matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/substitution/cpy_cpy.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/substitution/cpy_lift.ma".
  16
  17 (* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED ORDINARY SUBSTITUTION FOR TERMS ***************)
  18
  19 (* Main properties **********************************************************)
  20
  21 (* Basic_1: was: subst1_confluence_eq *)
  22 theorem cpy_conf_eq: ∀G,L,T0,T1,l1,m1. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶[l1, m1] T1 →
  23                      ∀T2,l2,m2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶[l2, m2] T2 →
  24                      ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l2, m2] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T2 ▶[l1, m1] T.
  25 #G #L #T0 #T1 #l1 #m1 #H elim H -G -L -T0 -T1 -l1 -m1
  26 [ /2 width=3 by ex2_intro/
  27 | #I1 #G #L #K1 #V1 #T1 #i0 #l1 #m1 #Hl1 #Hlm1 #HLK1 #HVT1 #T2 #l2 #m2 #H
  28   elim (cpy_inv_lref1 … H) -H
  29   [ #HX destruct /3 width=7 by cpy_subst, ex2_intro/
  30   | -Hl1 -Hlm1 * #I2 #K2 #V2 #_ #_ #HLK2 #HVT2
  31     lapply (drop_mono … HLK1 … HLK2) -HLK1 -HLK2 #H destruct
  32     >(lift_mono … HVT1 … HVT2) -HVT1 -HVT2 /2 width=3 by ex2_intro/
  33   ]
  34 | #a #I #G #L #V0 #V1 #T0 #T1 #l1 #m1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #X #l2 #m2 #HX
  35   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  36   elim (IHV01 … HV02) -IHV01 -HV02 #V #HV1 #HV2
  37   elim (IHT01 … HT02) -T0 #T #HT1 #HT2
  38   lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L.ⓑ{I}V1) ?) -HT1 /2 width=1 by lsuby_succ/
  39   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V2) ?) -HT2
  40   /3 width=5 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
  41 | #I #G #L #V0 #V1 #T0 #T1 #l1 #m1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #X #l2 #m2 #HX
  42   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  43   elim (IHV01 … HV02) -V0
  44   elim (IHT01 … HT02) -T0 /3 width=5 by cpy_flat, ex2_intro/
  45 ]
  46 qed-.
  47
  48 (* Basic_1: was: subst1_confluence_neq *)
  49 theorem cpy_conf_neq: ∀G,L1,T0,T1,l1,m1. ⦃G, L1⦄ ⊢ T0 ▶[l1, m1] T1 →
  50                       ∀L2,T2,l2,m2. ⦃G, L2⦄ ⊢ T0 ▶[l2, m2] T2 →
  51                       (l1 + m1 ≤ l2 ∨ l2 + m2 ≤ l1) →
  52                       ∃∃T. ⦃G, L2⦄ ⊢ T1 ▶[l2, m2] T & ⦃G, L1⦄ ⊢ T2 ▶[l1, m1] T.
  53 #G #L1 #T0 #T1 #l1 #m1 #H elim H -G -L1 -T0 -T1 -l1 -m1
  54 [ /2 width=3 by ex2_intro/
  55 | #I1 #G #L1 #K1 #V1 #T1 #i0 #l1 #m1 #Hl1 #Hlm1 #HLK1 #HVT1 #L2 #T2 #l2 #m2 #H1 #H2
  56   elim (cpy_inv_lref1 … H1) -H1
  57   [ #H destruct /3 width=7 by cpy_subst, ex2_intro/
  58   | -HLK1 -HVT1 * #I2 #K2 #V2 #Hl2 #Hlm2 #_ #_ elim H2 -H2 #Hlml [ -Hl1 -Hlm2 | -Hl2 -Hlm1 ]
  59     [ elim (ylt_yle_false … Hlm1) -Hlm1 /2 width=3 by yle_trans/
  60     | elim (ylt_yle_false … Hlm2) -Hlm2 /2 width=3 by yle_trans/
  61     ]
  62   ]
  63 | #a #I #G #L1 #V0 #V1 #T0 #T1 #l1 #m1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #L2 #X #l2 #m2 #HX #H
  64   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  65   elim (IHV01 … HV02 H) -IHV01 -HV02 #V #HV1 #HV2
  66   elim (IHT01 … HT02) -T0
  67   [ -H #T #HT1 #HT2
  68     lapply (lsuby_cpy_trans … HT1 (L2.ⓑ{I}V1) ?) -HT1 /2 width=1 by lsuby_succ/
  69     lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L1.ⓑ{I}V2) ?) -HT2 /3 width=5 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
  70   | -HV1 -HV2 elim H -H /3 width=1 by yle_succ, or_introl, or_intror/
  71   ]
  72 | #I #G #L1 #V0 #V1 #T0 #T1 #l1 #m1 #_ #_ #IHV01 #IHT01 #L2 #X #l2 #m2 #HX #H
  73   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
  74   elim (IHV01 … HV02 H) -V0
  75   elim (IHT01 … HT02 H) -T0 -H /3 width=5 by cpy_flat, ex2_intro/
  76 ]
  77 qed-.
  78
  79 (* Note: the constant 1 comes from cpy_subst *)
  80 (* Basic_1: was: subst1_trans *)
  81 theorem cpy_trans_ge: ∀G,L,T1,T0,l,m. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T0 →
  82                       ∀T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶[l, 1] T2 → 1 ≤ m → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l, m] T2.
  83 #G #L #T1 #T0 #l #m #H elim H -G -L -T1 -T0 -l -m
  84 [ #I #G #L #l #m #T2 #H #Hm
  85   elim (cpy_inv_atom1 … H) -H
  86   [ #H destruct //
  87   | * #J #K #V #i #Hl2i #Hilm2 #HLK #HVT2 #H destruct
  88     lapply (ylt_yle_trans … (l+m) … Hilm2) /2 width=5 by cpy_subst, monotonic_yle_plus_dx/
  89   ]
  90 | #I #G #L #K #V #V2 #i #l #m #Hli #Hilm #HLK #HVW #T2 #HVT2 #Hm
  91   lapply (cpy_weak … HVT2 0 (i+1) ? ?) -HVT2 /3 width=1 by yle_plus_dx2_trans, yle_succ/
  92   >yplus_inj #HVT2 <(cpy_inv_lift1_eq … HVW … HVT2) -HVT2 /2 width=5 by cpy_subst/
  93 | #a #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #l #m #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #H #Hm
  94   elim (cpy_inv_bind1 … H) -H #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct
  95   lapply (lsuby_cpy_trans … HT02 (L.ⓑ{I}V1) ?) -HT02 /2 width=1 by lsuby_succ/ #HT02
  96   lapply (IHT10 … HT02 Hm) -T0 /3 width=1 by cpy_bind/
  97 | #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #l #m #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #H #Hm
  98   elim (cpy_inv_flat1 … H) -H #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct /3 width=1 by cpy_flat/
  99 ]
 100 qed-.
 101
 102 theorem cpy_trans_down: ∀G,L,T1,T0,l1,m1. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l1, m1] T0 →
 103                         ∀T2,l2,m2. ⦃G, L⦄ ⊢ T0 ▶[l2, m2] T2 → l2 + m2 ≤ l1 →
 104                         ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ▶[l2, m2] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T ▶[l1, m1] T2.
 105 #G #L #T1 #T0 #l1 #m1 #H elim H -G -L -T1 -T0 -l1 -m1
 106 [ /2 width=3 by ex2_intro/
 107 | #I #G #L #K #V #W #i1 #l1 #m1 #Hli1 #Hilm1 #HLK #HVW #T2 #l2 #m2 #HWT2 #Hlm2l1
 108   lapply (yle_trans … Hlm2l1 … Hli1) -Hlm2l1 #Hlm2i1
 109   lapply (cpy_weak … HWT2 0 (i1+1) ? ?) -HWT2 /3 width=1 by yle_succ, yle_pred_sn/ -Hlm2i1
 110   >yplus_inj #HWT2 <(cpy_inv_lift1_eq … HVW … HWT2) -HWT2 /3 width=9 by cpy_subst, ex2_intro/
 111 | #a #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #l1 #m1 #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #l2 #m2 #HX #lm2l1
 112   elim (cpy_inv_bind1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
 113   lapply (lsuby_cpy_trans … HT02 (L.ⓑ{I}V1) ?) -HT02 /2 width=1 by lsuby_succ/ #HT02
 114   elim (IHV10 … HV02) -IHV10 -HV02 // #V
 115   elim (IHT10 … HT02) -T0 /2 width=1 by yle_succ/ #T #HT1 #HT2
 116   lapply (lsuby_cpy_trans … HT2 (L.ⓑ{I}V) ?) -HT2 /3 width=6 by cpy_bind, lsuby_succ, ex2_intro/
 117 | #I #G #L #V1 #V0 #T1 #T0 #l1 #m1 #_ #_ #IHV10 #IHT10 #X #l2 #m2 #HX #lm2l1
 118   elim (cpy_inv_flat1 … HX) -HX #V2 #T2 #HV02 #HT02 #HX destruct
 119   elim (IHV10 … HV02) -V0 //
 120   elim (IHT10 … HT02) -T0 /3 width=6 by cpy_flat, ex2_intro/
 121 ]
 122 qed-.