matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/arith/arith_etc.txt

   1 (* Equalities ***************************************************************)
   2
   3 (*** plus_minus_plus_plus_l *) (**)
   4 lemma plus_minus_plus_plus_l: ∀z,x,y,h. z + (x + h) - (y + h) = z + x - y.
   5 #H1 #H2 #H3 #H4
   6 <nplus_assoc <nminus_plus_dx_bi // qed-.
   7
   8 fact plus_minus_minus_be_aux: ∀i,x,y,z. y ≤ z → z ≤ x → i = z - y → x - z + i = x - y.
   9 /2 width=1 by plus_minus_minus_be/ qed-.
  10
  11 (* Properties ***************************************************************)
  12
  13 (*** lt_plus_Sn_r *) (**)
  14 lemma lt_plus_Sn_r: ∀a,x,n. a < a + x + ↑n.
  15 /2 width=1/ qed-.
  16
  17 (* Inversion & forward lemmas ***********************************************)
  18
  19 lemma le_plus_xySz_x_false: ∀y,z,x. x + y + S z ≤ x → ⊥.
  20 #y #z #x elim x -x /3 width=1 by le_S_S_to_le/
  21 #H elim (le_plus_xSy_O_false … H)
  22 qed-.
  23
  24 lemma plus_xySz_x_false: ∀z,x,y. x + y + S z = x → ⊥.
  25 /2 width=4 by le_plus_xySz_x_false/ qed-.
  26
  27 lemma nat_elim_le_sn (Q:relation …):
  28       (∀m1,m2. (∀m. m < m2-m1 → Q (m2-m) m2) → m1 ≤ m2 → Q m1 m2) →
  29       ∀n1,n2. n1 ≤ n2 → Q n1 n2.
  30 #Q #IH #n1 #n2 #Hn
  31 <(minus_minus_m_m … Hn) -Hn
  32 lapply (minus_le n2 n1)
  33 let d ≝ (n2-n1)
  34 @(nat_elim1 … d) -d -n1 #d
  35 @pull_2 #Hd
  36 <(minus_minus_m_m … Hd) in ⊢ (%→?); -Hd
  37 let n1 ≝ (n2-d) #IHd
  38 @IH -IH [| // ] #m #Hn
  39 /4 width=3 by lt_to_le, lt_to_le_to_lt/
  40 qed-.
  41
  42 (* Decidability of predicates ***********************************************)
  43
  44 lemma dec_lt (R:predicate nat):
  45       (∀n. Decidable … (R n)) →
  46       ∀n. Decidable … (∃∃m. m < n & R m).
  47 #R #HR #n elim n -n [| #n * ]
  48 [ @or_intror * /2 width=2 by lt_zero_false/
  49 | * /4 width=3 by lt_S, or_introl, ex2_intro/
  50 | #H0 elim (HR n) -HR
  51   [ /3 width=3 by or_introl, ex2_intro/
  52   | #Hn @or_intror * #m #Hmn #Hm
  53     elim (le_to_or_lt_eq … Hmn) -Hmn #H destruct [ -Hn | -H0 ]
  54     /4 width=3 by lt_S_S_to_lt, ex2_intro/
  55   ]
  56 ]
  57 qed-.
  58
  59 lemma dec_min (R:predicate nat):
  60       (∀n. Decidable … (R n)) → ∀n. R n →
  61       ∃∃m. m ≤ n & R m & (∀p. p < m → R p → ⊥).
  62 #R #HR #n
  63 @(nat_elim1 n) -n #n #IH #Hn
  64 elim (dec_lt … HR n) -HR [ -Hn | -IH ]
  65 [ * #p #Hpn #Hp
  66   elim (IH … Hpn Hp) -IH -Hp #m #Hmp #Hm #HNm
  67   @(ex3_intro … Hm HNm) -HNm
  68   /3 width=3 by lt_to_le, le_to_lt_to_lt/
  69 | /4 width=4 by ex3_intro, ex2_intro/
  70 ]
  71 qed-.