matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/relocation/rtmap_coafter.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/notation/relations/rcoafter_3.ma".
  16 include "ground_2/relocation/rtmap_sor.ma".
  17 include "ground_2/relocation/rtmap_after.ma".
  18
  19 (* RELOCATION MAP ***********************************************************)
  20
  21 coinductive coafter: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
  22 | coafter_refl: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
  23                 ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → coafter g1 g2 g
  24 | coafter_push: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
  25                 ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → coafter g1 g2 g
  26 | coafter_next: ∀f1,f2,f,g1,g. coafter f1 f2 f →
  27                 ↑f1 = g1 → ⫯f = g → coafter g1 f2 g
  28 .
  29
  30 interpretation "relational co-composition (rtmap)"
  31    'RCoAfter f1 f2 f = (coafter f1 f2 f).
  32
  33 definition H_coafter_inj: predicate rtmap ≝
  34                           λf1. 𝐓❪f1❫ →
  35                           ∀f,f21,f22. f1 ~⊚ f21 ≘ f → f1 ~⊚ f22 ≘ f → f21 ≡ f22.
  36
  37 definition H_coafter_fwd_isid2: predicate rtmap ≝
  38                                 λf1. ∀f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐓❪f1❫ → 𝐈❪f❫ → 𝐈❪f2❫.
  39
  40 definition H_coafter_isfin2_fwd: predicate rtmap ≝
  41                                  λf1. ∀f2. 𝐅❪f2❫ → 𝐓❪f1❫ → ∀f. f1 ~⊚ f2 ≘ f →  𝐅❪f❫.
  42
  43 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  44
  45 lemma coafter_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  46                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  47 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
  48 [ #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  49   >(injective_push … Hx1) >(injective_push … Hx2) -x2 -x1
  50   /2 width=3 by ex2_intro/
  51 | #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
  52   elim (discr_push_next … Hx2)
  53 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
  54   elim (discr_push_next … Hx1)
  55 ]
  56 qed-.
  57
  58 lemma coafter_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  59                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f = g.
  60 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
  61 [ #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
  62   elim (discr_next_push … Hx2)
  63 | #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H3 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  64   >(injective_push … Hx1) >(injective_next … Hx2) -x2 -x1
  65   /2 width=3 by ex2_intro/
  66 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
  67   elim (discr_push_next … Hx1)
  68 ]
  69 qed-.
  70
  71 lemma coafter_inv_nxx: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g → ∀f1. ↑f1 = g1 →
  72                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  73 #g1 #f2 #g * -g1 -f2 -g #f1 #f2 #f #g1
  74 [ #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
  75   elim (discr_next_push … Hx1)
  76 | #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
  77   elim (discr_next_push … Hx1)
  78 | #g #Hf #H1 #H #x1 #Hx1 destruct
  79   >(injective_next … Hx1) -x1
  80   /2 width=3 by ex2_intro/
  81 ]
  82 qed-.
  83
  84 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  85
  86 lemma coafter_inv_ppp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
  87                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
  88 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
  89 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
  90 <(injective_push … Hx) -f //
  91 qed-.
  92
  93 lemma coafter_inv_ppn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
  94                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → ⊥.
  95 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
  96 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
  97 elim (discr_push_next … Hx)
  98 qed-.
  99
 100 lemma coafter_inv_pnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 101                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 102 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
 103 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
 104 <(injective_next … Hx) -f //
 105 qed-.
 106
 107 lemma coafter_inv_pnp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 108                        ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → ⊥.
 109 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
 110 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
 111 elim (discr_next_push … Hx)
 112 qed-.
 113
 114 lemma coafter_inv_nxp: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g →
 115                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 116 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
 117 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
 118 <(injective_push … Hx) -f //
 119 qed-.
 120
 121 lemma coafter_inv_nxn: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≘ g →
 122                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ↑f = g → ⊥.
 123 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
 124 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
 125 elim (discr_push_next … Hx)
 126 qed-.
 127
 128 lemma coafter_inv_pxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 129                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f = g →
 130                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2.
 131 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 132 [ lapply (coafter_inv_ppp … Hg … H1 H2 H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
 133 | elim (coafter_inv_pnp … Hg … H1 H2 H)
 134 ]
 135 qed-.
 136
 137 lemma coafter_inv_pxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 138                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ↑f = g →
 139                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f2 = g2.
 140 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 141 [ elim (coafter_inv_ppn … Hg … H1 H2 H)
 142 | lapply (coafter_inv_pnn … Hg … H1 … H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
 143 ]
 144 qed-.
 145
 146 lemma coafter_inv_xxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f. ↑f = g →
 147                        ∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ↑f2 = g2.
 148 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 149 [ elim (coafter_inv_pxn … Hg … H1 H) -g /2 width=5 by ex3_2_intro/
 150 | elim (coafter_inv_nxn … Hg … H1 H)
 151 ]
 152 qed-.
 153
 154 lemma coafter_inv_xnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 155                        ∀f2,f. ↑f2 = g2 → ↑f = g →
 156                        ∃∃f1. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1.
 157 #g1 #g2 #g #Hg #f2 #f #H2 destruct #H
 158 elim (coafter_inv_xxn … Hg … H) -g
 159 #z1 #z2 #Hf #H1 #H2 destruct /2 width=3 by ex2_intro/
 160 qed-.
 161
 162 lemma coafter_inv_xxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f. ⫯f = g →
 163                        (∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ⫯f2 = g2) ∨
 164                        ∃∃f1. f1 ~⊚ g2 ≘ f & ↑f1 = g1.
 165 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 166 [ elim (coafter_inv_pxp … Hg … H1 H) -g
 167   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
 168 | /4 width=5 by coafter_inv_nxp, or_intror, ex2_intro/
 169 ]
 170 qed-.
 171
 172 lemma coafter_inv_pxx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g → ∀f1. ⫯f1 = g1 →
 173                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2 & ⫯f = g) ∨
 174                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f & ↑f2 = g2 & ↑f = g).
 175 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #H1 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 176 [ elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1
 177   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
 178 | elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1
 179   /3 width=5 by or_intror, ex3_2_intro/
 180 ]
 181 qed-.
 182
 183 (* Basic properties *********************************************************)
 184
 185 corec lemma coafter_eq_repl_back2: ∀f1,f. eq_repl_back (λf2. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 186 #f1 #f #f2 * -f2 -f1 -f
 187 #f21 #f1 #f #g21 [1,2: #g1 ] #g #Hf #H21 [1,2: #H1 ] #H #g22 #H0
 188 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_refl/
 189 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_push/
 190 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H21) -g21 /3 width=5 by coafter_next/
 191 ]
 192 qed-.
 193
 194 lemma coafter_eq_repl_fwd2: ∀f1,f. eq_repl_fwd (λf2. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 195 #f1 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back2/
 196 qed-.
 197
 198 corec lemma coafter_eq_repl_back1: ∀f2,f. eq_repl_back (λf1. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 199 #f2 #f #f1 * -f2 -f1 -f
 200 #f2 #f11 #f #g2 [1,2: #g11 ] #g #Hf #H2 [1,2: #H11 ] #H #g2 #H0
 201 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_refl/
 202 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_push/
 203 | @(coafter_next … H2 H) /2 width=5 by/
 204 ]
 205 qed-.
 206
 207 lemma coafter_eq_repl_fwd1: ∀f2,f. eq_repl_fwd (λf1. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 208 #f2 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back1/
 209 qed-.
 210
 211 corec lemma coafter_eq_repl_back0: ∀f1,f2. eq_repl_back (λf. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 212 #f2 #f1 #f * -f2 -f1 -f
 213 #f2 #f1 #f01 #g2 [1,2: #g1 ] #g01 #Hf01 #H2 [1,2: #H1 ] #H01 #g02 #H0
 214 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_refl/
 215 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_push/
 216 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=5 by coafter_next/
 217 ]
 218 qed-.
 219
 220 lemma coafter_eq_repl_fwd0: ∀f2,f1. eq_repl_fwd (λf. f2 ~⊚ f1 ≘ f).
 221 #f2 #f1 @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back0/
 222 qed-.
 223
 224 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
 225
 226 corec theorem coafter_mono: ∀f1,f2,x,y. f1 ~⊚ f2 ≘ x → f1 ~⊚ f2 ≘ y → x ≡ y.
 227 #f1 #f2 #x #y * -f1 -f2 -x
 228 #f1 #f2 #x #g1 [1,2: #g2 ] #g #Hx #H1 [1,2: #H2 ] #H0x #Hy
 229 [ cases (coafter_inv_ppx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_push/
 230 | cases (coafter_inv_pnx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_next/
 231 | cases (coafter_inv_nxx … Hy … H1) -g1 /3 width=8 by eq_push/
 232 ]
 233 qed-.
 234
 235 lemma coafter_mono_eq: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≘ g →
 236                        f1 ≡ g1 → f2 ≡ g2 → f ≡ g.
 237 /4 width=4 by coafter_mono, coafter_eq_repl_back1, coafter_eq_repl_back2/ qed-.
 238
 239 (* Forward lemmas with pushs ************************************************)
 240
 241 lemma coafter_fwd_pushs: ∀j,i,g2,f1,g. g2 ~⊚ ⫯*[i]f1 ≘ g → @❪i, g2❫ ≘ j →
 242                          ∃f. ⫯*[j] f = g.
 243 #j elim j -j
 244 [ #i #g2 #f1 #g #Hg #H
 245   elim (at_inv_xxp … H) -H [|*: // ] #f2 #H1 #H2 destruct
 246   /2 width=2 by ex_intro/
 247 | #j #IH * [| #i ] #g2 #f1 #g #Hg #H
 248   [ elim (at_inv_pxn … H) -H [|*: // ] #f2 #Hij #H destruct
 249     elim (coafter_inv_nxx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 250     elim (IH … Hf Hij) -f1 -f2 -IH /2 width=2 by ex_intro/
 251   | elim (at_inv_nxn … H) -H [1,4: * |*: // ] #f2 #Hij #H destruct
 252     [ elim (coafter_inv_ppx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 253       elim (IH … Hf Hij) -f1 -f2 -i /2 width=2 by ex_intro/
 254     | elim (coafter_inv_nxx … Hg) -Hg [|*: // ] #f #Hf #H destruct
 255       elim (IH … Hf Hij) -f1 -f2 -i /2 width=2 by ex_intro/
 256     ]
 257   ]
 258 ]
 259 qed-.
 260
 261 (* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
 262
 263 lemma coafter_inv_tl1: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ ⫱g1 ≘ g →
 264                        ∃∃f. ⫯g2 ~⊚ g1 ≘ f & ⫱f = g.
 265 #g2 #g1 #g elim (pn_split g1) * #f1 #H1 #H destruct
 266 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
 267 | @(ex2_intro … (↑g)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
 268 ]
 269 qed-.
 270
 271 lemma coafter_inv_tl0: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≘ ⫱g →
 272                        ∃∃f1. ⫯g2 ~⊚ f1 ≘ g & ⫱f1 = g1.
 273 #g2 #g1 #g elim (pn_split g) * #f #H0 #H destruct
 274 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
 275 | @(ex2_intro … (↑g1)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
 276 ]
 277 qed-.
 278
 279 (* Properties with iterated tail ********************************************)
 280
 281 lemma coafter_tls: ∀j,i,f1,f2,f. @❪i, f1❫ ≘ j →
 282                    f1 ~⊚ f2 ≘ f → ⫱*[j]f1 ~⊚ ⫱*[i]f2 ≘ ⫱*[j]f.
 283 #j elim j -j [ #i | #j #IH * [| #i ] ] #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf
 284 [ elim (at_inv_xxp … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1 destruct //
 285 | elim (at_inv_pxn … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 286   elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
 287   lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg //
 288 | elim (at_inv_nxn … Hf1) -Hf1 [1,4: * |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 289   [ elim (coafter_inv_pxx … Hf … H1) -Hf * #g2 #g #Hg #H2 #H0 destruct
 290     lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg #H //
 291   | elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
 292     lapply (IH … Hg1 Hg) -IH -Hg1 -Hg #H //
 293   ]
 294 ]
 295 qed.
 296
 297 lemma coafter_tls_O: ∀n,f1,f2,f. @❪0, f1❫ ≘ n →
 298                      f1 ~⊚ f2 ≘ f → ⫱*[n]f1 ~⊚ f2 ≘ ⫱*[n]f.
 299 /2 width=1 by coafter_tls/ qed.
 300
 301 lemma coafter_tls_succ: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≘ g →
 302                         ∀n. @❪0, g2❫ ≘ n → ⫱*[↑n]g2 ~⊚ ⫱g1 ≘ ⫱*[↑n]g.
 303 #g2 #g1 #g #Hg #n #Hg2
 304 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
 305 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
 306 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
 307 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0 destruct
 308 <tls_S <tls_S <H2 <H0 -g2 -g -n //
 309 qed.
 310
 311 lemma coafter_fwd_xpx_pushs: ∀g2,f1,g,i,j. @❪i, g2❫ ≘ j → g2 ~⊚ ⫯*[↑i]f1 ≘ g →
 312                              ∃∃f.  ⫱*[↑j]g2 ~⊚ f1 ≘ f & ⫯*[↑j]f = g.
 313 #g2 #g1 #g #i #j #Hg2 <pushs_xn #Hg
 314 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
 315 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs <tls_pushs #Hf
 316 lapply (at_inv_tls … Hg2) -Hg2 #H
 317 lapply (coafter_eq_repl_fwd2 … Hf … H) -H -Hf #Hf
 318 elim (coafter_inv_ppx … Hf) [|*: // ] -Hf #g #Hg #H destruct
 319 /2 width=3 by ex2_intro/
 320 qed-.
 321
 322 lemma coafter_fwd_xnx_pushs: ∀g2,f1,g,i,j. @❪i, g2❫ ≘ j → g2 ~⊚ ⫯*[i]↑f1 ≘ g →
 323                              ∃∃f. ⫱*[↑j]g2 ~⊚ f1 ≘ f & ⫯*[j] ↑f = g.
 324 #g2 #g1 #g #i #j #Hg2 #Hg
 325 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
 326 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs <tls_pushs #Hf
 327 lapply (at_inv_tls … Hg2) -Hg2 #H
 328 lapply (coafter_eq_repl_fwd2 … Hf … H) -H -Hf #Hf
 329 elim (coafter_inv_pnx … Hf) [|*: // ] -Hf #g #Hg #H destruct
 330 /2 width=3 by ex2_intro/
 331 qed-.
 332
 333 (* Properties with test for identity ****************************************)
 334
 335 corec lemma coafter_isid_sn: ∀f1. 𝐈❪f1❫ → ∀f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f2.
 336 #f1 * -f1 #f1 #g1 #Hf1 #H1 #f2 cases (pn_split f2) * #g2 #H2
 337 /3 width=7 by coafter_push, coafter_refl/
 338 qed.
 339
 340 corec lemma coafter_isid_dx: ∀f2,f. 𝐈❪f2❫ → 𝐈❪f❫ → ∀f1. f1 ~⊚ f2 ≘ f.
 341 #f2 #f * -f2 #f2 #g2 #Hf2 #H2 * -f #f #g #Hf #H #f1 cases (pn_split f1) * #g1 #H1
 342 [ /3 width=7 by coafter_refl/
 343 | @(coafter_next … H1 … H) /3 width=3 by isid_push/
 344 ]
 345 qed.
 346
 347 (* Inversion lemmas with test for identity **********************************)
 348
 349 lemma coafter_isid_inv_sn: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐈❪f1❫ → f2 ≡ f.
 350 /3 width=6 by coafter_isid_sn, coafter_mono/ qed-.
 351
 352 lemma coafter_isid_inv_dx: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → 𝐈❪f2❫ → 𝐈❪f❫.
 353 /4 width=4 by eq_id_isid, coafter_isid_dx, coafter_mono/ qed-.
 354
 355 (* Properties with test for uniform relocations *****************************)
 356
 357 lemma coafter_isuni_isid: ∀f2. 𝐈❪f2❫ → ∀f1. 𝐔❪f1❫ → f1 ~⊚ f2 ≘ f2.
 358 #f #Hf #g #H elim H -g
 359 /3 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, coafter_next, eq_push_inv_isid/
 360 qed.
 361
 362
 363 (*
 364 lemma coafter_isid_isuni: ∀f1,f2. 𝐈❪f2❫ → 𝐔❪f1❫ → f1 ~⊚ ↑f2 ≘ ↑f1.
 365 #f1 #f2 #Hf2 #H elim H -H
 366 /5 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back2, coafter_next, coafter_push, eq_push_inv_isid/
 367 qed.
 368
 369 lemma coafter_uni_next2: ∀f2. 𝐔❪f2❫ → ∀f1,f. ↑f2 ~⊚ f1 ≘ f → f2 ~⊚ ↑f1 ≘ f.
 370 #f2 #H elim H -f2
 371 [ #f2 #Hf2 #f1 #f #Hf
 372   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
 373   /4 width=7 by coafter_isid_inv_sn, coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, eq_next/
 374 | #f2 #_ #g2 #H2 #IH #f1 #f #Hf
 375   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
 376   /3 width=5 by coafter_next/
 377 ]
 378 qed.
 379 *)
 380
 381 (* Properties with uniform relocations **************************************)
 382
 383 lemma coafter_uni_sn: ∀i,f. 𝐔❨i❩ ~⊚ f ≘ ⫯*[i] f.
 384 #i elim i -i /2 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_next/
 385 qed.
 386
 387 (*
 388 lemma coafter_uni: ∀n1,n2. 𝐔❨n1❩ ~⊚ 𝐔❨n2❩ ≘ 𝐔❨n1+n2❩.
 389 @nat_elim2
 390 /4 width=5 by coafter_uni_next2, coafter_isid_sn, coafter_isid_dx, coafter_next/
 391 qed.
 392
 393 (* Forward lemmas on at *****************************************************)
 394
 395 lemma coafter_at_fwd: ∀i,i1,f. @❪i1, f❫ ≘ i → ∀f2,f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f →
 396                       ∃∃i2. @❪i1, f1❫ ≘ i2 & @❪i2, f2❫ ≘ i.
 397 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i1 #f #Hf #f2 #f1 #Hf21
 398 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3:* |*: // ]
 399   [1: #g #j1 #Hg #H0 #H |2,4: #g #Hg #H ]
 400 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf //
 401   #g #H1 #H
 402 ]
 403 [2: elim (coafter_inv_xxn … Hf21 … H) -f *
 404     [ #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1 | #g2 #Hg21 #H2 ]
 405 |*: elim (coafter_inv_xxp … Hf21 … H) -f
 406     #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1
 407 ]
 408 [4: -Hg21 |*: elim (IH … Hg … Hg21) -g -IH ]
 409 /3 width=9 by at_refl, at_push, at_next, ex2_intro/
 410 qed-.
 411
 412 lemma coafter_fwd_at: ∀i,i2,i1,f1,f2. @❪i1, f1❫ ≘ i2 → @❪i2, f2❫ ≘ i →
 413                       ∀f. f2 ~⊚ f1 ≘ f → @❪i1, f❫ ≘ i.
 414 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f1 #f2 #Hf1 #Hf2 #f #Hf
 415 [ elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
 416   #g2 [ #j2 ] #Hg2 [ #H22 ] #H20
 417   [ elim (at_inv_xxn … Hf1 … H22) -i2 *
 418     #g1 [ #j1 ] #Hg1 [ #H11 ] #H10
 419     [ elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=7 by at_push/
 420     | elim (coafter_inv_pnx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=6 by at_next/
 421     ]
 422   | elim (coafter_inv_nxx … Hf … H20) -f2 /3 width=7 by at_next/
 423   ]
 424 | elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H22 #H20
 425   elim (at_inv_xxp … Hf1 … H22) -i2 #g1 #H11 #H10
 426   elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /2 width=2 by at_refl/
 427 ]
 428 qed-.
 429
 430 lemma coafter_fwd_at2: ∀f,i1,i. @❪i1, f❫ ≘ i → ∀f1,i2. @❪i1, f1❫ ≘ i2 →
 431                        ∀f2. f2 ~⊚ f1 ≘ f → @❪i2, f2❫ ≘ i.
 432 #f #i1 #i #Hf #f1 #i2 #Hf1 #f2 #H elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
 433 #j1 #H #Hf2 <(at_mono … Hf1 … H) -i1 -i2 //
 434 qed-.
 435
 436 lemma coafter_fwd_at1: ∀i,i2,i1,f,f2. @❪i1, f❫ ≘ i → @❪i2, f2❫ ≘ i →
 437                        ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f → @❪i1, f1❫ ≘ i2.
 438 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f #f2 #Hf #Hf2 #f1 #Hf1
 439 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3: * |*: // ]
 440   #g [ #j1 ] #Hg [ #H01 ] #H00
 441   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3,5,7: * |*: // ]
 442   #g2 [1,3: #j2 ] #Hg2 [1,2: #H22 ] #H20
 443   [ elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=7 by at_push/
 444   | elim (coafter_inv_pxn … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=5 by at_next/
 445   | elim (coafter_inv_nxp … Hf1 … H20 H00)
 446   | /4 width=9 by coafter_inv_nxn, at_next/
 447   ]
 448 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf // #g #H01 #H00
 449   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H21 #H20
 450   elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=2 by at_refl/
 451 ]
 452 qed-.
 453
 454 (* Properties with at *******************************************************)
 455
 456 lemma coafter_uni_dx: ∀i2,i1,f2. @❪i1, f2❫ ≘ i2 →
 457                       ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❨i1❩ ≘ f → 𝐔❨i2❩ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≘ f.
 458 #i2 elim i2 -i2
 459 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 460   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
 461   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hf ?) -Hf
 462   /3 width=3 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0/
 463 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 464   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
 465   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
 466     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
 467     /3 width=5 by coafter_next/
 468   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
 469     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
 470     /3 width=5 by coafter_next/
 471   ]
 472 ]
 473 qed.
 474
 475 lemma coafter_uni_sn: ∀i2,i1,f2. @❪i1, f2❫ ≘ i2 →
 476                       ∀f. 𝐔❨i2❩ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≘ f → f2 ~⊚ 𝐔❨i1❩ ≘ f.
 477 #i2 elim i2 -i2
 478 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 479   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
 480   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hf ?) -Hf
 481   /3 width=3 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0/
 482 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 483   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
 484   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
 485   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct /3 width=7 by coafter_push/
 486   | #g2 #Hg2 #H2 destruct /3 width=5 by coafter_next/
 487   ]
 488 ]
 489 qed-.
 490
 491 lemma coafter_uni_succ_dx: ∀i2,i1,f2. @❪i1, f2❫ ≘ i2 →
 492                            ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❨↑i1❩ ≘ f → 𝐔❨↑i2❩ ~⊚ ⫱*[↑i2] f2 ≘ f.
 493 #i2 elim i2 -i2
 494 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 495   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
 496   elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H
 497   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hg ?) -Hg
 498   /4 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, coafter_next/
 499 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 500   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
 501   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
 502     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
 503     /3 width=5 by coafter_next/
 504   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
 505     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
 506     /3 width=5 by coafter_next/
 507   ]
 508 ]
 509 qed.
 510
 511 lemma coafter_uni_succ_sn: ∀i2,i1,f2. @❪i1, f2❫ ≘ i2 →
 512                            ∀f. 𝐔❨↑i2❩ ~⊚ ⫱*[↑i2] f2 ≘ f → f2 ~⊚ 𝐔❨↑i1❩ ≘ f.
 513 #i2 elim i2 -i2
 514 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 515   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
 516   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
 517   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hg ?) -Hg
 518   /4 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0, coafter_push/
 519 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
 520   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
 521   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
 522   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=7 by coafter_push/
 523   | #g2 #Hg2 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=5 by coafter_next/
 524   ]
 525 ]
 526 qed-.
 527
 528 lemma coafter_uni_one_dx: ∀f2,f. ⫯f2 ~⊚ 𝐔❨↑O❩ ≘ f → 𝐔❨↑O❩ ~⊚ f2 ≘ f.
 529 #f2 #f #H @(coafter_uni_succ_dx … (⫯f2)) /2 width=3 by at_refl/
 530 qed.
 531
 532 lemma coafter_uni_one_sn: ∀f1,f. 𝐔❨↑O❩ ~⊚ f1 ≘ f → ⫯f1 ~⊚ 𝐔❨↑O❩ ≘ f.
 533 /3 width=3 by coafter_uni_succ_sn, at_refl/ qed-.
 534 *)
 535 (* Forward lemmas with istot ************************************************)
 536 (*
 537 lemma coafter_istot_fwd: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≘ f → 𝐓❪f2❫ → 𝐓❪f1❫ → 𝐓❪f❫.
 538 #f2 #f1 #f #Hf #Hf2 #Hf1 #i1 elim (Hf1 i1) -Hf1
 539 #i2 #Hf1 elim (Hf2 i2) -Hf2
 540 /3 width=7 by coafter_fwd_at, ex_intro/
 541 qed-.
 542
 543 lemma coafter_fwd_istot_dx: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≘ f → 𝐓❪f❫ → 𝐓❪f1❫.
 544 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
 545 #i2 #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f /2 width=2 by ex_intro/
 546 qed-.
 547
 548 lemma coafter_fwd_istot_sn: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≘ f → 𝐓❪f❫ → 𝐓❪f2❫.
 549 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
 550 #i #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
 551 #i2 #Hf1 #Hf2 lapply (at_increasing … Hf1) -f1
 552 #Hi12 elim (at_le_ex … Hf2 … Hi12) -i2 /2 width=2 by ex_intro/
 553 qed-.
 554
 555 lemma coafter_inv_istot: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≘ f → 𝐓❪f❫ → 𝐓❪f2❫ ∧ 𝐓❪f1❫.
 556 /3 width=4 by coafter_fwd_istot_sn, coafter_fwd_istot_dx, conj/ qed-.
 557
 558 lemma coafter_at1_fwd: ∀f1,i1,i2. @❪i1, f1❫ ≘ i2 → ∀f2. 𝐓❪f2❫ → ∀f. f2 ~⊚ f1 ≘ f →
 559                      ∃∃i. @❪i2, f2❫ ≘ i & @❪i1, f❫ ≘ i.
 560 #f1 #i1 #i2 #Hf1 #f2 #Hf2 #f #Hf elim (Hf2 i2) -Hf2
 561 /3 width=8 by coafter_fwd_at, ex2_intro/
 562 qed-.
 563
 564 lemma coafter_fwd_isid_sn: ∀f2,f1,f. 𝐓❪f❫ → f2 ~⊚ f1 ≘ f → f1 ≡ f → 𝐈❪f2❫.
 565 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
 566 #Hf2 #Hf1 #H @isid_at_total // -Hf2
 567 #i2 #i #Hf2 elim (Hf1 i2) -Hf1
 568 #i0 #Hf1 lapply (at_increasing … Hf1)
 569 #Hi20 lapply (coafter_fwd_at2 … i0 … Hf1 … Hf) -Hf
 570 /3 width=7 by at_eq_repl_back, at_mono, at_id_le/
 571 qed-.
 572
 573 lemma coafter_fwd_isid_dx: ∀f2,f1,f.  𝐓❪f❫ → f2 ~⊚ f1 ≘ f → f2 ≡ f → 𝐈❪f1❫.
 574 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
 575 #Hf2 #Hf1 #H2 @isid_at_total // -Hf1
 576 #i1 #i2 #Hi12 elim (coafter_at1_fwd … Hi12 … Hf) -f1
 577 /3 width=8 by at_inj, at_eq_repl_back/
 578 qed-.
 579 *)
 580 corec fact coafter_inj_O_aux: ∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 → H_coafter_inj f1.
 581 #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
 582 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
 583 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
 584 cases (H2g1 0) #n #Hn
 585 cases (coafter_inv_pxx … H1f … H1) -H1f * #g21 #g #H1g #H21 #H
 586 [ cases (coafter_inv_pxp … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
 587   @(eq_push … H21 H22) -f21 -f22
 588 | cases (coafter_inv_pxn … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
 589   @(eq_next … H21 H22) -f21 -f22
 590 ]
 591 @(coafter_inj_O_aux (⫱*[n]g1) … (⫱*[n]g)) -coafter_inj_O_aux
 592 /2 width=1 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls/
 593 qed-.
 594
 595 fact coafter_inj_aux: (∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 → H_coafter_inj f1) →
 596                       ∀i2,f1. @❪0, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_inj f1.
 597 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 598 #i2 #IH #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
 599 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1g1 #H1
 600 elim (coafter_inv_nxx … H1f … H1) -H1f #g #H1g #H
 601 lapply (coafter_inv_nxp … H2f … H1 H) -f #H2g
 602 /3 width=6 by istot_inv_next/
 603 qed-.
 604
 605 theorem coafter_inj: ∀f1. H_coafter_inj f1.
 606 #f1 #H cases (H 0) /3 width=7 by coafter_inj_aux, coafter_inj_O_aux/
 607 qed-.
 608
 609 corec fact coafter_fwd_isid2_O_aux: ∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 →
 610                                     H_coafter_fwd_isid2 f1.
 611 #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
 612 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
 613 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
 614 cases (H2g1 0) #n #Hn
 615 cases (coafter_inv_pxx … H … H1) -H * #g2 #g #H #H2 #H0
 616 [ lapply (isid_inv_push … Hf … H0) -Hf #Hg
 617   @(isid_push … H2) -H2
 618   /3 width=7 by coafter_tls_O, at_pxx_tls, istot_tls, isid_tls/
 619 | cases (isid_inv_next … Hf … H0)
 620 ]
 621 qed-.
 622
 623 fact coafter_fwd_isid2_aux: (∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 → H_coafter_fwd_isid2 f1) →
 624                             ∀i2,f1. @❪0, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_fwd_isid2 f1.
 625 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 626 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
 627 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 628 elim (coafter_inv_nxx … H … H1) -H #g #Hg #H0
 629 @(IH … Hg1 … Hg) /2 width=3 by istot_inv_next, isid_inv_push/ (**) (* full auto fails *)
 630 qed-.
 631
 632 lemma coafter_fwd_isid2: ∀f1. H_coafter_fwd_isid2 f1.
 633 #f1 #f2 #f #Hf #H cases (H 0)
 634 /3 width=7 by coafter_fwd_isid2_aux, coafter_fwd_isid2_O_aux/
 635 qed-.
 636
 637 fact coafter_isfin2_fwd_O_aux: ∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 →
 638                                H_coafter_isfin2_fwd f1.
 639 #f1 #Hf1 #f2 #H
 640 generalize in match Hf1; generalize in match f1; -f1
 641 @(isfin_ind … H) -f2
 642 [ /3 width=4 by coafter_isid_inv_dx, isfin_isid/ ]
 643 #f2 #_ #IH #f1 #H #Hf1 #f #Hf
 644 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #g1 #H1
 645 lapply (istot_inv_push … Hf1 … H1) -Hf1 #Hg1
 646 elim (Hg1 0) #n #Hn
 647 [ elim (coafter_inv_ppx … Hf) | elim (coafter_inv_pnx … Hf)
 648 ] -Hf [1,6: |*: // ] #g #Hg #H0 destruct
 649 /5 width=6 by isfin_next, isfin_push, isfin_inv_tls, istot_tls, at_pxx_tls, coafter_tls_O/
 650 qed-.
 651
 652 fact coafter_isfin2_fwd_aux: (∀f1. @❪0, f1❫ ≘ 0 → H_coafter_isfin2_fwd f1) →
 653                              ∀i2,f1. @❪0, f1❫ ≘ i2 → H_coafter_isfin2_fwd f1.
 654 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
 655 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #Hf2 #H2f1 #f #Hf
 656 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
 657 elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0
 658 lapply (IH … Hg1 … Hg) -i2 -Hg
 659 /2 width=4 by istot_inv_next, isfin_push/ (**) (* full auto fails *)
 660 qed-.
 661
 662 lemma coafter_isfin2_fwd: ∀f1. H_coafter_isfin2_fwd f1.
 663 #f1 #f2 #Hf2 #Hf1 cases (Hf1 0)
 664 /3 width=7 by coafter_isfin2_fwd_aux, coafter_isfin2_fwd_O_aux/
 665 qed-.
 666
 667 lemma coafter_inv_sor: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f2. 𝐓❪f2❫ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f → ∀fa,fb. fa ⋓ fb ≘ f →
 668                        ∃∃f1a,f1b. f2 ~⊚ f1a ≘ fa & f2 ~⊚ f1b ≘ fb & f1a ⋓ f1b ≘ f1.
 669 @isfin_ind
 670 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #H1f #fa #fb #H2f
 671   elim (sor_inv_isid3 … H2f) -H2f //
 672   lapply (coafter_fwd_isid2 … H1f ??) -H1f //
 673   /3 width=5 by ex3_2_intro, coafter_isid_dx, sor_isid/
 674 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
 675   elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #H2f
 676   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ] #g2 [ #g1 ] #H1f #Hgf2
 677   [ lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) | lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) ] -Hf2 #Hg2
 678   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
 679   /3 width=11 by sor_pp, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_next/
 680 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
 681   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #H1f #Hgf2
 682   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 683   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #H2f
 684   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
 685   /3 width=11 by sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_push/
 686 ]
 687 qed-.
 688
 689 (* Properties with istot ****************************************************)
 690
 691 lemma coafter_sor: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f2. 𝐓❪f2❫ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≘ f → ∀f1a,f1b. f1a ⋓ f1b ≘ f1 →
 692                    ∃∃fa,fb. f2 ~⊚ f1a ≘ fa & f2 ~⊚ f1b ≘ fb & fa ⋓ fb ≘ f.
 693 @isfin_ind
 694 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #Hf #f1a #f1b #Hf1
 695   lapply (coafter_fwd_isid2 … Hf ??) -Hf // #H2f1
 696   elim (sor_inv_isid3 … Hf1) -Hf1 //
 697   /3 width=5 by coafter_isid_dx, sor_idem, ex3_2_intro/
 698 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
 699   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ]
 700   [ #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
 701     elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #Hg1
 702     lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 703     elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
 704     /3 width=11 by coafter_refl, sor_pp, ex3_2_intro/
 705   | #g2 #Hf #Hgf2
 706     lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 707     elim (IH … Hf … H2) // -f1 -IH -Hg2
 708     /3 width=11 by coafter_next, sor_pp, ex3_2_intro/
 709   ]
 710 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
 711   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
 712   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
 713   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #Hg1
 714   elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
 715   /3 width=11 by coafter_refl, coafter_push, sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro/
 716 ]
 717 qed-.
 718
 719 (* Properties with after ****************************************************)
 720 (*
 721 corec theorem coafter_trans1: ∀f0,f3,f4. f0 ~⊚ f3 ≘ f4 →
 722                             ∀f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≘ f0 →
 723                             ∀f. f2 ~⊚ f3 ≘ f → f1 ~⊚ f ≘ f4.
 724 #f0 #f3 #f4 * -f0 -f3 -f4 #f0 #f3 #f4 #g0 [1,2: #g3 ] #g4
 725 [ #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
 726   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
 727   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
 728   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
 729   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
 730 | #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
 731   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
 732   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
 733   cases (coafter_inv_pnx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
 734   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
 735 | #Hf4 #H0 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
 736   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
 737   [ #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
 738     cases (coafter_inv_nxx … Hg … H2) -g2
 739     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
 740   | #f1 #Hf0 #H1 /3 width=6 by coafter_next/
 741   ]
 742 ]
 743 qed-.
 744
 745 corec theorem coafter_trans2: ∀f1,f0,f4. f1 ~⊚ f0 ≘ f4 →
 746                             ∀f2, f3. f2 ~⊚ f3 ≘ f0 →
 747                             ∀f. f1 ~⊚ f2 ≘ f → f ~⊚ f3 ≘ f4.
 748 #f1 #f0 #f4 * -f1 -f0 -f4 #f1 #f0 #f4 #g1 [1,2: #g0 ] #g4
 749 [ #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
 750   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
 751   #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
 752   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
 753   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
 754 | #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
 755   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
 756   [ #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
 757     cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
 758     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
 759   | #f2 #Hf0 #H2
 760     cases (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
 761     #f #Hf #H /3 width=6 by coafter_next/
 762   ]
 763 | #Hf4 #H1 #H4 #f2 #f3 #Hf0 #g #Hg
 764   cases (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1
 765   #f #Hg #H /3 width=6 by coafter_next/
 766 ]
 767 qed-.
 768 *)