matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/lib/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "arithmetics/nat.ma".
  16 include "ground_2/lib/star.ma".
  17
  18 (* ARITHMETICAL PROPERTIES **************************************************)
  19
  20 (* Equations ****************************************************************)
  21
  22 lemma plus_n_2: ∀n. n + 2 = n + 1 + 1.
  23 // qed.
  24
  25 lemma le_plus_minus: ∀m,n,p. p ≤ n → m + n - p = m + (n - p).
  26 /2 by plus_minus/ qed.
  27
  28 lemma le_plus_minus_comm: ∀n,m,p. p ≤ m → m + n - p = m - p + n.
  29 /2 by plus_minus/ qed.
  30
  31 lemma arith_b1: ∀a,b,c1. c1 ≤ b → a - c1 - (b - c1) = a - b.
  32 #a #b #c1 #H >minus_minus_comm >minus_le_minus_minus_comm //
  33 qed.
  34
  35 lemma arith_b2: ∀a,b,c1,c2. c1 + c2 ≤ b → a - c1 - c2 - (b - c1 - c2) = a - b.
  36 #a #b #c1 #c2 #H >minus_plus >minus_plus >minus_plus /2 width=1/
  37 qed.
  38
  39 lemma arith_c1x: ∀x,a,b,c1. x + c1 + a - (b + c1) = x + a - b.
  40 /3 by monotonic_le_minus_l, le_to_le_to_eq, le_n/ qed.
  41
  42 lemma arith_h1: ∀a1,a2,b,c1. c1 ≤ a1 → c1 ≤ b →
  43                 a1 - c1 + a2 - (b - c1) = a1 + a2 - b.
  44 #a1 #a2 #b #c1 #H1 #H2 >plus_minus // /2 width=1/
  45 qed.
  46
  47 (* Inversion & forward lemmas ***********************************************)
  48
  49 axiom eq_nat_dec: ∀n1,n2:nat. Decidable (n1 = n2).
  50
  51 axiom lt_dec: ∀n1,n2. Decidable (n1 < n2).
  52
  53 lemma lt_or_eq_or_gt: ∀m,n. ∨∨ m < n | n = m | n < m.
  54 #m #n elim (lt_or_ge m n) /2 width=1/
  55 #H elim H -m /2 width=1/
  56 #m #Hm * #H /2 width=1/ /3 width=1/
  57 qed-.
  58
  59 lemma lt_refl_false: ∀n. n < n → ⊥.
  60 #n #H elim (lt_to_not_eq … H) -H /2 width=1/
  61 qed-.
  62
  63 lemma lt_zero_false: ∀n. n < 0 → ⊥.
  64 #n #H elim (lt_to_not_le … H) -H /2 width=1/
  65 qed-.
  66
  67 lemma false_lt_to_le: ∀x,y. (x < y → ⊥) → y ≤ x.
  68 #x #y #H elim (decidable_lt x y) /2 width=1/
  69 #Hxy elim (H Hxy)
  70 qed-.
  71
  72 lemma le_plus_xySz_x_false: ∀y,z,x. x + y + S z ≤ x → ⊥.
  73 #y #z #x elim x -x
  74 [ #H lapply (le_n_O_to_eq … H) -H
  75   <plus_n_Sm #H destruct
  76 | /3 width=1 by le_S_S_to_le/
  77 ]
  78 qed-.
  79
  80 lemma plus_xySz_x_false: ∀z,x,y. x + y + S z = x → ⊥.
  81 /2 width=4 by le_plus_xySz_x_false/ qed-.
  82
  83 lemma plus_xSy_x_false: ∀y,x. x + S y = x → ⊥.
  84 /2 width=4 by plus_xySz_x_false/ qed-.
  85
  86 (* Iterators ****************************************************************)
  87
  88 (* Note: see also: lib/arithemetcs/bigops.ma *)
  89 let rec iter (n:nat) (B:Type[0]) (op: B → B) (nil: B) ≝
  90   match n with
  91    [ O   ⇒ nil
  92    | S k ⇒ op (iter k B op nil)
  93    ].
  94
  95 interpretation "iterated function" 'exp op n = (iter n ? op).
  96
  97 lemma iter_SO: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B. ∀b,l. f^(l+1) b = f (f^l b).
  98 #B #f #b #l >commutative_plus //
  99 qed.
 100
 101 lemma iter_n_Sm: ∀B:Type[0]. ∀f:B→B. ∀b,l. f^l (f b) = f (f^l b).
 102 #B #f #b #l elim l -l normalize //
 103 qed.
 104
 105 (* Trichotomy operator ******************************************************)
 106
 107 (* Note: this is "if eqb n1 n2 then a2 else if leb n1 n2 then a1 else a3" *)
 108 let rec tri (A:Type[0]) n1 n2 a1 a2 a3 on n1 : A ≝
 109   match n1 with
 110   [ O    ⇒ match n2 with [ O ⇒ a2 | S n2 ⇒ a1 ]
 111   | S n1 ⇒ match n2 with [ O ⇒ a3 | S n2 ⇒ tri A n1 n2 a1 a2 a3 ]
 112   ].
 113
 114 lemma tri_lt: ∀A,a1,a2,a3,n2,n1. n1 < n2 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a1.
 115 #A #a1 #a2 #a3 #n2 elim n2 -n2
 116 [ #n1 #H elim (lt_zero_false … H)
 117 | #n2 #IH #n1 elim n1 -n1 // /3 width=1/
 118 ]
 119 qed.
 120
 121 lemma tri_eq: ∀A,a1,a2,a3,n. tri A n n a1 a2 a3 = a2.
 122 #A #a1 #a2 #a3 #n elim n -n normalize //
 123 qed.
 124
 125 lemma tri_gt: ∀A,a1,a2,a3,n1,n2. n2 < n1 → tri A n1 n2 a1 a2 a3 = a3.
 126 #A #a1 #a2 #a3 #n1 elim n1 -n1
 127 [ #n2 #H elim (lt_zero_false … H)
 128 | #n1 #IH #n2 elim n2 -n2 // /3 width=1/
 129 ]
 130 qed.