L1 -L2
 130 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 131 | #I #L1 #L2 #V #_ #IHL12 #K2 #s #m #H
 132   elim (drop_inv_O1_pair1 … H) -H * #Hm #HLK2
 133   [ destruct
 134     elim (IHL12 L2 s 0) -IHL12 // #X #HL12 #H
 135     <(drop_inv_O2 … H) in HL12; -H /3 width=3 by lsuba_pair, drop_pair, ex2_intro/
 136   | elim (IHL12 … HLK2) -L2 /3 width=3 by drop_drop_lt, ex2_intro/
 137   ]
 138 | #L1 #L2 #W #V #A #HV #HW #_ #IHL12 #K2 #s #m #H
 139   elim (drop_inv_O1_pair1 … H) -H * #Hm #HLK2
 140   [ destruct
 141     elim (IHL12 L2 s 0) -IHL12 // #X #HL12 #H
 142     <(drop_inv_O2 … H) in HL12; -H /3 width=3 by lsuba_beta, drop_pair, ex2_intro/
 143   | elim (IHL12 … HLK2) -L2 /3 width=3 by drop_drop_lt, ex2_intro/
 144   ]
 145 ]
 146 qed-.