matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_1A/ext/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "ground_1A/preamble.ma".
  18
  19 lemma nat_dec:
  20  \forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat n1 n2) ((eq nat n1 n2) \to
  21 (\forall (P: Prop).P))))
  22 \def
  23  \lambda (n1: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat
  24 n n2) ((eq nat n n2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n2:
  25 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or (eq nat O n) ((eq nat O n) \to (\forall
  26 (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat O O) ((eq nat O O) \to (\forall (P:
  27 Prop).P)) (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (eq nat O n)
  28 ((eq nat O n) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq nat O (S n)) ((eq
  29 nat O (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0: (eq nat O (S
  30 n))).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
  31 ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S n) H0) in
  32 (False_ind P H1))))))) n2)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (n2:
  33 nat).(or (eq nat n n2) ((eq nat n n2) \to (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda
  34 (n2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n)
  35 n0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq nat (S n) O) ((eq nat (S n)
  36 O) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0: (eq nat (S n) O)).(\lambda (P:
  37 Prop).(let H1 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda (ee: nat).(match ee with [O
  38 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind P H1)))))
  39 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to
  40 (\forall (P: Prop).P)))).(or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall
  41 (P: Prop).P)) (or (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to (\forall
  42 (P: Prop).P))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0
  43 (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P:
  44 Prop).P)))) H0 n H1) in (eq_ind nat n (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) (S
  45 n3)) ((eq nat (S n) (S n3)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat
  46 (S n) (S n)) ((eq nat (S n) (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal nat
  47 (S n))) n0 H1))) (\lambda (H1: (((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  48 Prop).P)))).(or_intror (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to
  49 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H2: (eq nat (S n) (S n0))).(\lambda (P:
  50 Prop).(let H3 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e with [O
  51 \Rightarrow n | (S n3) \Rightarrow n3])) (S n) (S n0) H2) in (let H4 \def
  52 (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n3: nat).((eq nat n n3) \to (\forall (P0:
  53 Prop).P0))) H1 n H3) in (let H5 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n3: nat).(or
  54 (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H0 n H3)
  55 in (H4 (refl_equal nat n) P)))))))) (H n0)))) n2)))) n1).
  56
  57 lemma simpl_plus_r:
  58  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus m n)
  59 (plus p n)) \to (eq nat m p))))
  60 \def
  61  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (eq nat
  62 (plus m n) (plus p n))).(simpl_plus_l n m p (eq_ind_r nat (plus m n) (\lambda
  63 (n0: nat).(eq nat n0 (plus n p))) (eq_ind_r nat (plus p n) (\lambda (n0:
  64 nat).(eq nat n0 (plus n p))) (plus_sym p n) (plus m n) H) (plus n m)
  65 (plus_sym n m)))))).
  66
  67 lemma minus_Sx_Sy:
  68  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (S x) (S y)) (minus x y)))
  69 \def
  70  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (minus x y))).
  71
  72 lemma minus_plus_r:
  73  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(eq nat (minus (plus m n) n) m))
  74 \def
  75  \lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (plus n m) (\lambda (n0:
  76 nat).(eq nat (minus n0 n) m)) (minus_plus n m) (plus m n) (plus_sym m n))).
  77
  78 lemma plus_permute_2_in_3:
  79  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).(eq nat (plus (plus x
  80 y) z) (plus (plus x z) y))))
  81 \def
  82  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(eq_ind_r nat (plus x
  83 (plus y z)) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y))) (eq_ind_r nat
  84 (plus z y) (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x n) (plus (plus x z) y))) (eq_ind
  85 nat (plus (plus x z) y) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y)))
  86 (refl_equal nat (plus (plus x z) y)) (plus x (plus z y)) (plus_assoc_r x z
  87 y)) (plus y z) (plus_sym y z)) (plus (plus x y) z) (plus_assoc_r x y z)))).
  88
  89 lemma plus_permute_2_in_3_assoc:
  90  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(eq nat (plus (plus n
  91 h) k) (plus n (plus k h)))))
  92 \def
  93  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind_r nat (plus
  94 (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (plus n (plus k h)))) (eq_ind_r
  95 nat (plus (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat (plus (plus n k) h) n0))
  96 (refl_equal nat (plus (plus n k) h)) (plus n (plus k h)) (plus_assoc_l n k
  97 h)) (plus (plus n h) k) (plus_permute_2_in_3 n h k)))).
  98
  99 lemma plus_O:
 100  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus x y) O) \to (land (eq nat
 101 x O) (eq nat y O))))
 102 \def
 103  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus
 104 n y) O) \to (land (eq nat n O) (eq nat y O))))) (\lambda (y: nat).(\lambda
 105 (H: (eq nat (plus O y) O)).(conj (eq nat O O) (eq nat y O) (refl_equal nat O)
 106 H))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (y: nat).((eq nat (plus n y) O)
 107 \to (land (eq nat n O) (eq nat y O)))))).(\lambda (y: nat).(\lambda (H0: (eq
 108 nat (plus (S n) y) O)).(let H1 \def (match H0 with [refl_equal \Rightarrow
 109 (\lambda (H1: (eq nat (plus (S n) y) O)).(let H2 \def (eq_ind nat (plus (S n)
 110 y) (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 111 True])) I O H1) in (False_ind (land (eq nat (S n) O) (eq nat y O)) H2)))]) in
 112 (H1 (refl_equal nat O))))))) x).
 113
 114 lemma minus_Sx_SO:
 115  \forall (x: nat).(eq nat (minus (S x) (S O)) x)
 116 \def
 117  \lambda (x: nat).(eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat n x)) (refl_equal
 118 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)).
 119
 120 lemma nat_dec_neg:
 121  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq nat i j)) (eq nat i j)))
 122 \def
 123  \lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq
 124 nat n j)) (eq nat n j)))) (\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or
 125 (not (eq nat O n)) (eq nat O n))) (or_intror (not (eq nat O O)) (eq nat O O)
 126 (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (not (eq nat O n)) (eq
 127 nat O n))).(or_introl (not (eq nat O (S n))) (eq nat O (S n)) (O_S n)))) j))
 128 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (j: nat).(or (not (eq nat n j)) (eq
 129 nat n j))))).(\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or (not (eq nat
 130 (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))) (or_introl (not (eq nat (S n) O)) (eq nat (S
 131 n) O) (sym_not_eq nat O (S n) (O_S n))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (or
 132 (not (eq nat (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))).(or_ind (not (eq nat n n0)) (eq
 133 nat n n0) (or (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0))) (\lambda
 134 (H1: (not (eq nat n n0))).(or_introl (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S
 135 n) (S n0)) (not_eq_S n n0 H1))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(or_intror (not
 136 (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0)) (f_equal nat nat S n n0 H1))) (H
 137 n0)))) j)))) i).
 138
 139 lemma neq_eq_e:
 140  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(\forall (P: Prop).((((not (eq nat i j))
 141 \to P)) \to ((((eq nat i j) \to P)) \to P))))
 142 \def
 143  \lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((not
 144 (eq nat i j)) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat i j) \to P))).(let o \def
 145 (nat_dec_neg i j) in (or_ind (not (eq nat i j)) (eq nat i j) P H H0 o)))))).
 146
 147 lemma le_false:
 148  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(\forall (P: Prop).((le m n) \to ((le (S
 149 n) m) \to P))))
 150 \def
 151  \lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).(\forall (P:
 152 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (P:
 153 Prop).(\lambda (_: (le O n)).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(let H1 \def (match
 154 H0 with [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S n) O)).(let H2 \def
 155 (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S
 156 _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind P H2))) | (le_S m0 H1)
 157 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m0) O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m0)
 158 (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 159 True])) I O H2) in (False_ind ((le (S n) m0) \to P) H3)) H1))]) in (H1
 160 (refl_equal nat O))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (n0:
 161 nat).(\forall (P: Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P)))))).(\lambda
 162 (n0: nat).(nat_ind (\lambda (n1: nat).(\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to
 163 ((le (S n1) (S n)) \to P)))) (\lambda (P: Prop).(\lambda (H0: (le (S n)
 164 O)).(\lambda (_: (le (S O) (S n))).(let H2 \def (match H0 with [le_n
 165 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S n) O)).(let H3 \def (eq_ind nat (S n)
 166 (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 167 True])) I O H2) in (False_ind P H3))) | (le_S m0 H2) \Rightarrow (\lambda
 168 (H3: (eq nat (S m0) O)).((let H4 \def (eq_ind nat (S m0) (\lambda (e:
 169 nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H3)
 170 in (False_ind ((le (S n) m0) \to P) H4)) H2))]) in (H2 (refl_equal nat
 171 O)))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: ((\forall (P: Prop).((le (S n) n1)
 172 \to ((le (S n1) (S n)) \to P))))).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H1: (le (S n)
 173 (S n1))).(\lambda (H2: (le (S (S n1)) (S n))).(H n1 P (le_S_n n n1 H1)
 174 (le_S_n (S n1) n H2))))))) n0)))) m).
 175
 176 lemma le_Sx_x:
 177  \forall (x: nat).((le (S x) x) \to (\forall (P: Prop).P))
 178 \def
 179  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) x)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 180 le_Sn_n in (False_ind P (H0 x H))))).
 181
 182 lemma le_n_pred:
 183  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (le (pred n) (pred m))))
 184 \def
 185  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 186 (n0: nat).(le (pred n) (pred n0))) (le_n (pred n)) (\lambda (m0:
 187 nat).(\lambda (_: (le n m0)).(\lambda (H1: (le (pred n) (pred m0))).(le_trans
 188 (pred n) (pred m0) m0 H1 (le_pred_n m0))))) m H))).
 189
 190 lemma minus_le:
 191  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(le (minus x y) x))
 192 \def
 193  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).(le (minus n
 194 y) n))) (\lambda (_: nat).(le_O_n O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H:
 195 ((\forall (y: nat).(le (minus n y) n)))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda
 196 (n0: nat).(le (minus (S n) n0) (S n))) (le_n (S n)) (\lambda (n0:
 197 nat).(\lambda (_: (le (match n0 with [O \Rightarrow (S n) | (S l) \Rightarrow
 198 (minus n l)]) (S n))).(le_S (minus n n0) n (H n0)))) y)))) x).
 199
 200 lemma le_plus_minus_sym:
 201  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat m (plus (minus m n)
 202 n))))
 203 \def
 204  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(eq_ind_r nat
 205 (plus n (minus m n)) (\lambda (n0: nat).(eq nat m n0)) (le_plus_minus n m H)
 206 (plus (minus m n) n) (plus_sym (minus m n) n)))).
 207
 208 lemma le_minus_minus:
 209  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (\forall (z: nat).((le y z)
 210 \to (le (minus y x) (minus z x))))))
 211 \def
 212  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (z:
 213 nat).(\lambda (H0: (le y z)).(simpl_le_plus_l x (minus y x) (minus z x)
 214 (eq_ind_r nat y (\lambda (n: nat).(le n (plus x (minus z x)))) (eq_ind_r nat
 215 z (\lambda (n: nat).(le y n)) H0 (plus x (minus z x)) (le_plus_minus_r x z
 216 (le_trans x y z H H0))) (plus x (minus y x)) (le_plus_minus_r x y H))))))).
 217
 218 lemma le_minus_plus:
 219  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).((le z x) \to (\forall (y: nat).(eq nat
 220 (minus (plus x y) z) (plus (minus x z) y)))))
 221 \def
 222  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((le n x) \to
 223 (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) n) (plus (minus x n) y))))))
 224 (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le O x)).(let H0 \def (match H with [le_n
 225 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat O x)).(eq_ind nat O (\lambda (n:
 226 nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))
 227 (\lambda (y: nat).(sym_eq nat (plus (minus O O) y) (minus (plus O y) O)
 228 (minus_n_O (plus O y)))) x H0)) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq
 229 nat (S m) x)).(eq_ind nat (S m) (\lambda (n: nat).((le O m) \to (\forall (y:
 230 nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))) (\lambda (_: (le O
 231 m)).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (plus (minus (S m) O) y)))) x H1 H0))])
 232 in (H0 (refl_equal nat x))))) (\lambda (z0: nat).(\lambda (H: ((\forall (x:
 233 nat).((le z0 x) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) z0) (plus
 234 (minus x z0) y))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((le (S
 235 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 236 (S z0)) y))))) (\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (y: nat).(let H1 \def
 237 (match H0 with [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S z0) O)).(let H2
 238 \def (eq_ind nat (S z0) (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False
 239 | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (eq nat (minus (plus O y)
 240 (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y)) H2))) | (le_S m H1) \Rightarrow (\lambda
 241 (H2: (eq nat (S m) O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e:
 242 nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H2)
 243 in (False_ind ((le (S z0) m) \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus
 244 (minus O (S z0)) y))) H3)) H1))]) in (H1 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n:
 245 nat).(\lambda (_: (((le (S z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus
 246 n y) (S z0)) (plus (minus n (S z0)) y)))))).(\lambda (H1: (le (S z0) (S
 247 n))).(\lambda (y: nat).(H n (le_S_n z0 n H1) y))))) x)))) z).
 248
 249 lemma le_minus:
 250  \forall (x: nat).(\forall (z: nat).(\forall (y: nat).((le (plus x y) z) \to
 251 (le x (minus z y)))))
 252 \def
 253  \lambda (x: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (plus
 254 x y) z)).(eq_ind nat (minus (plus x y) y) (\lambda (n: nat).(le n (minus z
 255 y))) (le_minus_minus y (plus x y) (le_plus_r x y) z H) x (minus_plus_r x
 256 y))))).
 257
 258 lemma le_trans_plus_r:
 259  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).((le (plus x y) z) \to
 260 (le y z))))
 261 \def
 262  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (H: (le (plus
 263 x y) z)).(le_trans y (plus x y) z (le_plus_r x y) H)))).
 264
 265 lemma lt_x_O:
 266  \forall (x: nat).((lt x O) \to (\forall (P: Prop).P))
 267 \def
 268  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) O)).(\lambda (P: Prop).(let H_y \def
 269 (le_n_O_eq (S x) H) in (let H0 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
 270 ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x) H_y) in
 271 (False_ind P H0))))).
 272
 273 lemma le_gen_S:
 274  \forall (m: nat).(\forall (x: nat).((le (S m) x) \to (ex2 nat (\lambda (n:
 275 nat).(eq nat x (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)))))
 276 \def
 277  \lambda (m: nat).(\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S m) x)).(let H0 \def
 278 (match H with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S m) x)).(eq_ind nat
 279 (S m) (\lambda (n: nat).(ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat n (S n0)))
 280 (\lambda (n0: nat).(le m n0)))) (ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S
 281 m) (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)) m (refl_equal nat (S m)) (le_n m)) x
 282 H0)) | (le_S m0 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S m0) x)).(eq_ind nat
 283 (S m0) (\lambda (n: nat).((le (S m) m0) \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq
 284 nat n (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m n0))))) (\lambda (H2: (le (S m)
 285 m0)).(ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S m0) (S n))) (\lambda (n:
 286 nat).(le m n)) m0 (refl_equal nat (S m0)) (le_S_n m m0 (le_S (S m) m0 H2))))
 287 x H1 H0))]) in (H0 (refl_equal nat x))))).
 288
 289 lemma lt_x_plus_x_Sy:
 290  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(lt x (plus x (S y))))
 291 \def
 292  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(eq_ind_r nat (plus (S y) x) (\lambda (n:
 293 nat).(lt x n)) (le_S_n (S x) (S (plus y x)) (le_n_S (S x) (S (plus y x))
 294 (le_n_S x (plus y x) (le_plus_r y x)))) (plus x (S y)) (plus_sym x (S y)))).
 295
 296 lemma simpl_lt_plus_r:
 297  \forall (p: nat).(\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt (plus n p) (plus m
 298 p)) \to (lt n m))))
 299 \def
 300  \lambda (p: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt (plus
 301 n p) (plus m p))).(simpl_lt_plus_l n m p (let H0 \def (eq_ind nat (plus n p)
 302 (\lambda (n0: nat).(lt n0 (plus m p))) H (plus p n) (plus_sym n p)) in (let
 303 H1 \def (eq_ind nat (plus m p) (\lambda (n0: nat).(lt (plus p n) n0)) H0
 304 (plus p m) (plus_sym m p)) in H1)))))).
 305
 306 lemma minus_x_Sy:
 307  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt y x) \to (eq nat (minus x y) (S
 308 (minus x (S y))))))
 309 \def
 310  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((lt y n) \to
 311 (eq nat (minus n y) (S (minus n (S y))))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H:
 312 (lt y O)).(let H0 \def (match H with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat
 313 (S y) O)).(let H1 \def (eq_ind nat (S y) (\lambda (e: nat).(match e with [O
 314 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind (eq nat
 315 (minus O y) (S (minus O (S y)))) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda
 316 (H1: (eq nat (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e:
 317 nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1)
 318 in (False_ind ((le (S y) m) \to (eq nat (minus O y) (S (minus O (S y)))))
 319 H2)) H0))]) in (H0 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H:
 320 ((\forall (y: nat).((lt y n) \to (eq nat (minus n y) (S (minus n (S
 321 y)))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).((lt n0 (S n)) \to
 322 (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S n) (S n0)))))) (\lambda (_: (lt O (S
 323 n))).(eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(eq nat (S n) (S n0))) (refl_equal nat
 324 (S n)) (minus n O) (minus_n_O n))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (((lt n0
 325 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S n) (S n0))))))).(\lambda
 326 (H1: (lt (S n0) (S n))).(let H2 \def (le_S_n (S n0) n H1) in (H n0 H2)))))
 327 y)))) x).
 328
 329 lemma lt_plus_minus:
 330  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus x (minus
 331 y (S x)))))))
 332 \def
 333  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_plus_minus (S
 334 x) y H))).
 335
 336 lemma lt_plus_minus_r:
 337  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus (minus y
 338 (S x)) x)))))
 339 \def
 340  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(eq_ind_r nat
 341 (plus x (minus y (S x))) (\lambda (n: nat).(eq nat y (S n))) (lt_plus_minus x
 342 y H) (plus (minus y (S x)) x) (plus_sym (minus y (S x)) x)))).
 343
 344 lemma minus_x_SO:
 345  \forall (x: nat).((lt O x) \to (eq nat x (S (minus x (S O)))))
 346 \def
 347  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt O x)).(eq_ind nat (minus x O) (\lambda (n:
 348 nat).(eq nat x n)) (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) (refl_equal
 349 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)) (S (minus x (S O))) (minus_x_Sy x O H))).
 350
 351 lemma le_x_pred_y:
 352  \forall (y: nat).(\forall (x: nat).((lt x y) \to (le x (pred y))))
 353 \def
 354  \lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((lt x n) \to
 355 (le x (pred n))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt x O)).(let H0 \def
 356 (match H with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S x) O)).(let H1 \def
 357 (eq_ind nat (S x) (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S
 358 _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind (le x O) H1))) | (le_S m H0)
 359 \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m)
 360 (\lambda (e: nat).(match e with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 361 True])) I O H1) in (False_ind ((le (S x) m) \to (le x O)) H2)) H0))]) in (H0
 362 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (x: nat).((lt
 363 x n) \to (le x (pred n)))))).(\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (lt x (S
 364 n))).(le_S_n x n H0))))) y).
 365
 366 lemma lt_le_minus:
 367  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (le x (minus y (S O)))))
 368 \def
 369  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_minus x y (S
 370 O) (eq_ind_r nat (plus (S O) x) (\lambda (n: nat).(le n y)) H (plus x (S O))
 371 (plus_sym x (S O)))))).
 372
 373 lemma lt_le_e:
 374  \forall (n: nat).(\forall (d: nat).(\forall (P: Prop).((((lt n d) \to P))
 375 \to ((((le d n) \to P)) \to P))))
 376 \def
 377  \lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt n
 378 d) \to P))).(\lambda (H0: (((le d n) \to P))).(let H1 \def (le_or_lt d n) in
 379 (or_ind (le d n) (lt n d) P H0 H H1)))))).
 380
 381 lemma lt_eq_e:
 382  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 383 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((le x y) \to P)))))
 384 \def
 385  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 386 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (le x
 387 y)).(or_ind (lt x y) (eq nat x y) P H H0 (le_lt_or_eq x y H1))))))).
 388
 389 lemma lt_eq_gt_e:
 390  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 391 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((((lt y x) \to P)) \to P)))))
 392 \def
 393  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 394 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (((lt y x)
 395 \to P))).(lt_le_e x y P H (\lambda (H2: (le y x)).(lt_eq_e y x P H1 (\lambda
 396 (H3: (eq nat y x)).(H0 (sym_eq nat y x H3))) H2)))))))).
 397
 398 lemma lt_gen_xS:
 399  \forall (x: nat).(\forall (n: nat).((lt x (S n)) \to (or (eq nat x O) (ex2
 400 nat (\lambda (m: nat).(eq nat x (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n))))))
 401 \def
 402  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((lt n (S
 403 n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat n (S m)))
 404 (\lambda (m: nat).(lt m n0))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (lt O (S
 405 n))).(or_introl (eq nat O O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat O (S m)))
 406 (\lambda (m: nat).(lt m n))) (refl_equal nat O)))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 407 (_: ((\forall (n0: nat).((lt n (S n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda
 408 (m: nat).(eq nat n (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))))))).(\lambda (n0:
 409 nat).(\lambda (H0: (lt (S n) (S n0))).(or_intror (eq nat (S n) O) (ex2 nat
 410 (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))
 411 (ex_intro2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt
 412 m n0)) n (refl_equal nat (S n)) (le_S_n (S n) n0 H0))))))) x).
 413
 414 lemma le_lt_false:
 415  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to ((lt y x) \to (\forall (P:
 416 Prop).P))))
 417 \def
 418  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (H0: (lt
 419 y x)).(\lambda (P: Prop).(False_ind P (le_not_lt x y H H0)))))).
 420
 421 lemma lt_neq:
 422  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (not (eq nat x y))))
 423 \def
 424  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(\lambda (H0: (eq
 425 nat x y)).(let H1 \def (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(lt n y)) H y H0) in
 426 (lt_n_n y H1))))).
 427
 428 lemma arith0:
 429  \forall (h2: nat).(\forall (d2: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d2 h2) n)
 430 \to (\forall (h1: nat).(le (plus d2 h1) (minus (plus n h1) h2))))))
 431 \def
 432  \lambda (h2: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le
 433 (plus d2 h2) n)).(\lambda (h1: nat).(eq_ind nat (minus (plus h2 (plus d2 h1))
 434 h2) (\lambda (n0: nat).(le n0 (minus (plus n h1) h2))) (le_minus_minus h2
 435 (plus h2 (plus d2 h1)) (le_plus_l h2 (plus d2 h1)) (plus n h1) (eq_ind_r nat
 436 (plus (plus h2 d2) h1) (\lambda (n0: nat).(le n0 (plus n h1))) (eq_ind_r nat
 437 (plus d2 h2) (\lambda (n0: nat).(le (plus n0 h1) (plus n h1))) (le_S_n (plus
 438 (plus d2 h2) h1) (plus n h1) (le_n_S (plus (plus d2 h2) h1) (plus n h1)
 439 (le_plus_plus (plus d2 h2) n h1 h1 H (le_n h1)))) (plus h2 d2) (plus_sym h2
 440 d2)) (plus h2 (plus d2 h1)) (plus_assoc_l h2 d2 h1))) (plus d2 h1)
 441 (minus_plus h2 (plus d2 h1))))))).
 442
 443 lemma O_minus:
 444  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (eq nat (minus x y) O)))
 445 \def
 446  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le n y) \to
 447 (eq nat (minus n y) O)))) (\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 448 y)).(refl_equal nat O))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H: ((\forall (y:
 449 nat).((le x0 y) \to (eq nat (minus x0 y) O))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind
 450 (\lambda (n: nat).((le (S x0) n) \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S
 451 x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0 l)]) O))) (\lambda (H0: (le (S x0)
 452 O)).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le x0
 453 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H1: (eq nat O (S
 454 x1))).(\lambda (_: (le x0 x1)).(let H3 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 455 nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1)
 456 H1) in (False_ind (eq nat (S x0) O) H3))))) (le_gen_S x0 O H0))) (\lambda (n:
 457 nat).(\lambda (_: (((le (S x0) n) \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S
 458 x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0 l)]) O)))).(\lambda (H1: (le (S x0) (S
 459 n))).(H n (le_S_n x0 n H1))))) y)))) x).
 460
 461 lemma minus_minus:
 462  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z x) \to ((le z y)
 463 \to ((eq nat (minus x z) (minus y z)) \to (eq nat x y))))))
 464 \def
 465  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y:
 466 nat).((le n x) \to ((le n y) \to ((eq nat (minus x n) (minus y n)) \to (eq
 467 nat x y))))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 468 x)).(\lambda (_: (le O y)).(\lambda (H1: (eq nat (minus x O) (minus y
 469 O))).(let H2 \def (eq_ind_r nat (minus x O) (\lambda (n: nat).(eq nat n
 470 (minus y O))) H1 x (minus_n_O x)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (minus y O)
 471 (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) H2 y (minus_n_O y)) in H3))))))) (\lambda
 472 (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z0 x) \to
 473 ((le z0 y) \to ((eq nat (minus x z0) (minus y z0)) \to (eq nat x
 474 y)))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le
 475 (S z0) n) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus n (S z0)) (minus y (S z0)))
 476 \to (eq nat n y)))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (S z0) O)).(\lambda
 477 (_: (le (S z0) y)).(\lambda (_: (eq nat (minus O (S z0)) (minus y (S
 478 z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le
 479 z0 n)) (eq nat O y) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H2: (eq nat O (S
 480 x0))).(\lambda (_: (le z0 x0)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 481 nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x0)
 482 H2) in (False_ind (eq nat O y) H4))))) (le_gen_S z0 O H)))))) (\lambda (x0:
 483 nat).(\lambda (_: ((\forall (y: nat).((le (S z0) x0) \to ((le (S z0) y) \to
 484 ((eq nat (minus x0 (S z0)) (minus y (S z0))) \to (eq nat x0 y))))))).(\lambda
 485 (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) n)
 486 \to ((eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus n (S z0))) \to (eq nat (S x0)
 487 n))))) (\lambda (H: (le (S z0) (S x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda
 488 (_: (eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus O (S z0)))).(let H_y \def (le_S_n z0
 489 x0 H) in (ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n:
 490 nat).(le z0 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H2: (eq nat O
 491 (S x1))).(\lambda (_: (le z0 x1)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 492 nat).(match ee with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1)
 493 H2) in (False_ind (eq nat (S x0) O) H4))))) (le_gen_S z0 O H0)))))) (\lambda
 494 (y0: nat).(\lambda (_: (((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) y0) \to ((eq nat
 495 (minus (S x0) (S z0)) (minus y0 (S z0))) \to (eq nat (S x0) y0)))))).(\lambda
 496 (H: (le (S z0) (S x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) (S y0))).(\lambda (H1: (eq
 497 nat (minus (S x0) (S z0)) (minus (S y0) (S z0)))).(f_equal nat nat S x0 y0
 498 (IH x0 y0 (le_S_n z0 x0 H) (le_S_n z0 y0 H0) H1))))))) y)))) x)))) z).
 499
 500 lemma plus_plus:
 501  \forall (z: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1:
 502 nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z) \to ((le x2 z) \to ((eq nat (plus (minus z
 503 x1) y1) (plus (minus z x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2) (plus x2 y1)))))))))
 504 \def
 505  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 506 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 n) \to ((le x2 n) \to ((eq
 507 nat (plus (minus n x1) y1) (plus (minus n x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2)
 508 (plus x2 y1)))))))))) (\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (y1:
 509 nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le x1 O)).(\lambda (H0: (le x2
 510 O)).(\lambda (H1: (eq nat y1 y2)).(eq_ind nat y1 (\lambda (n: nat).(eq nat
 511 (plus x1 n) (plus x2 y1))) (let H_y \def (le_n_O_eq x2 H0) in (eq_ind nat O
 512 (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x1 y1) (plus n y1))) (let H_y0 \def
 513 (le_n_O_eq x1 H) in (eq_ind nat O (\lambda (n: nat).(eq nat (plus n y1) (plus
 514 O y1))) (refl_equal nat (plus O y1)) x1 H_y0)) x2 H_y)) y2 H1))))))))
 515 (\lambda (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 516 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z0) \to ((le x2 z0) \to
 517 ((eq nat (plus (minus z0 x1) y1) (plus (minus z0 x2) y2)) \to (eq nat (plus
 518 x1 y2) (plus x2 y1))))))))))).(\lambda (x1: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 519 nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le n (S z0))
 520 \to ((le x2 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) n) y1) (plus (minus (S
 521 z0) x2) y2)) \to (eq nat (plus n y2) (plus x2 y1))))))))) (\lambda (x2:
 522 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le O
 523 (S z0)) \to ((le n (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) O) y1) (plus
 524 (minus (S z0) n) y2)) \to (eq nat (plus O y2) (plus n y1)))))))) (\lambda
 525 (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (_: (le O
 526 (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (S (plus z0 y2)))).(let H_y
 527 \def (IH O O) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 528 nat).(\forall (y3: nat).(\forall (y4: nat).((le O z0) \to ((le O z0) \to ((eq
 529 nat (plus n y3) (plus n y4)) \to (eq nat y4 y3))))))) H_y z0 (minus_n_O z0))
 530 in (H2 y1 y2 (le_O_n z0) (le_O_n z0) (eq_add_S (plus z0 y1) (plus z0 y2)
 531 H1))))))))) (\lambda (x3: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall (y2:
 532 nat).((le O (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat (S (plus z0 y1)) (plus
 533 (match x3 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow (minus z0 l)]) y2))
 534 \to (eq nat y2 (plus x3 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2:
 535 nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (H0: (le (S x3) (S z0))).(\lambda
 536 (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y2))).(let H_y \def (IH O
 537 x3 (S y1)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 538 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (plus n (S
 539 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H_y z0
 540 (minus_n_O z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y1)) (\lambda (n:
 541 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat n (plus
 542 (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H2 (S (plus z0 y1))
 543 (plus_n_Sm z0 y1)) in (let H4 \def (eq_ind_r nat (plus x3 (S y1)) (\lambda
 544 (n: nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (S (plus
 545 z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 n)))))) H3 (S (plus x3 y1))
 546 (plus_n_Sm x3 y1)) in (H4 y2 (le_O_n z0) (le_S_n x3 z0 H0) H1))))))))))))
 547 x2)) (\lambda (x2: nat).(\lambda (_: ((\forall (x3: nat).(\forall (y1:
 548 nat).(\forall (y2: nat).((le x2 (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat
 549 (plus (minus (S z0) x2) y1) (plus (minus (S z0) x3) y2)) \to (eq nat (plus x2
 550 y2) (plus x3 y1)))))))))).(\lambda (x3: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 551 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le n (S
 552 z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) (S x2)) y1) (plus (minus (S z0) n) y2))
 553 \to (eq nat (plus (S x2) y2) (plus n y1)))))))) (\lambda (y1: nat).(\lambda
 554 (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S z0))).(\lambda (_: (le O (S
 555 z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2)))).(let
 556 H_y \def (IH x2 O y1 (S y2)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O)
 557 (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2)
 558 y1) (plus n (S y2))) \to (eq nat (plus x2 (S y2)) y1))))) H_y z0 (minus_n_O
 559 z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2
 560 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) n) \to (eq nat (plus
 561 x2 (S y2)) y1))))) H2 (S (plus z0 y2)) (plus_n_Sm z0 y2)) in (let H4 \def
 562 (eq_ind_r nat (plus x2 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0)
 563 \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2))) \to (eq nat n y1)))))
 564 H3 (S (plus x2 y2)) (plus_n_Sm x2 y2)) in (H4 (le_S_n x2 z0 H) (le_O_n z0)
 565 H1)))))))))) (\lambda (x4: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall
 566 (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le x4 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus
 567 z0 x2) y1) (plus (match x4 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow
 568 (minus z0 l)]) y2)) \to (eq nat (S (plus x2 y2)) (plus x4
 569 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S
 570 z0))).(\lambda (H0: (le (S x4) (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0
 571 x2) y1) (plus (minus z0 x4) y2))).(f_equal nat nat S (plus x2 y2) (plus x4
 572 y1) (IH x2 x4 y1 y2 (le_S_n x2 z0 H) (le_S_n x4 z0 H0) H1))))))))) x3))))
 573 x1)))) z).
 574
 575 lemma le_S_minus:
 576  \forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d h) n) \to
 577 (le d (S (minus n h))))))
 578 \def
 579  \lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le (plus
 580 d h) n)).(let H0 \def (le_trans d (plus d h) n (le_plus_l d h) H) in (let H1
 581 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le d n0)) H0 (plus (minus n h) h)
 582 (le_plus_minus_sym h n (le_trans h (plus d h) n (le_plus_r d h) H))) in (le_S
 583 d (minus n h) (le_minus d n h H))))))).
 584
 585 lemma lt_x_pred_y:
 586  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x (pred y)) \to (lt (S x) y)))
 587 \def
 588  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((lt x (pred
 589 n)) \to (lt (S x) n))) (\lambda (H: (lt x O)).(lt_x_O x H (lt (S x) O)))
 590 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((lt x (pred n)) \to (lt (S x) n)))).(\lambda
 591 (H0: (lt x n)).(lt_n_S x n H0)))) y)).
 592