matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/etc/relocation/trace_isid.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/notation/relations/isidentity_1.ma".
  16 include "ground_2/relocation/trace_after.ma".
  17 include "ground_2/relocation/trace_sle.ma".
  18
  19 (* RELOCATION TRACE *********************************************************)
  20
  21 definition isid: predicate trace ≝ λcs. ∥cs∥ = |cs|.
  22
  23 interpretation "test for identity (trace)"
  24    'IsIdentity cs = (isid cs).
  25
  26 definition t_reflexive: ∀S:Type[0]. predicate (trace → relation S) ≝
  27                         λS,R. ∀a. ∃∃t. 𝐈⦃t⦄ & R t a a.
  28
  29 (* Basic properties *********************************************************)
  30
  31 lemma isid_empty: 𝐈⦃◊⦄.
  32 // qed.
  33
  34 lemma isid_true: ∀cs. 𝐈⦃cs⦄ → 𝐈⦃Ⓣ @ cs⦄.
  35 // qed.
  36
  37 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  38
  39 lemma isid_inv_true: ∀cs. 𝐈⦃Ⓣ @ cs⦄ → 𝐈⦃cs⦄.
  40 /2 width=1 by injective_S/ qed-.
  41
  42 lemma isid_inv_false: ∀cs. 𝐈⦃Ⓕ @ cs⦄ → ⊥.
  43 /3 width=4 by colength_le, lt_le_false/ qed-.
  44
  45 lemma isid_inv_cons: ∀cs,b.  𝐈⦃b @ cs⦄ → 𝐈⦃cs⦄ ∧ b = Ⓣ.
  46 #cs * #H /3 width=1 by isid_inv_true, conj/
  47 elim (isid_inv_false … H)
  48 qed-.
  49
  50 (* Properties on application ************************************************)
  51
  52 lemma isid_at: ∀cs. (∀i1,i2. @⦃i1, cs⦄ ≡ i2 → i1 = i2) → 𝐈⦃cs⦄.
  53 #cs elim cs -cs // * /2 width=1 by/
  54 qed.
  55
  56 (* Inversion lemmas on application ******************************************)
  57
  58 lemma isid_inv_at: ∀cs,i1,i2. @⦃i1, cs⦄ ≡ i2 → 𝐈⦃cs⦄ → i1 = i2.
  59 #cs #i1 #i2 #H elim H -cs -i1 -i2 /4 width=1 by isid_inv_true, eq_f/
  60 #cs #i1 #i2 #_ #IH #H elim (isid_inv_false … H)
  61 qed-.
  62
  63 (* Properties on composition ************************************************)
  64
  65 lemma isid_after_sn: ∀cs2. ∃∃cs1. 𝐈⦃cs1⦄ & cs1 ⊚ cs2 ≡ cs2.
  66 #cs2 elim cs2 -cs2 /2 width=3 by after_empty, ex2_intro/
  67 #b #cs2 * /3 width=3 by isid_true, after_true, ex2_intro/
  68 qed-.
  69
  70 lemma isid_after_dx: ∀cs1. ∃∃cs2. 𝐈⦃cs2⦄ & cs1 ⊚ cs2 ≡ cs1.
  71 #cs1 elim cs1 -cs1 /2 width=3 by after_empty, ex2_intro/
  72 * #cs1 * /3 width=3 by isid_true, after_true, after_false, ex2_intro/
  73 qed-.
  74
  75 lemma after_isid_sn: ∀cs1,cs2. cs1 ⊚ cs2 ≡ cs2 → 𝐈⦃cs1⦄ .
  76 #cs1 #cs2 #H elim (after_inv_length … H) -H //
  77 qed.
  78
  79 lemma after_isid_dx: ∀cs1,cs2. cs1 ⊚ cs2 ≡ cs1 → 𝐈⦃cs2⦄ .
  80 #cs1 #cs2 #H elim (after_inv_length … H) -H //
  81 qed.
  82
  83 (* Inversion lemmas on composition ******************************************)
  84
  85 lemma after_isid_inv_sn: ∀cs1,cs2,cs. cs1 ⊚ cs2 ≡ cs → 𝐈⦃cs1⦄ → cs = cs2.
  86 #cs1 #cs2 #cs #H elim H -cs1 -cs2 -cs //
  87 #cs1 #cs2 #cs #_ [ #b ] #IH #H
  88 [ >IH -IH // | elim (isid_inv_false … H) ]
  89 qed-.
  90
  91 lemma after_isid_inv_dx: ∀cs1,cs2,cs. cs1 ⊚ cs2 ≡ cs → 𝐈⦃cs2⦄ → cs = cs1.
  92 #cs1 #cs2 #cs #H elim H -cs1 -cs2 -cs //
  93 #cs1 #cs2 #cs #_ [ #b ] #IH #H
  94 [ elim (isid_inv_cons … H) -H #H >IH -IH // | >IH -IH // ]
  95 qed-.
  96
  97 lemma after_inv_isid3: ∀t1,t2,t. t1 ⊚ t2 ≡ t → 𝐈⦃t⦄ → 𝐈⦃t1⦄ ∧ 𝐈⦃t2⦄.
  98 #t1 #t2 #t #H elim H -t1 -t2 -t
  99 [ /2 width=1 by conj/
 100 | #t1 #t2 #t #_ #b #IHt #H elim (isid_inv_cons … H) -H
 101   #Ht #H elim (IHt Ht) -t /2 width=1 by isid_true, conj/
 102 | #t1 #t2 #t #_ #_ #H elim (isid_inv_false … H)
 103 ]
 104 qed-.
 105
 106 (* Forward on inclusion *****************************************************)
 107
 108 lemma sle_isid1_fwd: ∀t1,t2. t1 ⊆ t2 → 𝐈⦃t1⦄ → t1 = t2.
 109 #t1 #t2 #H elim H -t1 -t2 //
 110 [ #t1 #t2 #_ #IH #H lapply (isid_inv_true … H) -H
 111   #HT1 @eq_f2 // @IH @HT1 (**) (* full auto fails *)
 112 | #t1 #t2 #b #_ #_ #H elim (isid_inv_false … H)
 113 ]
 114 qed-.