matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/relocation/pr_sand.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/notation/relations/rintersection_3.ma".
  16 include "ground/relocation/pr_tl.ma".
  17
  18 (* RELATIONAL INTERSECTION FOR PARTIAL RELOCATION MAPS **********************)
  19
  20 (*** sand *)
  21 coinductive pr_sand: relation3 pr_map pr_map pr_map ≝
  22 (*** sand_pp *)
  23 | pr_sand_push_bi (f1) (f2) (f) (g1) (g2) (g):
  24   pr_sand f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → pr_sand g1 g2 g
  25 (*** sand_np *)
  26 | pr_sand_next_push (f1) (f2) (f) (g1) (g2) (g):
  27   pr_sand f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → pr_sand g1 g2 g
  28 (*** sand_pn *)
  29 | pr_sand_push_next (f1) (f2) (f) (g1) (g2) (g):
  30   pr_sand f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → pr_sand g1 g2 g
  31 (*** sand_nn *)
  32 | pr_sand_next_bi (f1) (f2) (f) (g1) (g2) (g):
  33   pr_sand f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → pr_sand g1 g2 g
  34 .
  35
  36 interpretation
  37   "relational intersection (partial relocation maps)"
  38   'RIntersection f1 f2 f = (pr_sand f1 f2 f).
  39
  40 (* Basic constructions ******************************************************)
  41
  42 (*** sand_refl *)
  43 corec lemma pr_sand_idem:
  44             ∀f. f ⋒ f ≘ f.
  45 #f cases (pr_map_split_tl f) #H
  46 [ @(pr_sand_push_bi … H H H)
  47 | @(pr_sand_next_bi … H H H)
  48 ] -H //
  49 qed.
  50
  51 (*** sand_sym *)
  52 corec lemma pr_sand_comm:
  53             ∀f1,f2,f. f1 ⋒ f2 ≘ f → f2 ⋒ f1 ≘ f.
  54 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
  55 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf * * * -g1 -g2 -g
  56 [ @pr_sand_push_bi
  57 | @pr_sand_push_next
  58 | @pr_sand_next_push
  59 | @pr_sand_next_bi
  60 ] /2 width=7 by/
  61 qed-.
  62
  63 (* Basic inversions *********************************************************)
  64
  65 (*** sand_inv_ppx *)
  66 lemma pr_sand_inv_push_bi:
  67       ∀g1,g2,g. g1 ⋒ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  68       ∃∃f. f1 ⋒ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  69 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  70 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  71 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx1) -x1) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx1) -x1)
  72 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx1) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx1)
  73 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx2) -x2) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx2) -x2)
  74 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx2) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx2)
  75 /2 width=3 by ex2_intro/
  76 qed-.
  77
  78 (*** sand_inv_npx *)
  79 lemma pr_sand_inv_next_push:
  80       ∀g1,g2,g. g1 ⋒ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  81       ∃∃f. f1 ⋒ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  82 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  83 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  84 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx1) -x1) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx1) -x1)
  85 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx1) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx1)
  86 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx2) -x2) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx2) -x2)
  87 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx2) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx2)
  88 /2 width=3 by ex2_intro/
  89 qed-.
  90
  91 (*** sand_inv_pnx *)
  92 lemma pr_sand_inv_push_next:
  93       ∀g1,g2,g. g1 ⋒ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  94       ∃∃f. f1 ⋒ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  95 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  96 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  97 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx1) -x1) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx1) -x1)
  98 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx1) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx1)
  99 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx2) -x2) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx2) -x2)
 100 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx2) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx2)
 101 /2 width=3 by ex2_intro/
 102 qed-.
 103
 104 (*** sand_inv_nnx *)
 105 lemma pr_sand_inv_next_bi:
 106       ∀g1,g2,g. g1 ⋒ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
 107       ∃∃f. f1 ⋒ f2 ≘ f & ↑f = g.
 108 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
 109 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
 110 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx1) -x1) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx1) -x1)
 111 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx1) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx1)
 112 try (>(eq_inv_pr_push_bi … Hx2) -x2) try (>(eq_inv_pr_next_bi … Hx2) -x2)
 113 try elim (eq_inv_pr_push_next … Hx2) try elim (eq_inv_pr_next_push … Hx2)
 114 /2 width=3 by ex2_intro/
 115 qed-.