matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/etc/ynat/ynat_minus.etc

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/ynat/ynat_lt.ma".
  16
  17 (* NATURAL NUMBERS WITH INFINITY ********************************************)
  18
  19 (* subtraction *)
  20 definition yminus: ynat → ynat → ynat ≝ λx,y. match y with
  21 [ yinj n ⇒ ypred^n x
  22 | Y      ⇒ yinj 0
  23 ].
  24
  25 interpretation "ynat minus" 'minus x y = (yminus x y).
  26
  27 lemma yminus_O2: ∀m:ynat. m - 0 = m.
  28 // qed.
  29
  30 lemma yminus_S2: ∀m:ynat. ∀n:nat. m - S n = ⫰(m - n).
  31 // qed.
  32
  33 lemma yminus_Y2: ∀m. m - (∞) = 0.
  34 // qed.
  35
  36 (* Basic properties *********************************************************)
  37
  38 lemma yminus_inj: ∀m,n. yinj m - yinj n = yinj (m - n).
  39 #m #n elim n -n //
  40 #n #IH >yminus_S2 >IH -IH >eq_minus_S_pred //
  41 qed.
  42
  43 lemma yminus_Y_inj: ∀n. ∞ - yinj n = ∞.
  44 #n elim n -n //
  45 qed.
  46
  47 lemma yminus_O1: ∀x:ynat. 0 - x = 0.
  48 * // qed.
  49
  50 lemma yminus_refl: ∀x:ynat. x - x = 0.
  51 * // qed.
  52
  53 lemma yminus_minus_comm: ∀y,z,x. x - y - z = x - z - y.
  54 * #y [ * #z [ * // ] ] >yminus_O1 //
  55 qed.
  56
  57 (* Properties on predecessor ************************************************)
  58
  59 lemma yminus_SO2: ∀m. m - 1 = ⫰m.
  60 * //
  61 qed.
  62
  63 lemma yminus_pred1: ∀x,y. ⫰x - y = ⫰(x-y).
  64 #x * // #y elim y -y //
  65 qed.
  66
  67 lemma yminus_pred: ∀n,m. 0 < m → 0 < n → ⫰m - ⫰n = m - n.
  68 * // #n *
  69 [ #m #Hm #Hn >yminus_inj >yminus_inj
  70   /4 width=1 by ylt_inv_inj, minus_pred_pred, eq_f/
  71 | >yminus_Y_inj //
  72 ]
  73 qed-.
  74
  75 (* Properties on successor **************************************************)
  76
  77 lemma yminus_succ: ∀n,m. ⫯m - ⫯n = m - n.
  78 * // qed.
  79
  80 lemma yminus_succ1_inj: ∀n:nat. ∀m:ynat. n ≤ m → ⫯m - n = ⫯(m - n).
  81 #n *
  82 [ #m #Hmn >yminus_inj >yminus_inj
  83   /4 width=1 by yle_inv_inj, plus_minus, eq_f/
  84 | >yminus_Y_inj //
  85 ]
  86 qed-.
  87
  88 lemma yminus_succ2: ∀y,x. x - ⫯y = ⫰(x-y).
  89 * //
  90 qed.
  91
  92 (* Properties on order ******************************************************)
  93
  94 lemma yle_minus_sn: ∀n,m. m - n ≤ m.
  95 * // #n * /2 width=1 by yle_inj/
  96 qed.
  97
  98 lemma yle_to_minus: ∀m:ynat. ∀n:ynat. m ≤ n → m - n = 0.
  99 #m #n * -m -n /3 width=3 by eq_minus_O, eq_f/
 100 qed-.
 101
 102 lemma yminus_to_le: ∀n:ynat. ∀m:ynat. m - n = 0 → m ≤ n.
 103 * // #n *
 104 [ #m >yminus_inj #H lapply (yinj_inj … H) -H (**) (* destruct lemma needed *)
 105   /2 width=1 by yle_inj/
 106 | >yminus_Y_inj #H destruct
 107 ]
 108 qed.
 109
 110 lemma monotonic_yle_minus_dx: ∀x,y. x ≤ y → ∀z. x - z ≤ y - z.
 111 #x #y #Hxy * //
 112 #z elim z -z /3 width=1 by yle_pred/
 113 qed.
 114
 115 (* Properties on strict order ***********************************************)
 116
 117 lemma ylt_to_minus: ∀x,y:ynat. x < y → 0 < y - x.
 118 #x #y #H elim H -x -y /3 width=1 by ylt_inj, lt_plus_to_minus_r/
 119 qed.
 120
 121 lemma yminus_to_lt: ∀x,y:ynat. 0 < y - x → x < y.
 122 * [2: #y #H elim (ylt_yle_false … H) // ]
 123 #m * /4 width=1 by ylt_inv_inj, ylt_inj, lt_minus_to_plus_r/
 124 qed-.
 125
 126 lemma monotonic_ylt_minus_dx: ∀x,y:ynat. x < y → ∀z:nat. z ≤ x → x - z < y - z.
 127 #x #y * -x -y
 128 /4 width=1 by ylt_inj, yle_inv_inj, monotonic_lt_minus_l/
 129 qed.
 130
 131 (* Properties on minus ******************************************************)
 132
 133 lemma yplus_minus_inj: ∀m:ynat. ∀n:nat. m + n - n = m.
 134 #m #n elim n -n //
 135 #n #IHn >(yplus_succ2 m n) >(yminus_succ … n) //
 136 qed.
 137
 138 lemma yplus_minus: ∀m,n. m + n - n ≤ m.
 139 #m * //
 140 qed.
 141
 142 lemma yminus_plus2: ∀z,y,x:ynat. x - (y + z) = x - y - z.
 143 * // #z * [2: >yplus_Y1 >yminus_O1 // ] #y *
 144 [ #x >yplus_inj >yminus_inj >yminus_inj >yminus_inj /2 width=1 by eq_f/
 145 | >yplus_inj >yminus_Y_inj //
 146 ]
 147 qed.
 148
 149 (* Forward lemmas on minus **************************************************)
 150
 151 lemma yle_plus1_to_minus_inj2: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. x + y ≤ z → x ≤ z - y.
 152 #x #z #y #H lapply (monotonic_yle_minus_dx … H y) -H //
 153 qed-.
 154
 155 lemma yle_plus1_to_minus_inj1: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. y + x ≤ z → x ≤ z - y.
 156 /2 width=1 by yle_plus1_to_minus_inj2/ qed-.
 157
 158 lemma yle_plus2_to_minus_inj2: ∀x,y:ynat. ∀z:nat. x ≤ y + z → x - z ≤ y.
 159 /2 width=1 by monotonic_yle_minus_dx/ qed-.
 160
 161 lemma yle_plus2_to_minus_inj1: ∀x,y:ynat. ∀z:nat. x ≤ z + y → x - z ≤ y.
 162 /2 width=1 by yle_plus2_to_minus_inj2/ qed-.
 163
 164 lemma yplus_minus_assoc_inj: ∀x:nat. ∀y,z:ynat. x ≤ y → z + (y - x) = z + y - x.
 165 #x *
 166 [ #y * // #z >yminus_inj >yplus_inj >yplus_inj
 167   /4 width=1 by yle_inv_inj, plus_minus, eq_f/
 168 | >yminus_Y_inj //
 169 ]
 170 qed-.
 171
 172 lemma yplus_minus_assoc_comm_inj: ∀x:nat. ∀y,z:ynat. x ≤ y → z - (y - x) = z + x - y.
 173 #x *
 174 [ #y *
 175   [ #z >yminus_inj >yminus_inj >yplus_inj >yminus_inj
 176     /4 width=1 by yle_inv_inj, minus_le_minus_minus_comm, eq_f/
 177   | >yminus_inj >yminus_Y_inj //
 178   ]
 179 | >yminus_Y_inj //
 180 ]
 181 qed-.
 182
 183 lemma yplus_minus_comm_inj: ∀y:nat. ∀x,z:ynat. y ≤ x → x + z - y = x - y + z.
 184 #y * // #x * //
 185 #z #Hxy >yplus_inj >yminus_inj <plus_minus
 186 /2 width=1 by yle_inv_inj/
 187 qed-.
 188
 189 lemma ylt_plus1_to_minus_inj2: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. x + y < z → x < z - y.
 190 #x #z #y #H lapply (monotonic_ylt_minus_dx … H y ?) -H //
 191 qed-.
 192
 193 lemma ylt_plus1_to_minus_inj1: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. y + x < z → x < z - y.
 194 /2 width=1 by ylt_plus1_to_minus_inj2/ qed-.
 195
 196 lemma ylt_plus2_to_minus_inj2: ∀x,y:ynat. ∀z:nat. z ≤ x → x < y + z → x - z < y.
 197 /2 width=1 by monotonic_ylt_minus_dx/ qed-.
 198
 199 lemma ylt_plus2_to_minus_inj1: ∀x,y:ynat. ∀z:nat. z ≤ x → x < z + y → x - z < y.
 200 /2 width=1 by ylt_plus2_to_minus_inj2/ qed-.
 201
 202 lemma yplus_inv_minus: ∀x1,y1. y1 ≤ yinj x1 →
 203                        ∀x2,y2. yinj x1 + x2 = yinj y2 + y1 →
 204                        yinj x1 - y1 = yinj y2 - x2 ∧ x2 ≤ yinj y2.
 205 #x1 #y1 #Hyx1 #x2 #y2 #H0
 206 lapply (yle_fwd_plus_ge_inj … x2 y2 Hyx1 ?) // #Hxy2
 207 elim (yle_inv_inj2 … Hyx1) -Hyx1 #m #Hyx1 #H destruct
 208 elim (yle_inv_inj2 … Hxy2) #n #H1 #H destruct
 209 >yplus_inj in H0; >yplus_inj >yminus_inj >yminus_inj #H0
 210 @conj // lapply (yinj_inj … H0) -H0 /3 width=1 by arith_b1, eq_f/
 211 qed-.
 212
 213 (* Inversion lemmas on minus ************************************************)
 214
 215 lemma yle_inv_plus_inj2: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. x + y ≤ z → x ≤ z - y ∧ y ≤ z.
 216 /3 width=3 by yle_plus1_to_minus_inj2, yle_trans, conj/ qed-.
 217
 218 lemma yle_inv_plus_inj1: ∀x,z:ynat. ∀y:nat. y + x ≤ z → x ≤ z - y ∧ y ≤ z.
 219 /2 width=1 by yle_inv_plus_inj2/ qed-.
 220
 221 lemma yle_inv_plus_inj_dx: ∀x,y:ynat. ∀z:nat. x + y ≤ z →
 222                            ∃∃m,n. x = yinj m & y = yinj n & x ≤ z - y & y ≤ z.
 223 #x #y #z #Hz elim (yle_inv_inj2 … Hz)
 224 #z0 #_ #H elim (yplus_inv_inj … H) -H
 225 #m #n #H1 #H2 #H3 destruct
 226 elim (yle_inv_plus_inj2 … Hz) -Hz /2 width=2 by ex4_2_intro/
 227 qed-.
 228
 229 (* Inversions with yplus ****************************************************)
 230
 231 (*** yle_inv_plus_dx *)
 232 lemma yle_inv_plus_dx (x) (y):
 233       x ≤ y → ∃z. x + z = y.
 234 #x #y * -x -y
 235 [ #m #n #H
 236
 237  @(ex_intro … (yinj (n-m))) (**) (* explicit constructor *)
 238   /3 width=1 by plus_minus, eq_f/
 239 | /2 width=2 by ex_intro/
 240 ]
 241 qed-.
 242
 243 lemma yle_inv_plus_sn: ∀x,y. x ≤ y → ∃z. z + x = y.
 244 #x #y #H elim (yle_inv_plus_dx … H) -H
 245 /2 width=2 by ex_intro/
 246 qed-.
 247
 248 lemma ylt_inv_plus_sn: ∀x,y. x < y → ∃∃z. ↑z + x = y & x < ∞.
 249 #x #y #H elim (ylt_inv_le … H) -H
 250 #Hx #H elim (yle_inv_plus_sn … H) -H
 251 /2 width=2 by ex2_intro/
 252 qed-.
 253
 254 lemma ylt_inv_plus_dx: ∀x,y. x < y → ∃∃z. x + ↑z = y & x < ∞.
 255 #x #y #H elim (ylt_inv_plus_sn … H) -H
 256 #z >yplus_comm /2 width=2 by ex2_intro/
 257 qed-.