matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/arith/nat_le.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
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  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/generated/insert_eq_1.ma".
  16 include "ground/arith/nat_succ.ma".
  17
  18 (* ORDER FOR NON-NEGATIVE INTEGERS ******************************************)
  19
  20 (*** le *)
  21 inductive nle (m:nat): predicate nat ≝
  22 | nle_refl   : nle m m
  23 | nle_succ_dx: ∀n. nle m n → nle m (↑n)
  24 .
  25
  26 interpretation
  27   "less equal (non-negative integers)"
  28   'leq m n = (nle m n).
  29
  30 (* Basic constructions ******************************************************)
  31
  32 (*** le_n_Sn *)
  33 lemma nle_succ_dx_refl (m): m ≤ ↑m.
  34 /2 width=1 by nle_refl, nle_succ_dx/ qed.
  35
  36 (*** le_O_n *)
  37 lemma nle_zero_sx (m): 𝟎 ≤ m.
  38 #m @(nat_ind_succ … m) -m /2 width=1 by nle_succ_dx/
  39 qed.
  40
  41 (*** le_S_S *)
  42 lemma nle_succ_bi (m) (n): m ≤ n → ↑m ≤ ↑n.
  43 #m #n #H elim H -n /2 width=1 by nle_refl, nle_succ_dx/
  44 qed.
  45
  46 (*** le_or_ge *)
  47 lemma nat_split_le_ge (m) (n): ∨∨ m ≤ n | n ≤ m.
  48 #m #n @(nat_ind_2_succ … m n) -m -n
  49 [ /2 width=1 by or_introl/
  50 | /2 width=1 by or_intror/
  51 | #m #n * /3 width=2 by nle_succ_bi, or_introl, or_intror/
  52 ]
  53 qed-.
  54
  55 (* Basic destructions *******************************************************)
  56
  57 lemma nle_des_succ_sn (m) (n): ↑m ≤ n → m ≤ n.
  58 #m #n #H elim H -n /2 width=1 by nle_succ_dx/
  59 qed-.
  60
  61 (* Basic inversions *********************************************************)
  62
  63 (*** le_S_S_to_le *)
  64 lemma nle_inv_succ_bi (m) (n): ↑m ≤ ↑n → m ≤ n.
  65 #m #n @(insert_eq_1 … (↑n))
  66 #x * -x
  67 [ #H >(eq_inv_nsucc_bi … H) -n //
  68 | #o #Ho #H >(eq_inv_nsucc_bi … H) -n
  69   /2 width=1 by nle_des_succ_sn/
  70 ]
  71 qed-.
  72
  73 (*** le_n_O_to_eq *)
  74 lemma nle_inv_zero_dx (m): m ≤ 𝟎 → 𝟎 = m.
  75 #m @(insert_eq_1 … (𝟎))
  76 #y * -y
  77 [ #H destruct //
  78 | #y #_ #H elim (eq_inv_zero_nsucc … H)
  79 ]
  80 qed-.
  81
  82 (* Advanced inversions ******************************************************)
  83
  84 (*** le_plus_xSy_O_false *)
  85 lemma nle_inv_succ_zero (m): ↑m ≤ 𝟎 → ⊥.
  86 /3 width=2 by nle_inv_zero_dx, eq_inv_zero_nsucc/ qed-.
  87
  88 lemma nle_inv_succ_sn_refl (m): ↑m ≤ m → ⊥.
  89 #m @(nat_ind_succ … m) -m [| #m #IH ] #H
  90 [ /2 width=2 by nle_inv_succ_zero/
  91 | /3 width=1 by nle_inv_succ_bi/
  92 ]
  93 qed-.
  94
  95 (*** le_to_le_to_eq *)
  96 theorem nle_antisym (m) (n): m ≤ n → n ≤ m → m = n.
  97 #m #n #H elim H -n //
  98 #n #_ #IH #Hn
  99 lapply (nle_des_succ_sn … Hn) #H
 100 lapply (IH H) -IH -H #H destruct
 101 elim (nle_inv_succ_sn_refl … Hn)
 102 qed-.
 103
 104 (* Advanced eliminations ****************************************************)
 105
 106 (*** le_elim *)
 107 lemma nle_ind_alt (Q: relation2 nat nat):
 108       (∀n. Q (𝟎) (n)) →
 109       (∀m,n. m ≤ n → Q m n → Q (↑m) (↑n)) →
 110       ∀m,n. m ≤ n → Q m n.
 111 #Q #IH1 #IH2 #m #n @(nat_ind_2_succ … m n) -m -n //
 112 [ #m #_ #H elim (nle_inv_succ_zero … H)
 113 | /4 width=1 by nle_inv_succ_bi/
 114 ]
 115 qed-.
 116
 117 (* Advanced constructions ***************************************************)
 118
 119 (*** transitive_le *)
 120 theorem nle_trans: Transitive … nle.
 121 #m #n #H elim H -n /3 width=1 by nle_des_succ_sn/
 122 qed-.
 123
 124 (*** decidable_le le_dec *)
 125 lemma nle_dec (m) (n): Decidable … (m ≤ n).
 126 #m #n elim (nat_split_le_ge m n) [ /2 width=1 by or_introl/ ]
 127 #Hnm elim (eq_nat_dec m n) [ #H destruct /2 width=1 by nle_refl, or_introl/ ]
 128 /4 width=1 by nle_antisym, or_intror/
 129 qed-.