matita/matita/contribs/lambdadelta/basic_2A/unfold/lstas_lift.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basic_2A/substitution/drop_drop.ma".
  16 include "basic_2A/unfold/lstas.ma".
  17
  18 (* NAT-ITERATED STATIC TYPE ASSIGNMENT FOR TERMS ****************************)
  19
  20 (* Properties on relocation *************************************************)
  21
  22 lemma lstas_lift: ∀h,G,d. d_liftable (lstas h G d).
  23 #h #G #d #L1 #T1 #U1 #H elim H -G -L1 -T1 -U1 -d
  24 [ #G #L1 #d #k #L2 #s #l #m #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
  25   >(lift_inv_sort1 … H1) -X1
  26   >(lift_inv_sort1 … H2) -X2 //
  27 | #G #L1 #K1 #V1 #W1 #W #i #d #HLK1 #_ #HW1 #IHVW1 #L2 #s #l #m #HL21 #X #H #U2 #HWU2
  28   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hil #H destruct
  29   [ elim (lift_trans_ge … HW1 … HWU2) -W // #W2 #HW12 #HWU2
  30     elim (drop_trans_le … HL21 … HLK1) -L1 /2 width=2 by lt_to_le/ #X #HLK2 #H
  31     elim (drop_inv_skip2 … H) -H /2 width=1 by lt_plus_to_minus_r/ -Hil #K2 #V2 #HK21 #HV12 #H destruct
  32     /3 width=9 by lstas_ldef/
  33   | lapply (lift_trans_be … HW1 … HWU2 ? ?) -W /2 width=1 by le_S/ #HW1U2
  34     lapply (drop_trans_ge … HL21 … HLK1 ?) -L1 /3 width=9 by lstas_ldef, drop_inv_gen/
  35   ]
  36 | #G #L1 #K1 #V1 #W1 #i #HLK1 #_ #IHVW1 #L2 #s #l #m #HL21 #X #H #U2 #HWU2
  37   >(lift_mono … HWU2 … H) -U2
  38   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hil #H destruct
  39   [ elim (lift_total W1 (l-i-1) m) #W2 #HW12
  40     elim (drop_trans_le … HL21 … HLK1) -L1 /2 width=2 by lt_to_le/ #X #HLK2 #H
  41     elim (drop_inv_skip2 … H) -H /2 width=1 by lt_plus_to_minus_r/ -Hil #K2 #V2 #HK21 #HV12 #H destruct
  42     /3 width=10 by lstas_zero/
  43   | lapply (drop_trans_ge … HL21 … HLK1 ?) -L1
  44     /3 width=10 by lstas_zero, drop_inv_gen/
  45   ]
  46 | #G #L1 #K1 #W1 #V1 #W #i #d #HLK1 #_ #HW1 #IHWV1 #L2 #s #l #m #HL21 #X #H #U2 #HWU2
  47   elim (lift_inv_lref1 … H) * #Hil #H destruct
  48   [ elim (lift_trans_ge … HW1 … HWU2) -W // <minus_plus #W #HW1 #HWU2
  49     elim (drop_trans_le … HL21 … HLK1) -L1 /2 width=2 by lt_to_le/ #X #HLK2 #H
  50     elim (drop_inv_skip2 … H) -H /2 width=1 by lt_plus_to_minus_r/ -Hil #K2 #W2 #HK21 #HW12 #H destruct
  51     /3 width=9 by lstas_succ/
  52   | lapply (lift_trans_be … HW1 … HWU2 ? ?) -W /2 width=1 by le_S/ #HW1U2
  53     lapply (drop_trans_ge … HL21 … HLK1 ?) -L1 /3 width=9 by lstas_succ, drop_inv_gen/
  54   ]
  55 | #a #I #G #L1 #V1 #T1 #U1 #d #_ #IHTU1 #L2 #s #l #m #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
  56   elim (lift_inv_bind1 … H1) -H1 #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct
  57   elim (lift_inv_bind1 … H2) -H2 #X #U2 #H1 #HU12 #H2 destruct
  58   lapply (lift_mono … H1 … HV12) -H1 #H destruct /4 width=6 by lstas_bind, drop_skip/
  59 | #G #L1 #V1 #T1 #U1 #d #_ #IHTU1 #L2 #s #l #m #HL21 #X1 #H1 #X2 #H2
  60   elim (lift_inv_flat1 … H1) -H1 #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct
  61   elim (lift_inv_flat1 … H2) -H2 #X #U2 #H1 #HU12 #H2 destruct
  62   lapply (lift_mono … H1 … HV12) -H1 #H destruct /4 width=6 by lstas_appl/
  63 | #G #L1 #W1 #T1 #U1 #d #_ #IHTU1 #L2 #s #l #m #HL21 #X #H #U2 #HU12
  64   elim (lift_inv_flat1 … H) -H #W2 #T2 #_ #HT12 #H destruct /3 width=6 by lstas_cast/
  65 ]
  66 qed.
  67
  68 (* Inversion lemmas on relocation *******************************************)
  69
  70 lemma lstas_inv_lift1: ∀h,G,d. d_deliftable_sn (lstas h G d).
  71 #h #G #d #L2 #T2 #U2 #H elim H -G -L2 -T2 -U2 -d
  72 [ #G #L2 #d #k #L1 #s #l #m #_ #X #H
  73   >(lift_inv_sort2 … H) -X /2 width=3 by lstas_sort, lift_sort, ex2_intro/
  74 | #G #L2 #K2 #V2 #W2 #W #i #d #HLK2 #HVW2 #HW2 #IHVW2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
  75   elim (lift_inv_lref2 … H) * #Hil #H destruct [ -HVW2 | -IHVW2 ]
  76   [ elim (drop_conf_lt … HL21 … HLK2) -L2 // #K1 #V1 #HLK1 #HK21 #HV12
  77     elim (IHVW2 … HK21 … HV12) -K2 -V2 #W1 #HW12 #HVW1
  78     elim (lift_trans_le … HW12 … HW2) -W2 // >minus_plus <plus_minus_m_m /3 width=8 by lstas_ldef, ex2_intro/
  79   | lapply (drop_conf_ge … HL21 … HLK2 ?) -L2 // #HL1K2
  80     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil #Hlim #mi
  81     elim (lift_split … HW2 l (i-m+1)) -HW2 /2 width=1 by le_S_S, le_S/
  82     #W0 #HW20 <le_plus_minus_comm // >minus_minus_m_m /3 width=8 by lstas_ldef, le_S, ex2_intro/
  83   ]
  84 | #G #L2 #K2 #W2 #V2 #i #HLK2 #HWV2 #IHWV2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
  85   elim (lift_inv_lref2 … H) * #Hil #H destruct [ -HWV2 | -IHWV2 ]
  86   [ elim (drop_conf_lt … HL21 … HLK2) -L2 // #K1 #W1 #HLK1 #HK21 #HW12
  87     elim (IHWV2 … HK21 … HW12) -K2
  88     /3 width=5 by lstas_zero, lift_lref_lt, ex2_intro/
  89   | lapply (drop_conf_ge … HL21 … HLK2 ?) -L2
  90     /3 width=5 by lstas_zero, lift_lref_ge_minus, ex2_intro/
  91   ]
  92 | #G #L2 #K2 #W2 #V2 #W #i #d #HLK2 #HWV2 #HW2 #IHWV2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
  93   elim (lift_inv_lref2 … H) * #Hil #H destruct [ -HWV2 | -IHWV2 ]
  94   [ elim (drop_conf_lt … HL21 … HLK2) -L2 // #K1 #W1 #HLK1 #HK21 #HW12
  95     elim (IHWV2 … HK21 … HW12) -K2 #V1 #HV12 #HWV1
  96     elim (lift_trans_le … HV12 … HW2) -W2 // >minus_plus <plus_minus_m_m /3 width=8 by lstas_succ, ex2_intro/
  97   | lapply (drop_conf_ge … HL21 … HLK2 ?) -L2 // #HL1K2
  98     elim (le_inv_plus_l … Hil) -Hil #Hlim #mi
  99     elim (lift_split … HW2 l (i-m+1)) -HW2 /2 width=1 by le_S_S, le_S/
 100     #W0 #HW20 <le_plus_minus_comm // >minus_minus_m_m /3 width=8 by lstas_succ, le_S, ex2_intro/
 101   ]
 102 | #a #I #G #L2 #V2 #T2 #U2 #d #_ #IHTU2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
 103   elim (lift_inv_bind2 … H) -H #V1 #T1 #HV12 #HT12 #H destruct
 104   elim (IHTU2 (L1.ⓑ{I}V1) … HT12) -IHTU2 -HT12 /3 width=5 by lstas_bind, drop_skip, lift_bind, ex2_intro/
 105 | #G #L2 #V2 #T2 #U2 #d #_ #IHTU2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
 106   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #V1 #T1 #HV12 #HT12 #H destruct
 107   elim (IHTU2 … HL21 … HT12) -L2 -HT12 /3 width=5 by lstas_appl, lift_flat, ex2_intro/
 108 | #G #L2 #W2 #T2 #U2 #d #_ #IHTU2 #L1 #s #l #m #HL21 #X #H
 109   elim (lift_inv_flat2 … H) -H #W1 #T1 #_ #HT12 #H destruct
 110   elim (IHTU2 … HL21 … HT12) -L2 -HT12 /3 width=3 by lstas_cast, ex2_intro/
 111 ]
 112 qed-.
 113
 114 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
 115
 116 lemma lstas_split_aux: ∀h,G,L,T1,T2,d. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d] T2 → ∀d1,d2. d = d1 + d2 →
 117                        ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d1] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d2] T2.
 118 #h #G #L #T1 #T2 #d #H elim H -G -L -T1 -T2 -d
 119 [ #G #L #d #k #d1 #d2 #H destruct
 120   >commutative_plus >iter_plus /2 width=3 by lstas_sort, ex2_intro/
 121 | #G #L #K #V1 #V2 #U2 #i #d #HLK #_ #VU2 #IHV12 #d1 #d2 #H destruct
 122   elim (IHV12 d1 d2) -IHV12 // #V
 123   elim (lift_total V 0 (i+1))
 124   lapply (drop_fwd_drop2 … HLK)
 125   /3 width=12 by lstas_lift, lstas_ldef, ex2_intro/
 126 | #G #L #K #W1 #W2 #i #HLK #HW12 #_ #d1 #d2 #H
 127   elim (zero_eq_plus … H) -H #H1 #H2 destruct
 128   /3 width=5 by lstas_zero, ex2_intro/
 129 | #G #L #K #W1 #W2 #U2 #i #d #HLK #HW12 #HWU2 #IHW12 #d1 @(nat_ind_plus … d1) -d1
 130   [ #d2 normalize #H destruct
 131     elim (IHW12 0 d) -IHW12 //
 132     lapply (drop_fwd_drop2 … HLK)
 133     /3 width=8 by lstas_succ, lstas_zero, ex2_intro/
 134   | #d1 #_ #d2 <plus_plus_comm_23 #H lapply (injective_plus_l … H) -H #H
 135     elim (IHW12 … H) -d #W
 136     elim (lift_total W 0 (i+1))
 137     lapply (drop_fwd_drop2 … HLK)
 138     /3 width=12 by lstas_lift, lstas_succ, ex2_intro/
 139   ]
 140 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #IHTU #d1 #d2 #H
 141   elim (IHTU … H) -d /3 width=3 by lstas_bind, ex2_intro/
 142 | #G #L #V #T #U #d #_ #IHTU #d1 #d2 #H
 143   elim (IHTU … H) -d /3 width=3 by lstas_appl, ex2_intro/
 144 | #G #L #W #T #U #d #_ #IHTU #d1 #d2 #H
 145   elim (IHTU … H) -d /3 width=3 by lstas_cast, ex2_intro/
 146 ]
 147 qed-.
 148
 149 lemma lstas_split: ∀h,G,L,T1,T2,d1,d2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d1 + d2] T2 →
 150                    ∃∃T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •*[h, d1] T & ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d2] T2.
 151 /2 width=3 by lstas_split_aux/ qed-.
 152
 153 (* Advanced properties ******************************************************)
 154
 155 lemma lstas_lstas: ∀h,G,L,T,T1,d1. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d1] T1 →
 156                    ∀d2. ∃T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T •*[h, d2] T2.
 157 #h #G #L #T #T1 #d1 #H elim H -G -L -T -T1 -d1
 158 [ /2 width=2 by lstas_sort, ex_intro/
 159 | #G #L #K #V #V1 #U1 #i #d1 #HLK #_ #HVU1 #IHV1 #d2
 160   elim (IHV1 d2) -IHV1 #V2
 161   elim (lift_total V2 0 (i+1))
 162   /3 width=7 by ex_intro, lstas_ldef/
 163 | #G #L #K #W #W1 #i #HLK #HW1 #IHW1 #d2
 164   @(nat_ind_plus … d2) -d2 /3 width=5 by lstas_zero, ex_intro/
 165   #d2 #_ elim (IHW1 d2) -IHW1 #W2
 166   elim (lift_total W2 0 (i+1))
 167   /3 width=7 by lstas_succ, ex_intro/
 168 | #G #L #K #W #W1 #U1 #i #d #HLK #_ #_ #IHW1 #d2
 169   @(nat_ind_plus … d2) -d2
 170   [ elim (IHW1 0) -IHW1 /3 width=5 by lstas_zero, ex_intro/
 171   | #d2 #_ elim (IHW1 d2) -IHW1
 172     #W2 elim (lift_total W2 0 (i+1)) /3 width=7 by ex_intro, lstas_succ/
 173   ]
 174 | #a #I #G #L #V #T #U #d #_ #IHTU #d2
 175   elim (IHTU d2) -IHTU /3 width=2 by lstas_bind, ex_intro/
 176 | #G #L #V #T #U #d #_ #IHTU #d2
 177   elim (IHTU d2) -IHTU /3 width=2 by lstas_appl, ex_intro/
 178 | #G #L #W #T #U #d #_ #IHTU #d2
 179   elim (IHTU d2) -IHTU /3 width=2 by lstas_cast, ex_intro/
 180 ]
 181 qed-.