matita/matita/contribs/lambdadelta/ground/relocation/rtmap_coafter.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground/notation/relations/rcoafter_3.ma".
  16 include "ground/relocation/rtmap_sor.ma".
  17 include "ground/relocation/rtmap_nat.ma".
  18 include "ground/relocation/rtmap_after.ma".
  19
  20 (* RELOCATION MAP ***********************************************************)
  21
  22 coinductive coafter: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
  23 | coafter_refl: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
  24                 ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → coafter g1 g2 g
  25 | coafter_push: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
  26                 ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → coafter g1 g2 g
  27 | coafter_next: ∀f1,f2,f,g1,g. coafter f1 f2 f →
  28                 ↑f1 = g1 → ⫯f = g → coafter g1 f2 g
  29 .
  30
  31 interpretation "relational co-composition (rtmap)"
  32    'RCoAfter f1 f2 f = (coafter f1 f2 f).
  33
  34 definition H_coafter_inj: predicate rtmap ≝
  35                           λf1. 𝐓❪f1❫ →
  36                           ∀f,f21,f22. f1 ~⊚ f21 ≘ f → f1 ~⊚ f22 ≘ f → f21 ≡ f22.
  37
  38 definition H_coafter_fwd_isid2: predicate rtmap ≝
  39                                 λf1. ∀f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐓❪f1❫ → 𝐈❪f❫ → 𝐈❪f2❫.
  40
  41 definition H_coafter_isfin2_fwd: predicate rtmap ≝
  42                                  λf1. ∀f2. 𝐅❪f2❫ → 𝐓❪f1❫ → ∀f. f1 ~⊚ f2 ≘ f →  𝐅❪f❫.
  43
  44 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  45
  46 lemma coafter_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  47                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  48 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
  49 [ #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  50   >(injective_push … Hx1) >(injective_push … Hx2) -x2 -x1
  51   /2 width=3 by ex2_intro/
  52 | #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
  53   elim (discr_push_next … Hx2)
  54 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
  55   elim (discr_push_next … Hx1)
  56 ]
  57 qed-.
  58
  59 lemma coafter_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  60                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f = g.
  61 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
  62 [ #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
  63   elim (discr_next_push … Hx2)
  64 | #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H3 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  65   >(injective_push … Hx1) >(injective_next … Hx2) -x2 -x1
  66   /2 width=3 by ex2_intro/
  67 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
  68   elim (discr_push_next … Hx1)
  69 ]
  70 qed-.
  71
  72 lemma coafter_inv_nxx: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g → ∀f1. ↑f1 = g1 →
  73                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  74 #g1 #f2 #g * -g1 -f2 -g #f1 #f2 #f #g1
  75 [ #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
  76   elim (discr_next_push … Hx1)
  77 | #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
  78   elim (discr_next_push … Hx1)
  79 | #g #Hf #H1 #H #x1 #Hx1 destruct
  80   >(injective_next … Hx1) -x1
  81   /2 width=3 by ex2_intro/
  82 ]
  83 qed-.
  84
  85 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  86
  87 lemma coafter_inv_ppp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
  88                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
  89 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
  90 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
  91 <(injective_push … Hx) -f //
  92 qed-.
  93
  94 lemma coafter_inv_ppn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
  95                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → ⊥.
  96 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
  97 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
  98 elim (discr_push_next … Hx)
  99 qed-.
 100
 101 lemma coafter_inv_pnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 102                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 103 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
 104 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
 105 <(injective_next … Hx) -f //
 106 qed-.
 107
 108 lemma coafter_inv_pnp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 109                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → ⊥.
 110 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
 111 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
 112 elim (discr_next_push … Hx)
 113 qed-.
 114
 115 lemma coafter_inv_nxp: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g →
 116                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 117 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
 118 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
 119 <(injective_push … Hx) -f //
 120 qed-.
 121
 122 lemma coafter_inv_nxn: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g →
 123                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ↑f = g → ⊥.
 124 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
 125 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
 126 elim (discr_push_next … Hx)
 127 qed-.
 128
 129 lemma coafter_inv_pxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 130                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f = g →
 131                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2.
 132 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 133 [ lapply (coafter_inv_ppp … Hg … H1 H2 H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
 134 | elim (coafter_inv_pnp … Hg … H1 H2 H)
 135 ]
 136 qed-.
 137
 138 lemma coafter_inv_pxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 139                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ↑f = g →
 140                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f2 = g2.
 141 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 142 [ elim (coafter_inv_ppn … Hg … H1 H2 H)
 143 | lapply (coafter_inv_pnn … Hg … H1 … H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
 144 ]
 145 qed-.
 146
 147 lemma coafter_inv_xxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f. ↑f = g →
 148                        ∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ↑f2 = g2.
 149 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 150 [ elim (coafter_inv_pxn … Hg … H1 H) -g /2 width=5 by ex3_2_intro/
 151 | elim (coafter_inv_nxn … Hg … H1 H)
 152 ]
 153 qed-.
 154
 155 lemma coafter_inv_xnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 156                        ∀f2,f. ↑f2 = g2 → ↑f = g →
 157                        ∃∃f1. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1.
 158 #g1 #g2 #g #Hg #f2 #f #H2 destruct #H
 159 elim (coafter_inv_xxn … Hg … H) -g
 160 #z1 #z2 #Hf #H1 #H2 destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 161 qed-.
 162
 163 lemma coafter_inv_xxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f. ⫯f = g →
 164                        (∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ⫯f2 = g2) ∨
 165                        ∃∃f1. f1 ~⊚ g2 ≘ f & ↑f1 = g1.
 166 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 167 [ elim (coafter_inv_pxp … Hg … H1 H) -g
 168   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
 169 | /4 width=5 by coafter_inv_nxp, or_intror, ex2_intro/
 170 ]
 171 qed-.
 172
 173 lemma coafter_inv_pxx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1. ⫯f1 = g1 →
 174                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2 & ⫯f = g) ∨
 175                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f2 = g2 & ↑f = g).
 176 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #H1 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 177 [ elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1
 178   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
 179 | elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1
 180   /3 width=5 by or_intror, ex3_2_intro/
 181 ]
 182 qed-.
 183
 184 (* Basic properties *********************************************************)
 185
 186 corec lemma coafter_eq_repl_back2: ∀f1,f. eq_repl_back (λf2. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 187 #f1 #f #f2 * -f2 -f1 -f
 188 #f21 #f1 #f #g21 [1,2: #g1 ] #g #Hf #H21 [1,2: #H1 ] #H #g22 #H0
 189 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_refl/
 190 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_push/
 191 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H21) -g21 /3 width=5 by coafter_next/
 192 ]
 193 qed-.
 194
 195 lemma coafter_eq_repl_fwd2: ∀f1,f. eq_repl_fwd (λf2. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 196 #f1 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back2/
 197 qed-.
 198
 199 corec lemma coafter_eq_repl_back1: ∀f2,f. eq_repl_back (λf1. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 200 #f2 #f #f1 * -f2 -f1 -f
 201 #f2 #f11 #f #g2 [1,2: #g11 ] #g #Hf #H2 [1,2: #H11 ] #H #g2 #H0
 202 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_refl/
 203 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_push/
 204 | @(coafter_next … H2 H) /2 width=5 by/
 205 ]
 206 qed-.
 207
 208 lemma coafter_eq_repl_fwd1: ∀f2,f. eq_repl_fwd (λf1. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 209 #f2 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back1/
 210 qed-.
 211
 212 corec lemma coafter_eq_repl_back0: ∀f1,f2. eq_repl_back (λf. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 213 #f2 #f1 #f * -f2 -f1 -f
 214 #f2 #f1 #f01 #g2 [1,2: #g1 ] #g01 #Hf01 #H2 [1,2: #H1 ] #H01 #g02 #H0
 215 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_refl/
 216 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_push/
 217 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=5 by coafter_next/
 218 ]
 219 qed-.
 220
 221 lemma coafter_eq_repl_fwd0: ∀f2,f1. eq_repl_fwd (λf. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 222 #f2 #f1 @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back0/
 223 qed-.
 224
 225 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
 226
 227 corec theorem coafter_mono: ∀f1,f2,x,y. f1 ~⊚ f2 ≘ x → f1 ~⊚ f2 ≘ y → x ≡ y.
 228 #f1 #f2 #x #y * -f1 -f2 -x
 229 #f1 #f2 #x #g1 [1,2: #g2 ] #g #Hx #H1 [1,2: #H2 ] #H0x #Hy
 230 [ cases (coafter_inv_ppx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_push/
 231 | cases (coafter_inv_pnx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_next/
 232 | cases (coafter_inv_nxx … Hy … H1) -g1 /3 width=8 by eq_push/
 233 ]
 234 qed-.
 235
 236 lemma coafter_mono_eq: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 237                        f1 ≡ g1 → f2 ≡ g2 → f ≡ g.
 238 /4 width=4 by coafter_mono, coafter_eq_repl_back1, coafter_eq_repl_back2/ qed-.
 239
 240 (* Forward lemmas with pushs ************************************************)
 241
 242 lemma coafter_fwd_pushs: ∀k,l,g2,f1,g. g2 ~⊚ ⫯*[l]f1 ≘ g → @↑❪l, g2❫ ≘ k →
 243                          ∃∃f. ⫱*[k]g2 ~⊚ f1 ≘ f & ⫯*[k] f = g.
 244 #k @(nat_ind_succ … k) -k
 245 [ #l #g2 #f1 #g #Hg #H
 246   elim (rm_nat_inv_xxp … H) -H [|*: // ] #f2 #H1 #H2 destruct
 247   /2 width=3 by ex2_intro/
 248 | #k #IH * [| #l ] #g2 #f1 #g #Hg #H
 249   [ elim (rm_nat_inv_pxn … H) -H [|*: // ] #f2 #Hlk #H destruct
 250     elim (coafter_inv_nxx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 251     elim (IH … Hf Hlk) -IH -Hf -Hlk /2 width=3 by ex2_intro/
 252   | elim (rm_nat_inv_nxn … H) -H [1,4: * |*: // ] #f2 #Hlk #H destruct
 253     [ elim (coafter_inv_ppx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 254       elim (IH … Hf Hlk) -IH -Hf -Hlk /2 width=3 by ex2_intro/
 255     | elim (coafter_inv_nxx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 256       elim (IH … Hf Hlk) -IH -Hf -Hlk /2 width=3 by ex2_intro/
 257     ]
 258   ]
 259 ]
 260 qed-.
 261
 262 (* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
 263
 264 lemma coafter_inv_tl1: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ ⫱g1 ≘ g →
 265                        ∃∃f. ⫯g2 ~⊚ g1 ≘ f & ⫱f = g.
 266 #g2 #g1 #g elim (pn_split g1) * #f1 #H1 #H destruct
 267 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
 268 | @(ex2_intro … (↑g)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
 269 ]
 270 qed-.
 271
 272 lemma coafter_inv_tl0: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≘ ⫱g →
 273                        ∃∃f1. ⫯g2 ~⊚ f1 ≘ g & ⫱f1 = g1.
 274 #g2 #g1 #g elim (pn_split g) * #f #H0 #H destruct
 275 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
 276 | @(ex2_intro … (↑g1)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
 277 ]
 278 qed-.
 279
 280 (* Properties with iterated tail ********************************************)
 281
 282 lemma coafter_tls: ∀l2,l1,f1,f2,f. @↑❪l1, f1❫ ≘ l2 →
 283                    f1 ~⊚ f2 ≘ f → ⫱*[l2]f1 ~⊚ ⫱*[l1]f2 ≘ ⫱*[l2]f.
 284 #l2 @(nat_ind_succ … l2) -l2 [ #l1 | #l2 #IH * [| #l1 ] ] #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf
 285 [ elim (rm_nat_inv_xxp … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1 destruct //
 286 | elim (rm_nat_inv_pxn … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 287   elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
 288   lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg //
 289 | elim (rm_nat_inv_xxn … Hf1) -Hf1 [1,3: * |*: // ] #g1 [ #k1 ] #Hg1 [ #H ] #H1
 290   [ elim (coafter_inv_pxx … Hf … H1) -Hf * #g2 #g #Hg #H2 #H0 destruct
 291     lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg #H //
 292   | elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
 293     lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg #H //
 294   ]
 295 ]
 296 qed.
 297
 298 lemma coafter_tls_O: ∀k,f1,f2,f. @↑❪𝟎, f1❫ ≘ k →
 299                      f1 ~⊚ f2 ≘ f → ⫱*[k]f1 ~⊚ f2 ≘ ⫱*[k]f.
 300 /2 width=1 by coafter_tls/ qed.
 301
 302 (* Note: this does not require ↑ first and second j *)
 303 lemma coafter_tls_succ: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≘ g →
 304                         ∀j. @❪𝟏, g2❫ ≘ j → ⫱*[j]g2 ~⊚ ⫱g1 ≘ ⫱*[j]g.
 305 #g2 #g1 #g #Hg #j #Hg2
 306 lapply (rm_nat_pred_bi … Hg2) -Hg2 #Hg2
 307 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
 308 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
 309 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
 310 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0
 311 >(npsucc_pred j) <tls_S <tls_S //
 312 qed.
 313 (*
 314 lemma coafter_fwd_xpx_pushs: ∀g2,f1,g,i,j. @❪i, g2❫ ≘ j → g2 ~⊚ ⫯*[i]⫯f1 ≘ g →
 315                              ∃∃f.  ⫱*[↑j]g2 ~⊚ f1 ≘ f & ⫯*[j]⫯f = g.
 316 #g2 #g1 #g #i #j #Hg2 <pushs_xn #Hg(coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
 317 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs <tls_pushs #Hf
 318 lapply (at_inv_tls … Hg2) -Hg2 #H
 319 lapply (coafter_eq_repl_fwd2 … Hf … H) -H -Hf #Hf
 320 elim (coafter_inv_ppx … Hf) [|*: // ] -Hf #g #Hg #H destruct
 321 /2 width=3 by ex2_intro/
 322 qed-.
 323
 324 lemma coafter_fwd_xnx_pushs: ∀g2,f1,g,i,j. @❪i, g2❫ ≘ j → g2 ~⊚ ⫯*[i]↑f1 ≘ g →
 325                              ∃∃f. ⫱*[↑j]g2 ~⊚ f1 ≘ f & ⫯*[j] ↑f = g.
 326 #g2 #g1 #g #i #j #Hg2 #Hg
 327 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
 328 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs <tls_pushs #Hf
 329 lapply (at_inv_tls … Hg2) -Hg2 #H
 330 lapply (coafter_eq_repl_fwd2 … Hf … H) -H -Hf #Hf
 331 elim (coafter_inv_pnx … Hf) [|*: // ] -Hf #g #Hg #H destruct
 332 /2 width=3 by ex2_intro/
 333 qed-.
 334 *)
 335 (* Properties with test for identity ****************************************)
 336
 337 corec lemma coafter_isid_sn: ∀f1. 𝐈❪f1❫ → ∀f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f2.
 338 #f1 * -f1 #f1 #g1 #Hf1 #H1 #f2 cases (pn_split f2) * #g2 #H2
 339 /3 width=7 by coafter_push, coafter_refl/
 340 qed.
 341
 342 corec lemma coafter_isid_dx: ∀f2,f. 𝐈❪f2❫ → 𝐈❪f❫ → ∀f1. f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 343 #f2 #f * -f2 #f2 #g2 #Hf2 #H2 * -f #f #g #Hf #H #f1 cases (pn_split f1) * #g1 #H1
 344 [ /3 width=7 by coafter_refl/
 345 | @(coafter_next … H1 … H) /3 width=3 by isid_push/
 346 ]
 347 qed.
 348
 349 (* Inversion lemmas with test for identity **********************************)
 350
 351 lemma coafter_isid_inv_sn: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐈❪f1❫ → f2 ≡ f.
 352 /3 width=6 by coafter_isid_sn, coafter_mono/ qed-.
 353
 354 lemma coafter_isid_inv_dx: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐈❪f2❫ → 𝐈❪f❫.
 355 /4 width=4 by eq_id_isid, coafter_isid_dx, coafter_mono/ qed-.
 356
 357 (* Forward lemmas with istot ************************************************)
 358
 359 corec fact coafter_inj_O_aux: ∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 → H_coafter_inj f1.
 360 #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
 361 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
 362 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
 363 cases (H2g1 (𝟏)) #n #Hn
 364 cases (coafter_inv_pxx … H1f … H1) -H1f * #g21 #g #H1g #H21 #H
 365 [ cases (coafter_inv_pxp … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
 366   @(eq_push … H21 H22) -f21 -f22
 367 | cases (coafter_inv_pxn … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
 368   @(eq_next … H21 H22) -f21 -f22
 369 ]
 370 @(coafter_inj_O_aux (⫱*[↓n]g1) … (⫱*[↓n]g)) -coafter_inj_O_aux
 371 /2 width=1 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls/
 372 qed-.
 373
 374 fact coafter_inj_aux: (∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 → H_coafter_inj f1) →
 375                       ∀i2,f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_inj f1.
 376 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 377 #i2 #IH #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
 378 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1g1 #H1
 379 elim (coafter_inv_nxx … H1f … H1) -H1f #g #H1g #H
 380 lapply (coafter_inv_nxp … H2f … H1 H) -f #H2g
 381 /3 width=6 by istot_inv_next/
 382 qed-.
 383
 384 theorem coafter_inj: ∀f1. H_coafter_inj f1.
 385 #f1 #H cases (H (𝟏)) /3 width=7 by coafter_inj_aux, coafter_inj_O_aux/
 386 qed-.
 387
 388 corec fact coafter_fwd_isid2_O_aux: ∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 →
 389                                     H_coafter_fwd_isid2 f1.
 390 #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
 391 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
 392 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
 393 cases (H2g1 (𝟏)) #n #Hn
 394 cases (coafter_inv_pxx … H … H1) -H * #g2 #g #H #H2 #H0
 395 [ lapply (isid_inv_push … Hf … H0) -Hf #Hg
 396   @(isid_push … H2) -H2
 397   /3 width=7 by coafter_tls_O, at_pxx_tls, istot_tls, isid_tls/
 398 | cases (isid_inv_next … Hf … H0)
 399 ]
 400 qed-.
 401
 402 fact coafter_fwd_isid2_aux: (∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 → H_coafter_fwd_isid2 f1) →
 403                             ∀i2,f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_fwd_isid2 f1.
 404 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 405 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
 406 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 407 elim (coafter_inv_nxx … H … H1) -H #g #Hg #H0
 408 @(IH … Hg1 … Hg) /2 width=3 by istot_inv_next, isid_inv_push/ (**) (* full auto fails *)
 409 qed-.
 410
 411 lemma coafter_fwd_isid2: ∀f1. H_coafter_fwd_isid2 f1.
 412 #f1 #f2 #f #Hf #H cases (H (𝟏))
 413 /3 width=7 by coafter_fwd_isid2_aux, coafter_fwd_isid2_O_aux/
 414 qed-.
 415
 416 fact coafter_isfin2_fwd_O_aux: ∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 →
 417                                H_coafter_isfin2_fwd f1.
 418 #f1 #Hf1 #f2 #H
 419 generalize in match Hf1; generalize in match f1; -f1
 420 @(isfin_ind … H) -f2
 421 [ /3 width=4 by coafter_isid_inv_dx, isfin_isid/ ]
 422 #f2 #_ #IH #f1 #H #Hf1 #f #Hf
 423 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #g1 #H1
 424 lapply (istot_inv_push … Hf1 … H1) -Hf1 #Hg1
 425 elim (Hg1 (𝟏)) #n #Hn
 426 [ elim (coafter_inv_ppx … Hf) | elim (coafter_inv_pnx … Hf)
 427 ] -Hf [1,6: |*: // ] #g #Hg #H0 destruct
 428 /5 width=6 by isfin_next, isfin_push, isfin_inv_tls, istot_tls, at_pxx_tls, coafter_tls_O/
 429 qed-.
 430
 431 fact coafter_isfin2_fwd_aux: (∀f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ 𝟏 → H_coafter_isfin2_fwd f1) →
 432                              ∀i2,f1. @❪𝟏, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_isfin2_fwd f1.
 433 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 434 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #Hf2 #H2f1 #f #Hf
 435 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 436 elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0
 437 lapply (IH … Hg1 … Hg) -i2 -Hg
 438 /2 width=4 by istot_inv_next, isfin_push/ (**) (* full auto fails *)
 439 qed-.
 440
 441 lemma coafter_isfin2_fwd: ∀f1. H_coafter_isfin2_fwd f1.
 442 #f1 #f2 #Hf2 #Hf1 cases (Hf1 (𝟏))
 443 /3 width=7 by coafter_isfin2_fwd_aux, coafter_isfin2_fwd_O_aux/
 444 qed-.
 445
 446 lemma coafter_inv_sor: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f2. 𝐓❪f2❫ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f → ∀fa,fb. fa ⋓ fb ≘ f →
 447                        ∃∃f1a,f1b. f2 ~⊚ f1a ≘ fa & f2 ~⊚ f1b ≘ fb & f1a ⋓ f1b ≘ f1.
 448 @isfin_ind
 449 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #H1f #fa #fb #H2f
 450   elim (sor_inv_isid3 … H2f) -H2f //
 451   lapply (coafter_fwd_isid2 … H1f ??) -H1f //
 452   /3 width=5 by ex3_2_intro, coafter_isid_dx, sor_isid/
 453 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
 454   elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #H2f
 455   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ] #g2 [ #g1 ] #H1f #Hgf2
 456   [ lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) | lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) ] -Hf2 #Hg2
 457   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
 458   /3 width=11 by sor_pp, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_next/
 459 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
 460   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #H1f #Hgf2
 461   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 462   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #H2f
 463   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
 464   /3 width=11 by sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_push/
 465 ]
 466 qed-.
 467
 468 (* Properties with istot ****************************************************)
 469
 470 lemma coafter_sor: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f2. 𝐓❪f2❫ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f → ∀f1a,f1b. f1a ⋓ f1b ≘ f1 →
 471                    ∃∃fa,fb. f2 ~⊚ f1a ≘ fa & f2 ~⊚ f1b ≘ fb & fa ⋓ fb ≘ f.
 472 @isfin_ind
 473 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #Hf #f1a #f1b #Hf1
 474   lapply (coafter_fwd_isid2 … Hf ??) -Hf // #H2f1
 475   elim (sor_inv_isid3 … Hf1) -Hf1 //
 476   /3 width=5 by coafter_isid_dx, sor_idem, ex3_2_intro/
 477 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
 478   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ]
 479   [ #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
 480     elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #Hg1
 481     lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 482     elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
 483     /3 width=11 by coafter_refl, sor_pp, ex3_2_intro/
 484   | #g2 #Hf #Hgf2
 485     lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 486     elim (IH … Hf … H2) // -f1 -IH -Hg2
 487     /3 width=11 by coafter_next, sor_pp, ex3_2_intro/
 488   ]
 489 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
 490   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
 491   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 492   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #Hg1
 493   elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
 494   /3 width=11 by coafter_refl, coafter_push, sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro/
 495 ]
 496 qed-.