matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/lib/exteq.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/notation/relations/doteq_4.ma".
  16 include "ground/lib/relations.ma".
  17
  18 (* EXTENSIONAL EQUIVALENCE **************************************************)
  19
  20 definition exteq (A,B:Type[0]): relation (A → B) ≝
  21            λf1,f2. ∀a. f1 a = f2 a.
  22
  23 interpretation
  24   "extensional equivalence"
  25   'DotEq A B f1 f2 = (exteq A B f1 f2).
  26
  27 (* Basic constructions ******************************************************)
  28
  29 lemma exteq_refl (A) (B): reflexive … (exteq A B).
  30 // qed.
  31
  32 lemma exteq_repl (A) (B): replace_2 … (exteq A B) (exteq A B) (exteq A B).
  33 // qed-.
  34
  35 lemma exteq_sym (A) (B): symmetric … (exteq A B).
  36 /2 width=1 by exteq_repl/ qed-.
  37
  38 lemma exteq_trans (A) (B): Transitive … (exteq A B).
  39 /2 width=1 by exteq_repl/ qed-.
  40
  41 lemma exteq_canc_sn (A) (B): left_cancellable … (exteq A B).
  42 /2 width=1 by exteq_repl/ qed-.
  43
  44 lemma exteq_canc_dx (A) (B): right_cancellable … (exteq A B).
  45 /2 width=1 by exteq_repl/ qed-.
  46
  47 (* Constructions with function composition **********************************)
  48
  49 lemma compose_repl_fwd_dx (A) (B) (C) (g) (f1) (f2):
  50       f1 ≐{A,B} f2 → g ∘ f1 ≐{A,C} g ∘ f2.
  51 #A #B #C #g #f1 #f2 #Hf12 #a
  52 whd in ⊢ (??%%); //
  53 qed.
  54
  55 lemma compose_repl_bak_dx (A) (B) (C) (g) (f1) (f2):
  56       f1 ≐{A,B} f2 → g ∘ f2 ≐{A,C} g ∘ f1.
  57 /3 width=1 by compose_repl_fwd_dx, exteq_sym/
  58 qed.
  59
  60 lemma compose_repl_fwd_sn (A) (B) (C) (g1) (g2) (f):
  61       g1 ≐{B,C} g2 → g1 ∘ f ≐{A,C} g2 ∘ f.
  62 #A #B #C #g1 #g2 #f #Hg12 #a
  63 whd in ⊢ (??%%); //
  64 qed.
  65
  66 lemma compose_repl_bak_sn (A) (B) (C) (g1) (g2) (f):
  67       g1 ≐{B,C} g2 → g2 ∘ f ≐{A,C} g1 ∘ f.
  68 /3 width=1 by compose_repl_fwd_sn, exteq_sym/
  69 qed.
  70
  71 lemma compose_assoc (A1) (A2) (A3) (A4) (f3:A3→A4) (f2:A2→A3) (f1:A1→A2):
  72       f3 ∘ (f2 ∘ f1) ≐ f3 ∘ f2 ∘ f1.
  73 // qed.