matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/lib/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "ground/xoa/ex_3_1.ma".
  17 include "ground/xoa/or_3.ma".
  18 include "ground/notation/functions/uparrow_1.ma".
  19 include "ground/notation/functions/downarrow_1.ma".
  20 include "ground/pull/pull_2.ma".
  21 include "ground/lib/relations.ma".
  22
  23 (* ARITHMETICAL PROPERTIES **************************************************)
  24
  25 interpretation "nat successor" 'UpArrow m = (S m).
  26
  27 interpretation "nat predecessor" 'DownArrow m = (pred m).
  28
  29 interpretation "nat min" 'and x y = (min x y).
  30
  31 interpretation "nat max" 'or x y = (max x y).
  32
  33 (* Iota equations ***********************************************************)
  34
  35 lemma pred_O: pred 0 = 0.
  36 normalize // qed.
  37
  38 lemma pred_S: ∀m. pred (S m) = m.
  39 // qed.
  40
  41 lemma plus_S1: ∀x,y. ↑(x+y) = (↑x) + y.
  42 // qed.
  43
  44 lemma max_O1: ∀n. n = (0 ∨ n).
  45 // qed.
  46
  47 lemma max_O2: ∀n. n = (n ∨ 0).
  48 // qed.
  49
  50 lemma max_SS: ∀n1,n2. ↑(n1∨n2) = (↑n1 ∨ ↑n2).
  51 #n1 #n2 elim (decidable_le n1 n2) #H normalize
  52 [ >(le_to_leb_true … H) | >(not_le_to_leb_false … H) ] -H //
  53 qed.
  54
  55 (* Equalities ***************************************************************)
  56
  57 lemma plus_SO_sn (n): 1 + n = ↑n.
  58 // qed-.
  59
  60 lemma plus_SO_dx (n): n + 1 = ↑n.
  61 // qed.
  62
  63 lemma minus_SO_dx (n): n-1 = ↓n.
  64 // qed.
  65
  66 lemma minus_plus_m_m_commutative: ∀n,m:nat. n = m + n - m.
  67 // qed-.
  68
  69 lemma plus_minus_m_m_commutative (n) (m): m ≤ n → n = m+(n-m).
  70 /2 width=1 by plus_minus_associative/ qed-.
  71
  72 lemma plus_to_minus_2: ∀m1,m2,n1,n2. n1 ≤ m1 → n2 ≤ m2 →
  73                        m1+n2 = m2+n1 → m1-n1 = m2-n2.
  74 #m1 #m2 #n1 #n2 #H1 #H2 #H
  75 @plus_to_minus >plus_minus_associative //
  76 qed-.
  77
  78 (* Note: uses minus_minus_comm, minus_plus_m_m, commutative_plus, plus_minus *)
  79 lemma plus_minus_minus_be: ∀x,y,z. y ≤ z → z ≤ x → (x - z) + (z - y) = x - y.
  80 #x #z #y #Hzy #Hyx >plus_minus // >commutative_plus >plus_minus //
  81 qed-.
  82
  83 lemma lt_succ_pred: ∀m,n. n < m → m = ↑↓m.
  84 #m #n #Hm >S_pred /2 width=2 by ltn_to_ltO/
  85 qed-.
  86
  87 fact plus_minus_minus_be_aux: ∀i,x,y,z. y ≤ z → z ≤ x → i = z - y → x - z + i = x - y.
  88 /2 width=1 by plus_minus_minus_be/ qed-.
  89
  90 lemma le_plus_minus: ∀m,n,p. p ≤ n → m + n - p = m + (n - p).
  91 /2 by plus_minus/ qed-.
  92
  93 lemma le_plus_minus_comm: ∀n,m,p. p ≤ m → m + n - p = m - p + n.
  94 /2 by plus_minus/ qed-.
  95
  96 lemma minus_minus_comm3: ∀n,x,y,z. n-x-y-z = n-y-z-x.
  97 // qed.
  98
  99 lemma idempotent_max: ∀n:nat. n = (n ∨ n).
 100 #n normalize >le_to_leb_true //
 101 qed.
 102
 103 lemma associative_max: associative … max.
 104 #x #y #z normalize
 105 @(leb_elim x y) normalize #Hxy
 106 @(leb_elim y z) normalize #Hyz //
 107 [1,2: >le_to_leb_true /2 width=3 by transitive_le/
 108 | >not_le_to_leb_false /4 width=3 by lt_to_not_le, not_le_to_lt, transitive_lt/
 109   >not_le_to_leb_false //
 110 ]
 111 qed.
 112
 113 (* Properties ***************************************************************)
 114
 115 lemma eq_nat_dec: ∀n1,n2:nat. Decidable (n1 = n2).
 116 #n1 elim n1 -n1 [| #n1 #IHn1 ] * [2,4: #n2 ]
 117 [1,4: @or_intror #H destruct
 118 | elim (IHn1 n2) -IHn1 /3 width=1 by or_intror, or_introl/
 119 | /2 width=1 by or_introl/
 120 ]
 121 qed-.
 122
 123 lemma lt_or_eq_or_gt: ∀m,n. ∨∨ m < n | n = m | n < m.
 124 #m #n elim (lt_or_ge m n) /2 width=1 by or3_intro0/
 125 #H elim H -m /2 width=1 by or3_intro1/
 126 #m #Hm * /3 width=1 by not_le_to_lt, le_S_S, or3_intro2/
 127 qed-.
 128
 129 lemma monotonic_le_minus_l2: ∀x1,x2,y,z. x1 ≤ x2 → x1 - y - z ≤ x2 - y - z.
 130 /3 width=1 by monotonic_le_minus_l/ qed.
 131
 132 lemma minus_le_trans_sn: ∀x1,x2. x1 ≤ x2 → ∀x. x1-x ≤ x2.
 133 /2 width=3 by transitive_le/ qed.
 134
 135 lemma le_plus_to_minus_l: ∀a,b,c. a + b ≤ c → b ≤ c-a.
 136 /2 width=1 by le_plus_to_minus_r/
 137 qed-.
 138
 139 lemma le_plus_to_minus_comm: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-p ≤ m.
 140 /2 width=1 by le_plus_to_minus/ qed-.
 141
 142 lemma le_inv_S1: ∀m,n. ↑m ≤ n → ∃∃p. m ≤ p & ↑p = n.
 143 #m *
 144 [ #H lapply (le_n_O_to_eq … H) -H
 145   #H destruct
 146 | /3 width=3 by monotonic_pred, ex2_intro/
 147 ]
 148 qed-.
 149
 150 (* Note: this might interfere with nat.ma *)
 151 lemma monotonic_lt_pred: ∀m,n. m < n → 0 < m → pred m < pred n.
 152 #m #n #Hmn #Hm whd >(S_pred … Hm)
 153 @le_S_S_to_le >S_pred /2 width=3 by transitive_lt/
 154 qed.
 155
 156 lemma lt_S_S: ∀x,y. x < y → ↑x < ↑y.
 157 /2 width=1 by le_S_S/ qed.
 158
 159 lemma lt_S: ∀n,m. n < m → n < ↑m.
 160 /2 width=1 by le_S/ qed.
 161
 162 lemma monotonic_lt_minus_r:
 163 ∀p,q,n. q < n -> q < p → n-p < n-q.
 164 #p #q #n #Hn #H
 165 lapply (monotonic_le_minus_r … n H) -H #H
 166 @(le_to_lt_to_lt … H) -H
 167 /2 width=1 by lt_plus_to_minus/
 168 qed.
 169
 170 lemma max_S1_le_S: ∀n1,n2,n. (n1 ∨ n2) ≤ n → (↑n1 ∨ n2) ≤ ↑n.
 171 /4 width=2 by to_max, le_maxr, le_S_S, le_S/ qed-.
 172
 173 lemma max_S2_le_S: ∀n1,n2,n. (n1 ∨ n2) ≤ n → (n1 ∨ ↑n2) ≤ ↑n.
 174 /2 width=1 by max_S1_le_S/ qed-.
 175
 176 (* Inversion & forward lemmas ***********************************************)
 177
 178 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → ⊥.
 179 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2 width=1 by/
 180 qed-.
 181
 182 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → ⊥.
 183 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1 by/
 184 qed-.
 185
 186 lemma lt_le_false: ∀x,y. x < y → y ≤ x → ⊥.
 187 /3 width=4 by lt_refl_false, lt_to_le_to_lt/ qed-.
 188
 189 lemma le_dec (n) (m): Decidable (n≤m).
 190 #n elim n -n [ /2 width=1 by or_introl/ ]
 191 #n #IH * [ /3 width=2 by lt_zero_false, or_intror/ ]
 192 #m elim (IH m) -IH
 193 [ /3 width=1 by or_introl, le_S_S/
 194 | /4 width=1 by or_intror, le_S_S_to_le/
 195 ]
 196 qed-.
 197
 198 lemma succ_inv_refl_sn: ∀x. ↑x = x → ⊥.
 199 #x #H @(lt_le_false x (↑x)) //
 200 qed-.
 201
 202 lemma le_plus_xSy_O_false: ∀x,y. x + S y ≤ 0 → ⊥.
 203 #x #y #H lapply (le_n_O_to_eq … H) -H <plus_n_Sm #H destruct
 204 qed-.
 205
 206 lemma le_plus_xySz_x_false: ∀y,z,x. x + y + S z ≤ x → ⊥.
 207 #y #z #x elim x -x /3 width=1 by le_S_S_to_le/
 208 #H elim (le_plus_xSy_O_false … H)
 209 qed-.
 210
 211 lemma plus_xySz_x_false: ∀z,x,y. x + y + S z = x → ⊥.
 212 /2 width=4 by le_plus_xySz_x_false/ qed-.
 213
 214 lemma plus_xSy_x_false: ∀y,x. x + S y = x → ⊥.
 215 /2 width=4 by plus_xySz_x_false/ qed-.
 216
 217 lemma pred_inv_fix_sn: ∀x. ↓x = x → 0 = x.
 218 * // #x <pred_Sn #H
 219 elim (succ_inv_refl_sn x) //
 220 qed-.
 221
 222 lemma discr_plus_xy_y: ∀x,y. x + y = y → x = 0.
 223 // qed-.
 224
 225 lemma discr_plus_x_xy: ∀x,y. x = x + y → y = 0.
 226 /2 width=2 by le_plus_minus_comm/ qed-.
 227
 228 lemma plus2_le_sn_sn: ∀m1,m2,n1,n2. m1 + n1 = m2 + n2 → m1 ≤ m2 → n2 ≤ n1.
 229 #m1 #m2 #n1 #n2 #H #Hm
 230 lapply (monotonic_le_plus_l n1 … Hm) -Hm >H -H
 231 /2 width=2 by le_plus_to_le/
 232 qed-.
 233
 234 lemma plus2_le_sn_dx: ∀m1,m2,n1,n2. m1 + n1 = n2 + m2 → m1 ≤ m2 → n2 ≤ n1.
 235 /2 width=4 by plus2_le_sn_sn/ qed-.
 236
 237 lemma plus2_le_dx_sn: ∀m1,m2,n1,n2. n1 + m1 = m2 + n2 → m1 ≤ m2 → n2 ≤ n1.
 238 /2 width=4 by plus2_le_sn_sn/ qed-.
 239
 240 lemma plus2_le_dx_dx: ∀m1,m2,n1,n2. n1 + m1 = n2 + m2 → m1 ≤ m2 → n2 ≤ n1.
 241 /2 width=4 by plus2_le_sn_sn/ qed-.
 242
 243 lemma lt_S_S_to_lt: ∀x,y. ↑x < ↑y → x < y.
 244 /2 width=1 by le_S_S_to_le/ qed-.
 245
 246 (* Note this should go in nat.ma *)
 247 lemma discr_x_minus_xy: ∀x,y. x = x - y → x = 0 ∨ y = 0.
 248 #x @(nat_ind_plus … x) -x /2 width=1 by or_introl/
 249 #x #_ #y @(nat_ind_plus … y) -y /2 width=1 by or_intror/
 250 #y #_ >minus_plus_plus_l
 251 #H lapply (discr_plus_xy_minus_xz … H) -H
 252 #H destruct
 253 qed-.
 254
 255 lemma lt_inv_O1: ∀n. 0 < n → ∃m. ↑m = n.
 256 * /2 width=2 by ex_intro/
 257 #H cases (lt_le_false … H) -H //
 258 qed-.
 259
 260 lemma lt_inv_S1: ∀m,n. ↑m < n → ∃∃p. m < p & ↑p = n.
 261 #m * /3 width=3 by lt_S_S_to_lt, ex2_intro/
 262 #H cases (lt_le_false … H) -H //
 263 qed-.
 264
 265 lemma lt_inv_gen: ∀y,x. x < y → ∃∃z. x ≤ z & ↑z = y.
 266 * /3 width=3 by le_S_S_to_le, ex2_intro/
 267 #x #H elim (lt_le_false … H) -H //
 268 qed-.
 269
 270 lemma plus_inv_O3: ∀x,y. x + y = 0 → x = 0 ∧ y = 0.
 271 /2 width=1 by plus_le_0/ qed-.
 272
 273 lemma plus_inv_S3_sn: ∀x1,x2,x3. x1+x2 = ↑x3 →
 274                       ∨∨ ∧∧ x1 = 0 & x2 = ↑x3
 275                        | ∃∃y1. x1 = ↑y1 & y1 + x2 = x3.
 276 * /3 width=1 by or_introl, conj/
 277 #x1 #x2 #x3 <plus_S1 #H destruct
 278 /3 width=3 by ex2_intro, or_intror/
 279 qed-.
 280
 281 lemma plus_inv_S3_dx: ∀x2,x1,x3. x1+x2 = ↑x3 →
 282                       ∨∨ ∧∧ x2 = 0 & x1 = ↑x3
 283                        | ∃∃y2. x2 = ↑y2 & x1 + y2 = x3.
 284 * /3 width=1 by or_introl, conj/
 285 #x2 #x1 #x3 <plus_n_Sm #H destruct
 286 /3 width=3 by ex2_intro, or_intror/
 287 qed-.
 288
 289 lemma max_inv_O3: ∀x,y. (x ∨ y) = 0 → 0 = x ∧ 0 = y.
 290 /4 width=2 by le_maxr, le_maxl, le_n_O_to_eq, conj/
 291 qed-.
 292
 293 lemma zero_eq_plus: ∀x,y. 0 = x + y → 0 = x ∧ 0 = y.
 294 * /2 width=1 by conj/ #x #y normalize #H destruct
 295 qed-.
 296
 297 lemma nat_split: ∀x. x = 0 ∨ ∃y. ↑y = x.
 298 * /3 width=2 by ex_intro, or_introl, or_intror/
 299 qed-.
 300
 301 lemma lt_elim: ∀R:relation nat.
 302                (∀n2. R O (↑n2)) →
 303                (∀n1,n2. R n1 n2 → R (↑n1) (↑n2)) →
 304                ∀n2,n1. n1 < n2 → R n1 n2.
 305 #R #IH1 #IH2 #n2 elim n2 -n2
 306 [ #n1 #H elim (lt_le_false … H) -H //
 307 | #n2 #IH * /4 width=1 by lt_S_S_to_lt/
 308 ]
 309 qed-.
 310
 311 lemma le_elim: ∀R:relation nat.
 312                (∀n2. R O (n2)) →
 313                (∀n1,n2. R n1 n2 → R (↑n1) (↑n2)) →
 314                ∀n1,n2. n1 ≤ n2 → R n1 n2.
 315 #R #IH1 #IH2 #n1 #n2 @(nat_elim2 … n1 n2) -n1 -n2
 316 /4 width=1 by monotonic_pred/ -IH1 -IH2
 317 #n1 #H elim (lt_le_false … H) -H //
 318 qed-.
 319
 320 lemma nat_elim_le_sn (Q:relation …):
 321       (∀m1,m2. (∀m. m < m2-m1 → Q (m2-m) m2) → m1 ≤ m2 → Q m1 m2) →
 322       ∀n1,n2. n1 ≤ n2 → Q n1 n2.
 323 #Q #IH #n1 #n2 #Hn
 324 <(minus_minus_m_m … Hn) -Hn
 325 lapply (minus_le n2 n1)
 326 let d ≝ (n2-n1)
 327 @(nat_elim1 … d) -d -n1 #d
 328 @pull_2 #Hd
 329 <(minus_minus_m_m … Hd) in ⊢ (%→?); -Hd
 330 let n1 ≝ (n2-d) #IHd
 331 @IH -IH [| // ] #m #Hn
 332 /4 width=3 by lt_to_le, lt_to_le_to_lt/
 333 qed-.
 334
 335 (* Iterators ****************************************************************)
 336
 337 (* Note: see also: lib/arithemetics/bigops.ma *)
 338 rec definition iter (n:nat) (B:Type[0]) (op: B → B) (nil: B) ≝
 339   match n with
 340    [ O   ⇒ nil
 341    | S k ⇒ op (iter k B op nil)
 342    ].
 343
 344 interpretation "iterated function" 'exp op n = (iter n ? op).
 345
 346 lemma iter_O: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B.∀b. f^0 b = b.
 347 // qed.
 348
 349 lemma iter_S: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B.∀b,l. f^(S l) b = f (f^l b).
 350 // qed.
 351
 352 lemma iter_n_Sm: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B. ∀b,l. f^l (f b) = f (f^l b).
 353 #B #f #b #l elim l -l normalize //
 354 qed.
 355
 356 lemma iter_plus: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B. ∀b,l1,l2. f^(l1+l2) b = f^l1 (f^l2 b).
 357 #B #f #b #l1 elim l1 -l1 normalize //
 358 qed.
 359
 360 (* Trichotomy operator ******************************************************)
 361
 362 (* Note: this is "if eqb n1 n2 then a2 else if leb n1 n2 then a1 else a3" *)
 363 rec definition tri (A:Type[0]) n1 n2 a1 a2 a3 on n1 : A ≝
 364   match n1 with
 365   [ O    ⇒ match n2 with [ O ⇒ a2 | S n2 ⇒ a1 ]
 366   | S n1 ⇒ match n2 with [ O ⇒ a3 | S n2 ⇒ tri A n1 n2 a1 a2 a3 ]
 367   ].
 368
 369 lemma tri_lt: ∀A,a1,a2,a3,n2,n1. n1 < n2 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a1.
 370 #A #a1 #a2 #a3 #n2 elim n2 -n2
 371 [ #n1 #H elim (lt_zero_false … H)
 372 | #n2 #IH #n1 elim n1 -n1 /3 width=1 by monotonic_lt_pred/
 373 ]
 374 qed.
 375
 376 lemma tri_eq: ∀A,a1,a2,a3,n. tri A n n a1 a2 a3 = a2.
 377 #A #a1 #a2 #a3 #n elim n -n normalize //
 378 qed.
 379
 380 lemma tri_gt: ∀A,a1,a2,a3,n1,n2. n2 < n1 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a3.
 381 #A #a1 #a2 #a3 #n1 elim n1 -n1
 382 [ #n2 #H elim (lt_zero_false … H)
 383 | #n1 #IH #n2 elim n2 -n2 /3 width=1 by monotonic_lt_pred/
 384 ]
 385 qed.
 386
 387 (* Decidability of predicates ***********************************************)
 388
 389 lemma dec_lt (R:predicate nat):
 390       (∀n. Decidable … (R n)) →
 391       ∀n. Decidable … (∃∃m. m < n & R m).
 392 #R #HR #n elim n -n [| #n * ]
 393 [ @or_intror * /2 width=2 by lt_zero_false/
 394 | * /4 width=3 by lt_S, or_introl, ex2_intro/
 395 | #H0 elim (HR n) -HR
 396   [ /3 width=3 by or_introl, ex2_intro/
 397   | #Hn @or_intror * #m #Hmn #Hm
 398     elim (le_to_or_lt_eq … Hmn) -Hmn #H destruct [ -Hn | -H0 ]
 399     /4 width=3 by lt_S_S_to_lt, ex2_intro/
 400   ]
 401 ]
 402 qed-.
 403
 404 lemma dec_min (R:predicate nat):
 405       (∀n. Decidable … (R n)) → ∀n. R n →
 406       ∃∃m. m ≤ n & R m & (∀p. p < m → R p → ⊥).
 407 #R #HR #n
 408 @(nat_elim1 n) -n #n #IH #Hn
 409 elim (dec_lt … HR n) -HR [ -Hn | -IH ]
 410 [ * #p #Hpn #Hp
 411   elim (IH … Hpn Hp) -IH -Hp #m #Hmp #Hm #HNm
 412   @(ex3_intro … Hm HNm) -HNm
 413   /3 width=3 by lt_to_le, le_to_lt_to_lt/
 414 | /4 width=4 by ex3_intro, ex2_intro/
 415 ]
 416 qed-.