matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/unfold/lstas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/xoa/ex_4_3.ma".
  16 include "ground/xoa/ex_4_4.ma".
  17 include "basic_2A/notation/relations/statictypestar_6.ma".
  18 include "basic_2A/grammar/genv.ma".
  19 include "basic_2A/substitution/drop.ma".
  20 include "basic_2A/static/sh.ma".
  21
  22 (* NAT-ITERATED STATIC TYPE ASSIGNMENT FOR TERMS ****************************)
  23
  24 (* activate genv *)
  25 inductive lstas (h): nat → relation4 genv lenv term term ≝
  26 | lstas_sort: ∀G,L,d,k. lstas h d G L (⋆k) (⋆((next h)^d k))
  27 | lstas_ldef: ∀G,L,K,V,W,U,i,d. ⬇[i] L ≡ K.ⓓV → lstas h d G K V W →
  28               ⬆[0, i+1] W ≡ U → lstas h d G L (#i) U
  29 | lstas_zero: ∀G,L,K,W,V,i. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW → lstas h 0 G K W V →
  30               lstas h 0 G L (#i) (#i)
  31 | lstas_succ: ∀G,L,K,W,V,U,i,d. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW → lstas h d G K W V →
  32               ⬆[0, i+1] V ≡ U → lstas h (d+1) G L (#i) U
  33 | lstas_bind: ∀a,I,G,L,V,T,U,d. lstas h d G (L.ⓑ{I}V) T U →
  34               lstas h d G L (ⓑ{a,I}V.T) (ⓑ{a,I}V.U)
  35 | lstas_appl: ∀G,L,V,T,U,d. lstas h d G L T U → lstas h d G L (ⓐV.T) (ⓐV.U)
  36 | lstas_cast: ∀G,L,W,T,U,d. lstas h d G L T U → lstas h d G L (ⓝW.T) U
  37 .
  38
  39 interpretation "nat-iterated static type assignment (term)"
  40    'StaticTypeStar h G L d T U = (lstas h d G L T U).
  41
  42 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  43
  44 fact lstas_inv_sort1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀k0. T = ⋆k0 →
  45                           U = ⋆((next h)^d k0).
  46 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
  47 [ #G #L #d #k #k0 #H destruct //
  48 | #G #L #K #V #W #U #i #d #_ #_ #_ #k0 #H destruct
  49 | #G #L #K #W #V #i #_ #_ #k0 #H destruct
  50 | #G #L #K #W #V #U #i #d #_ #_ #_ #k0 #H destruct
  51 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #k0 #H destruct
  52 | #G #L #V #T #U #d #_ #k0 #H destruct
  53 | #G #L #W #T #U #d #_ #k0 #H destruct
  54 qed-.
  55
  56 (* Basic_1: was just: sty0_gen_sort *)
  57 lemma lstas_inv_sort1: ∀h,G,L,X,k,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k •*[h, d] X → X = ⋆((next h)^d k).
  58 /2 width=5 by lstas_inv_sort1_aux/
  59 qed-.
  60
  61 fact lstas_inv_lref1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀j. T = #j → ∨∨
  62                           (∃∃K,V,W. ⬇[j] L ≡ K.ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •*[h, d] W &
  63                                     ⬆[0, j+1] W ≡ U
  64                           ) |
  65                           (∃∃K,W,V. ⬇[j] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, 0] V &
  66                                     U = #j & d = 0
  67                           ) |
  68                           (∃∃K,W,V,d0. ⬇[j] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, d0] V &
  69                                        ⬆[0, j+1] V ≡ U & d = d0+1
  70                           ).
  71 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
  72 [ #G #L #d #k #j #H destruct
  73 | #G #L #K #V #W #U #i #d #HLK #HVW #HWU #j #H destruct /3 width=6 by or3_intro0, ex3_3_intro/
  74 | #G #L #K #W #V #i #HLK #HWV #j #H destruct /3 width=5 by or3_intro1, ex4_3_intro/
  75 | #G #L #K #W #V #U #i #d #HLK #HWV #HWU #j #H destruct /3 width=8 by or3_intro2, ex4_4_intro/
  76 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #j #H destruct
  77 | #G #L #V #T #U #d #_ #j #H destruct
  78 | #G #L #W #T #U #d #_ #j #H destruct
  79 ]
  80 qed-.
  81
  82 lemma lstas_inv_lref1: ∀h,G,L,X,i,d. ⦃G, L⦄ ⊢ #i •*[h, d] X → ∨∨
  83                        (∃∃K,V,W. ⬇[i] L ≡ K.ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •*[h, d] W &
  84                                  ⬆[0, i+1] W ≡ X
  85                        ) |
  86                        (∃∃K,W,V. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, 0] V &
  87                                  X = #i & d = 0
  88                        ) |
  89                        (∃∃K,W,V,d0. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, d0] V &
  90                                     ⬆[0, i+1] V ≡ X & d = d0+1
  91                        ).
  92 /2 width=3 by lstas_inv_lref1_aux/
  93 qed-.
  94
  95 lemma lstas_inv_lref1_O: ∀h,G,L,X,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i •*[h, 0] X →
  96                          (∃∃K,V,W. ⬇[i] L ≡ K.ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •*[h, 0] W &
  97                                    ⬆[0, i+1] W ≡ X
  98                          ) ∨
  99                          (∃∃K,W,V. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, 0] V &
 100                                    X = #i
 101                          ).
 102 #h #G #L #X #i #H elim (lstas_inv_lref1 … H) -H * /3 width=6 by ex3_3_intro, or_introl, or_intror/
 103 #K #W #V #d #_ #_ #_ <plus_n_Sm #H destruct
 104 qed-.
 105
 106 (* Basic_1: was just: sty0_gen_lref *)
 107 lemma lstas_inv_lref1_S: ∀h,G,L,X,i,d. ⦃G, L⦄ ⊢ #i •*[h, d+1] X →
 108                          (∃∃K,V,W. ⬇[i] L ≡ K.ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •*[h, d+1] W &
 109                                    ⬆[0, i+1] W ≡ X
 110                          ) ∨
 111                          (∃∃K,W,V. ⬇[i] L ≡ K.ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •*[h, d] V &
 112                                    ⬆[0, i+1] V ≡ X
 113                          ).
 114 #h #G #L #X #i #d #H elim (lstas_inv_lref1 … H) -H * /3 width=6 by ex3_3_intro, or_introl, or_intror/
 115 #K #W #V #_ #_ #_ <plus_n_Sm #H destruct
 116 qed-.
 117
 118 fact lstas_inv_gref1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀p0. T = §p0 → ⊥.
 119 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
 120 [ #G #L #d #k #p0 #H destruct
 121 | #G #L #K #V #W #U #i #d #_ #_ #_ #p0 #H destruct
 122 | #G #L #K #W #V #i #_ #_ #p0 #H destruct
 123 | #G #L #K #W #V #U #i #d #_ #_ #_ #p0 #H destruct
 124 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #p0 #H destruct
 125 | #G #L #V #T #U #d #_ #p0 #H destruct
 126 | #G #L #W #T #U #d #_ #p0 #H destruct
 127 qed-.
 128
 129 lemma lstas_inv_gref1: ∀h,G,L,X,p,d. ⦃G, L⦄ ⊢ §p •*[h, d] X → ⊥.
 130 /2 width=9 by lstas_inv_gref1_aux/
 131 qed-.
 132
 133 fact lstas_inv_bind1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀b,J,X,Y. T = ⓑ{b,J}Y.X →
 134                           ∃∃Z. ⦃G, L.ⓑ{J}Y⦄ ⊢ X •*[h, d] Z & U = ⓑ{b,J}Y.Z.
 135 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
 136 [ #G #L #d #k #b #J #X #Y #H destruct
 137 | #G #L #K #V #W #U #i #d #_ #_ #_ #b #J #X #Y #H destruct
 138 | #G #L #K #W #V #i #_ #_ #b #J #X #Y #H destruct
 139 | #G #L #K #W #V #U #i #d #_ #_ #_ #b #J #X #Y #H destruct
 140 | #a #I #G #L #V #T #U #d #HTU #b #J #X #Y #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 141 | #G #L #V #T #U #d #_ #b #J #X #Y #H destruct
 142 | #G #L #W #T #U #d #_ #b #J #X #Y #H destruct
 143 ]
 144 qed-.
 145
 146 (* Basic_1: was just: sty0_gen_bind *)
 147 lemma lstas_inv_bind1: ∀h,a,I,G,L,V,T,X,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T •*[h, d] X →
 148                        ∃∃U. ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T •*[h, d] U & X = ⓑ{a,I}V.U.
 149 /2 width=3 by lstas_inv_bind1_aux/
 150 qed-.
 151
 152 fact lstas_inv_appl1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀X,Y. T = ⓐY.X →
 153                           ∃∃Z. ⦃G, L⦄ ⊢ X •*[h, d] Z & U = ⓐY.Z.
 154 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
 155 [ #G #L #d #k #X #Y #H destruct
 156 | #G #L #K #V #W #U #i #d #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 157 | #G #L #K #W #V #i #_ #_ #X #Y #H destruct
 158 | #G #L #K #W #V #U #i #d #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 159 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #X #Y #H destruct
 160 | #G #L #V #T #U #d #HTU #X #Y #H destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 161 | #G #L #W #T #U #d #_ #X #Y #H destruct
 162 ]
 163 qed-.
 164
 165 (* Basic_1: was just: sty0_gen_appl *)
 166 lemma lstas_inv_appl1: ∀h,G,L,V,T,X,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T •*[h, d] X →
 167                        ∃∃U. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U & X = ⓐV.U.
 168 /2 width=3 by lstas_inv_appl1_aux/
 169 qed-.
 170
 171 fact lstas_inv_cast1_aux: ∀h,G,L,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U → ∀X,Y. T = ⓝY.X →
 172                           ⦃G, L⦄ ⊢ X •*[h, d] U.
 173 #h #G #L #T #U #d * -G -L -T -U -d
 174 [ #G #L #d #k #X #Y #H destruct
 175 | #G #L #K #V #W #U #i #d #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 176 | #G #L #K #W #V #i #_ #_ #X #Y #H destruct
 177 | #G #L #K #W #V #U #i #d #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
 178 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #X #Y #H destruct
 179 | #G #L #V #T #U #d #_ #X #Y #H destruct
 180 | #G #L #W #T #U #d #HTU #X #Y #H destruct //
 181 ]
 182 qed-.
 183
 184 (* Basic_1: was just: sty0_gen_cast *)
 185 lemma lstas_inv_cast1: ∀h,G,L,W,T,U,d. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T •*[h, d] U → ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d] U.
 186 /2 width=4 by lstas_inv_cast1_aux/
 187 qed-.
 188
 189 (* Basic_1: removed theorems 7:
 190             sty1_abbr sty1_appl sty1_bind sty1_cast2
 191             sty1_correct sty1_lift sty1_trans
 192 *)