]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/relocation/rtmap_coafter.ma
previous lemma proved ...
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / ground_2 / relocation / rtmap_coafter.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground_2/notation/relations/rcoafter_3.ma".
16 include "ground_2/relocation/rtmap_sor.ma".
17 include "ground_2/relocation/rtmap_after.ma".
18
19 (* RELOCATION MAP ***********************************************************)
20
21 coinductive coafter: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
22 | coafter_refl: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
23                 ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → coafter g1 g2 g
24 | coafter_push: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
25                 ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → coafter g1 g2 g
26 | coafter_next: ∀f1,f2,f,g1,g. coafter f1 f2 f →
27                 ⫯f1 = g1 → ↑f = g → coafter g1 f2 g
28 .
29
30 interpretation "relational co-composition (rtmap)"
31    'RCoAfter f1 f2 f = (coafter f1 f2 f).
32
33 definition H_coafter_inj: predicate rtmap ≝
34                           λf1. 𝐓⦃f1⦄ →
35                           ∀f,f21,f22. f1 ~⊚ f21 ≡ f → f1 ~⊚ f22 ≡ f → f21 ≗ f22.
36
37 definition H_coafter_fwd_isid2: predicate rtmap ≝
38                                 λf1. ∀f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐓⦃f1⦄ → 𝐈⦃f⦄ → 𝐈⦃f2⦄.
39
40 definition H_coafter_isfin2_fwd: predicate rtmap ≝
41                                  λf1. ∀f2. 𝐅⦃f2⦄ → 𝐓⦃f1⦄ → ∀f. f1 ~⊚ f2 ≡ f →  𝐅⦃f⦄.
42
43 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
44
45 lemma coafter_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
46                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f = g.
47 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
48 [ #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
49   >(injective_push … Hx1) >(injective_push … Hx2) -x2 -x1
50   /2 width=3 by ex2_intro/
51 | #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
52   elim (discr_push_next … Hx2)
53 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
54   elim (discr_push_next … Hx1)
55 ]
56 qed-.
57
58 lemma coafter_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
59                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f = g.
60 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
61 [ #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
62   elim (discr_next_push … Hx2)
63 | #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H3 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
64   >(injective_push … Hx1) >(injective_next … Hx2) -x2 -x1
65   /2 width=3 by ex2_intro/
66 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
67   elim (discr_push_next … Hx1)
68 ]
69 qed-.
70
71 lemma coafter_inv_nxx: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g → ∀f1. ⫯f1 = g1 →
72                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f = g.
73 #g1 #f2 #g * -g1 -f2 -g #f1 #f2 #f #g1
74 [ #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
75   elim (discr_next_push … Hx1)
76 | #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
77   elim (discr_next_push … Hx1)
78 | #g #Hf #H1 #H #x1 #Hx1 destruct
79   >(injective_next … Hx1) -x1
80   /2 width=3 by ex2_intro/
81 ]
82 qed-.
83
84 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
85
86 lemma coafter_inv_ppp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
87                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
88 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
89 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
90 <(injective_push … Hx) -f //
91 qed-.
92
93 lemma coafter_inv_ppn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
94                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → ⊥.
95 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
96 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
97 elim (discr_push_next … Hx)
98 qed-.
99
100 lemma coafter_inv_pnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
101                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
102 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
103 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
104 <(injective_next … Hx) -f //
105 qed-.
106
107 lemma coafter_inv_pnp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
108                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → ⊥.
109 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
110 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
111 elim (discr_next_push … Hx)
112 qed-.
113
114 lemma coafter_inv_nxp: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g →
115                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
116 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
117 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
118 <(injective_push … Hx) -f //
119 qed-.
120
121 lemma coafter_inv_nxn: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g →
122                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f = g → ⊥.
123 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
124 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
125 elim (discr_push_next … Hx)
126 qed-.
127
128 lemma coafter_inv_pxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
129                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ↑f = g →
130                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f2 = g2.
131 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
132 [ lapply (coafter_inv_ppp … Hg … H1 H2 H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
133 | elim (coafter_inv_pnp … Hg … H1 H2 H)
134 ]
135 qed-.
136
137 lemma coafter_inv_pxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
138                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ⫯f = g →
139                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f2 = g2.
140 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
141 [ elim (coafter_inv_ppn … Hg … H1 H2 H)
142 | lapply (coafter_inv_pnn … Hg … H1 … H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
143 ]
144 qed-.
145
146 lemma coafter_inv_xxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f. ⫯f = g →
147                        ∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f1 = g1 & ⫯f2 = g2.
148 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
149 [ elim (coafter_inv_pxn … Hg … H1 H) -g /2 width=5 by ex3_2_intro/
150 | elim (coafter_inv_nxn … Hg … H1 H)
151 ]
152 qed-.
153
154 lemma coafter_inv_xxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f. ↑f = g →
155                        (∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f1 = g1 & ↑f2 = g2) ∨
156                        ∃∃f1. f1 ~⊚ g2 ≡ f & ⫯f1 = g1.
157 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
158 [ elim (coafter_inv_pxp … Hg … H1 H) -g
159   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
160 | /4 width=5 by coafter_inv_nxp, or_intror, ex2_intro/
161 ]
162 qed-.
163
164 lemma coafter_inv_pxx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1. ↑f1 = g1 →
165                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f2 = g2 & ↑f = g) ∨
166                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f2 = g2 & ⫯f = g).
167 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #H1 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
168 [ elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1
169   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
170 | elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1
171   /3 width=5 by or_intror, ex3_2_intro/
172 ]
173 qed-.
174
175 (* Basic properties *********************************************************)
176
177 corec lemma coafter_eq_repl_back2: ∀f1,f. eq_repl_back (λf2. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
178 #f1 #f #f2 * -f2 -f1 -f
179 #f21 #f1 #f #g21 [1,2: #g1 ] #g #Hf #H21 [1,2: #H1 ] #H #g22 #H0
180 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_refl/
181 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_push/
182 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H21) -g21 /3 width=5 by coafter_next/
183 ]
184 qed-.
185
186 lemma coafter_eq_repl_fwd2: ∀f1,f. eq_repl_fwd (λf2. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
187 #f1 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back2/
188 qed-.
189
190 corec lemma coafter_eq_repl_back1: ∀f2,f. eq_repl_back (λf1. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
191 #f2 #f #f1 * -f2 -f1 -f
192 #f2 #f11 #f #g2 [1,2: #g11 ] #g #Hf #H2 [1,2: #H11 ] #H #g2 #H0
193 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_refl/
194 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_push/
195 | @(coafter_next … H2 H) /2 width=5 by/
196 ]
197 qed-.
198
199 lemma coafter_eq_repl_fwd1: ∀f2,f. eq_repl_fwd (λf1. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
200 #f2 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back1/
201 qed-.
202
203 corec lemma coafter_eq_repl_back0: ∀f1,f2. eq_repl_back (λf. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
204 #f2 #f1 #f * -f2 -f1 -f
205 #f2 #f1 #f01 #g2 [1,2: #g1 ] #g01 #Hf01 #H2 [1,2: #H1 ] #H01 #g02 #H0
206 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_refl/
207 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_push/
208 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=5 by coafter_next/
209 ]
210 qed-.
211
212 lemma coafter_eq_repl_fwd0: ∀f2,f1. eq_repl_fwd (λf. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
213 #f2 #f1 @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back0/
214 qed-.
215
216 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
217
218 corec theorem coafter_mono: ∀f1,f2,x,y. f1 ~⊚ f2 ≡ x → f1 ~⊚ f2 ≡ y → x ≗ y.
219 #f1 #f2 #x #y * -f1 -f2 -x
220 #f1 #f2 #x #g1 [1,2: #g2 ] #g #Hx #H1 [1,2: #H2 ] #H0x #Hy
221 [ cases (coafter_inv_ppx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_push/
222 | cases (coafter_inv_pnx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_next/
223 | cases (coafter_inv_nxx … Hy … H1) -g1 /3 width=8 by eq_push/
224 ]
225 qed-.
226
227 lemma coafter_mono_eq: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
228                        f1 ≗ g1 → f2 ≗ g2 → f ≗ g.
229 /4 width=4 by coafter_mono, coafter_eq_repl_back1, coafter_eq_repl_back2/ qed-.
230
231 (* Inversion lemmas with pushs **********************************************)
232
233 lemma coafter_fwd_pushs: ∀n,g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
234                          ∃f. ↑*[n]f = g.
235 #n elim n -n /2 width=2 by ex_intro/
236 #n #IH #g2 #g1 #g #Hg #Hg2
237 cases (at_inv_pxn … Hg2) -Hg2 [ |*: // ] #f2 #Hf2 #H2
238 cases (coafter_inv_nxx … Hg … H2) -Hg -H2 #f #Hf #H0 destruct
239 elim (IH … Hf Hf2) -g1 -g2 -f2 /2 width=2 by ex_intro/
240 qed-.
241
242 (* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
243
244 lemma coafter_inv_tl1: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ ⫱g1 ≡ g →
245                        ∃∃f. ↑g2 ~⊚ g1 ≡ f & ⫱f = g.
246 #g2 #g1 #g elim (pn_split g1) * #f1 #H1 #H destruct
247 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
248 | @(ex2_intro … (⫯g)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
249 ]
250 qed-.
251
252 lemma coafter_inv_tl0: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ ⫱g →
253                        ∃∃f1. ↑g2 ~⊚ f1 ≡ g & ⫱f1 = g1.
254 #g2 #g1 #g elim (pn_split g) * #f #H0 #H destruct
255 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
256 | @(ex2_intro … (⫯g1)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
257 ]
258 qed-.
259
260 (* Properties with iterated tail ********************************************)
261
262 lemma coafter_tls: ∀n,f1,f2,f. @⦃0, f1⦄ ≡ n →
263                    f1 ~⊚ f2 ≡ f → ⫱*[n]f1 ~⊚ f2 ≡ ⫱*[n]f.
264 #n elim n -n //
265 #n #IH #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf
266 cases (at_inv_pxn … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
267 cases (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
268 <tls_xn <tls_xn /2 width=1 by/
269 qed.
270
271 lemma coafter_tls_succ: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ g →
272                         ∀n. @⦃0, g2⦄ ≡ n → ⫱*[⫯n]g2 ~⊚ ⫱g1 ≡ ⫱*[⫯n]g.
273 #g2 #g1 #g #Hg #n #Hg2
274 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
275 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
276 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
277 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0 destruct
278 <tls_S <tls_S <H2 <H0 -g2 -g -n //
279 qed.
280
281 lemma coafter_fwd_xpx_pushs: ∀g2,f1,g,n. g2 ~⊚ ↑f1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
282                              ∃f. ↑*[⫯n]f = g.
283 #g2 #g1 #g #n #Hg #Hg2
284 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
285 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs #Hf
286 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
287 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
288 elim (coafter_inv_pxx … Hf … H2) -Hf -H2 * #f1 #g #_ #H1 #H0 destruct
289 [ /2 width=2 by ex_intro/
290 | elim (discr_next_push … H1)
291
292 qed-.
293
294 lemma coafter_fwd_xnx_pushs: ∀g2,f1,g,n. g2 ~⊚ ⫯f1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
295                              ∃f. ↑*[n] ⫯f = g.
296 #g2 #g1 #g #n #Hg #Hg2
297 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
298 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs #Hf
299 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
300 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
301 elim (coafter_inv_pxx … Hf … H2) -Hf -H2 * #f1 #g #_ #H1 #H0 destruct
302 [ elim (discr_push_next … H1)
303 | /2 width=2 by ex_intro/
304
305 qed-.
306
307 (* Properties with test for identity ****************************************)
308
309 corec lemma coafter_isid_sn: ∀f1. 𝐈⦃f1⦄ → ∀f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f2.
310 #f1 * -f1 #f1 #g1 #Hf1 #H1 #f2 cases (pn_split f2) * #g2 #H2
311 /3 width=7 by coafter_push, coafter_refl/
312 qed.
313
314 corec lemma coafter_isid_dx: ∀f2,f. 𝐈⦃f2⦄ → 𝐈⦃f⦄ → ∀f1. f1 ~⊚ f2 ≡ f.
315 #f2 #f * -f2 #f2 #g2 #Hf2 #H2 * -f #f #g #Hf #H #f1 cases (pn_split f1) * #g1 #H1
316 [ /3 width=7 by coafter_refl/
317 | @(coafter_next … H1 … H) /3 width=3 by isid_push/
318 ]
319 qed.
320
321 (* Inversion lemmas with test for identity **********************************)
322
323 lemma coafter_isid_inv_sn: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐈⦃f1⦄ → f2 ≗ f.
324 /3 width=6 by coafter_isid_sn, coafter_mono/ qed-.
325
326 lemma coafter_isid_inv_dx: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐈⦃f2⦄ → 𝐈⦃f⦄.
327 /4 width=4 by eq_id_isid, coafter_isid_dx, coafter_mono/ qed-.
328
329 (* Properties with test for uniform relocations *****************************)
330
331 lemma coafter_isuni_isid: ∀f2. 𝐈⦃f2⦄ → ∀f1. 𝐔⦃f1⦄ → f1 ~⊚ f2 ≡ f2.
332 #f #Hf #g #H elim H -g
333 /3 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, coafter_next, eq_push_inv_isid/
334 qed.
335
336
337 (*
338 lemma coafter_isid_isuni: ∀f1,f2. 𝐈⦃f2⦄ → 𝐔⦃f1⦄ → f1 ~⊚ ⫯f2 ≡ ⫯f1.
339 #f1 #f2 #Hf2 #H elim H -H
340 /5 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back2, coafter_next, coafter_push, eq_push_inv_isid/
341 qed.
342
343 lemma coafter_uni_next2: ∀f2. 𝐔⦃f2⦄ → ∀f1,f. ⫯f2 ~⊚ f1 ≡ f → f2 ~⊚ ⫯f1 ≡ f.
344 #f2 #H elim H -f2
345 [ #f2 #Hf2 #f1 #f #Hf
346   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
347   /4 width=7 by coafter_isid_inv_sn, coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, eq_next/
348 | #f2 #_ #g2 #H2 #IH #f1 #f #Hf
349   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
350   /3 width=5 by coafter_next/
351 ]
352 qed.
353 *)
354
355 (* Properties with uniform relocations **************************************)
356
357 lemma coafter_uni_sn: ∀i,f. 𝐔❴i❵ ~⊚ f ≡ ↑*[i] f.
358 #i elim i -i /2 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_next/
359 qed.
360
361 (*
362 lemma coafter_uni: ∀n1,n2. 𝐔❴n1❵ ~⊚ 𝐔❴n2❵ ≡ 𝐔❴n1+n2❵.
363 @nat_elim2
364 /4 width=5 by coafter_uni_next2, coafter_isid_sn, coafter_isid_dx, coafter_next/
365 qed.
366
367 (* Forward lemmas on at *****************************************************)
368
369 lemma coafter_at_fwd: ∀i,i1,f. @⦃i1, f⦄ ≡ i → ∀f2,f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f →
370                       ∃∃i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 & @⦃i2, f2⦄ ≡ i.
371 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i1 #f #Hf #f2 #f1 #Hf21
372 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3:* |*: // ]
373   [1: #g #j1 #Hg #H0 #H |2,4: #g #Hg #H ]
374 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf //
375   #g #H1 #H
376 ]
377 [2: elim (coafter_inv_xxn … Hf21 … H) -f *
378     [ #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1 | #g2 #Hg21 #H2 ]
379 |*: elim (coafter_inv_xxp … Hf21 … H) -f
380     #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1
381 ]
382 [4: -Hg21 |*: elim (IH … Hg … Hg21) -g -IH ]
383 /3 width=9 by at_refl, at_push, at_next, ex2_intro/
384 qed-.
385
386 lemma coafter_fwd_at: ∀i,i2,i1,f1,f2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 → @⦃i2, f2⦄ ≡ i →
387                       ∀f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i1, f⦄ ≡ i.
388 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f1 #f2 #Hf1 #Hf2 #f #Hf
389 [ elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
390   #g2 [ #j2 ] #Hg2 [ #H22 ] #H20
391   [ elim (at_inv_xxn … Hf1 … H22) -i2 *
392     #g1 [ #j1 ] #Hg1 [ #H11 ] #H10
393     [ elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=7 by at_push/
394     | elim (coafter_inv_pnx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=6 by at_next/
395     ]
396   | elim (coafter_inv_nxx … Hf … H20) -f2 /3 width=7 by at_next/
397   ]
398 | elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H22 #H20
399   elim (at_inv_xxp … Hf1 … H22) -i2 #g1 #H11 #H10
400   elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /2 width=2 by at_refl/
401 ]
402 qed-.
403
404 lemma coafter_fwd_at2: ∀f,i1,i. @⦃i1, f⦄ ≡ i → ∀f1,i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 →
405                        ∀f2. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i2, f2⦄ ≡ i.
406 #f #i1 #i #Hf #f1 #i2 #Hf1 #f2 #H elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
407 #j1 #H #Hf2 <(at_mono … Hf1 … H) -i1 -i2 //
408 qed-.
409
410 lemma coafter_fwd_at1: ∀i,i2,i1,f,f2. @⦃i1, f⦄ ≡ i → @⦃i2, f2⦄ ≡ i →
411                        ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i1, f1⦄ ≡ i2.
412 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f #f2 #Hf #Hf2 #f1 #Hf1
413 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3: * |*: // ]
414   #g [ #j1 ] #Hg [ #H01 ] #H00
415   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3,5,7: * |*: // ]
416   #g2 [1,3: #j2 ] #Hg2 [1,2: #H22 ] #H20
417   [ elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=7 by at_push/
418   | elim (coafter_inv_pxn … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=5 by at_next/
419   | elim (coafter_inv_nxp … Hf1 … H20 H00)
420   | /4 width=9 by coafter_inv_nxn, at_next/
421   ]
422 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf // #g #H01 #H00
423   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H21 #H20
424   elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=2 by at_refl/
425 ]
426 qed-.
427
428 (* Properties with at *******************************************************)
429
430 lemma coafter_uni_dx: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
431                       ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❴i1❵ ≡ f → 𝐔❴i2❵ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≡ f.
432 #i2 elim i2 -i2
433 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
434   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
435   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hf ?) -Hf
436   /3 width=3 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0/
437 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
438   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
439   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
440     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
441     /3 width=5 by coafter_next/
442   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
443     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
444     /3 width=5 by coafter_next/
445   ]
446 ]
447 qed.
448
449 lemma coafter_uni_sn: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
450                       ∀f. 𝐔❴i2❵ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≡ f → f2 ~⊚ 𝐔❴i1❵ ≡ f.
451 #i2 elim i2 -i2
452 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
453   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
454   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hf ?) -Hf
455   /3 width=3 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0/
456 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
457   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
458   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
459   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct /3 width=7 by coafter_push/
460   | #g2 #Hg2 #H2 destruct /3 width=5 by coafter_next/
461   ]
462 ]
463 qed-.
464
465 lemma coafter_uni_succ_dx: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
466                            ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❴⫯i1❵ ≡ f → 𝐔❴⫯i2❵ ~⊚ ⫱*[⫯i2] f2 ≡ f.
467 #i2 elim i2 -i2
468 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
469   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
470   elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H
471   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hg ?) -Hg
472   /4 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, coafter_next/
473 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
474   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
475   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
476     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
477     /3 width=5 by coafter_next/
478   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
479     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
480     /3 width=5 by coafter_next/
481   ]
482 ]
483 qed.
484
485 lemma coafter_uni_succ_sn: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
486                            ∀f. 𝐔❴⫯i2❵ ~⊚ ⫱*[⫯i2] f2 ≡ f → f2 ~⊚ 𝐔❴⫯i1❵ ≡ f.
487 #i2 elim i2 -i2
488 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
489   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
490   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
491   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hg ?) -Hg
492   /4 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0, coafter_push/
493 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
494   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
495   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
496   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=7 by coafter_push/
497   | #g2 #Hg2 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=5 by coafter_next/
498   ]
499 ]
500 qed-.
501
502 lemma coafter_uni_one_dx: ∀f2,f. ↑f2 ~⊚ 𝐔❴⫯O❵ ≡ f → 𝐔❴⫯O❵ ~⊚ f2 ≡ f.
503 #f2 #f #H @(coafter_uni_succ_dx … (↑f2)) /2 width=3 by at_refl/
504 qed.
505
506 lemma coafter_uni_one_sn: ∀f1,f. 𝐔❴⫯O❵ ~⊚ f1 ≡ f → ↑f1 ~⊚ 𝐔❴⫯O❵ ≡ f.
507 /3 width=3 by coafter_uni_succ_sn, at_refl/ qed-.
508 *)
509 (* Forward lemmas with istot ************************************************)
510 (*
511 lemma coafter_istot_fwd: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f2⦄ → 𝐓⦃f1⦄ → 𝐓⦃f⦄.
512 #f2 #f1 #f #Hf #Hf2 #Hf1 #i1 elim (Hf1 i1) -Hf1
513 #i2 #Hf1 elim (Hf2 i2) -Hf2
514 /3 width=7 by coafter_fwd_at, ex_intro/
515 qed-.
516
517 lemma coafter_fwd_istot_dx: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f1⦄.
518 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
519 #i2 #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f /2 width=2 by ex_intro/
520 qed-.
521
522 lemma coafter_fwd_istot_sn: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f2⦄.
523 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
524 #i #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
525 #i2 #Hf1 #Hf2 lapply (at_increasing … Hf1) -f1
526 #Hi12 elim (at_le_ex … Hf2 … Hi12) -i2 /2 width=2 by ex_intro/
527 qed-.
528
529 lemma coafter_inv_istot: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f2⦄ ∧ 𝐓⦃f1⦄.
530 /3 width=4 by coafter_fwd_istot_sn, coafter_fwd_istot_dx, conj/ qed-.
531
532 lemma coafter_at1_fwd: ∀f1,i1,i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f. f2 ~⊚ f1 ≡ f →
533                      ∃∃i. @⦃i2, f2⦄ ≡ i & @⦃i1, f⦄ ≡ i.
534 #f1 #i1 #i2 #Hf1 #f2 #Hf2 #f #Hf elim (Hf2 i2) -Hf2
535 /3 width=8 by coafter_fwd_at, ex2_intro/
536 qed-.
537
538 lemma coafter_fwd_isid_sn: ∀f2,f1,f. 𝐓⦃f⦄ → f2 ~⊚ f1 ≡ f → f1 ≗ f → 𝐈⦃f2⦄.
539 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
540 #Hf2 #Hf1 #H @isid_at_total // -Hf2
541 #i2 #i #Hf2 elim (Hf1 i2) -Hf1
542 #i0 #Hf1 lapply (at_increasing … Hf1)
543 #Hi20 lapply (coafter_fwd_at2 … i0 … Hf1 … Hf) -Hf
544 /3 width=7 by at_eq_repl_back, at_mono, at_id_le/
545 qed-.
546
547 lemma coafter_fwd_isid_dx: ∀f2,f1,f.  𝐓⦃f⦄ → f2 ~⊚ f1 ≡ f → f2 ≗ f → 𝐈⦃f1⦄.
548 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
549 #Hf2 #Hf1 #H2 @isid_at_total // -Hf1
550 #i1 #i2 #Hi12 elim (coafter_at1_fwd … Hi12 … Hf) -f1
551 /3 width=8 by at_inj, at_eq_repl_back/
552 qed-.
553 *)
554 corec fact coafter_inj_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_inj f1.
555 #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
556 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
557 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
558 cases (H2g1 0) #n #Hn
559 cases (coafter_inv_pxx … H1f … H1) -H1f * #g21 #g #H1g #H21 #H
560 [ cases (coafter_inv_pxp … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
561   @(eq_push … H21 H22) -f21 -f22
562 | cases (coafter_inv_pxn … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
563   @(eq_next … H21 H22) -f21 -f22
564 ]
565 @(coafter_inj_O_aux (⫱*[n]g1) … (⫱*[n]g)) -coafter_inj_O_aux
566 /2 width=1 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls/
567 qed-.
568
569 fact coafter_inj_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_inj f1) →
570                       ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_inj f1.
571 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
572 #i2 #IH #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
573 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1g1 #H1
574 elim (coafter_inv_nxx … H1f … H1) -H1f #g #H1g #H
575 lapply (coafter_inv_nxp … H2f … H1 H) -f #H2g
576 /3 width=6 by istot_inv_next/
577 qed-.
578
579 theorem coafter_inj: ∀f1. H_coafter_inj f1.
580 #f1 #H cases (H 0) /3 width=7 by coafter_inj_aux, coafter_inj_O_aux/
581 qed-.
582
583 corec fact coafter_fwd_isid2_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 →
584                                     H_coafter_fwd_isid2 f1.
585 #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
586 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
587 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
588 cases (H2g1 0) #n #Hn
589 cases (coafter_inv_pxx … H … H1) -H * #g2 #g #H #H2 #H0
590 [ lapply (isid_inv_push … Hf … H0) -Hf #Hg
591   @(isid_push … H2)
592   /3 width=7 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls, isid_tls/
593 | cases (isid_inv_next … Hf … H0)
594 ]
595 qed-.
596
597 fact coafter_fwd_isid2_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_fwd_isid2 f1) →
598                             ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_fwd_isid2 f1.
599 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
600 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
601 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
602 elim (coafter_inv_nxx … H … H1) -H #g #Hg #H0
603 @(IH … Hg1 … Hg) /2 width=3 by istot_inv_next, isid_inv_push/ (**) (* full auto fails *)
604 qed-.
605
606 lemma coafter_fwd_isid2: ∀f1. H_coafter_fwd_isid2 f1.
607 #f1 #f2 #f #Hf #H cases (H 0)
608 /3 width=7 by coafter_fwd_isid2_aux, coafter_fwd_isid2_O_aux/
609 qed-.
610
611 fact coafter_isfin2_fwd_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 →
612                                H_coafter_isfin2_fwd f1.
613 #f1 #Hf1 #f2 #H
614 generalize in match Hf1; generalize in match f1; -f1
615 @(isfin_ind … H) -f2
616 [ /3 width=4 by coafter_isid_inv_dx, isfin_isid/ ]
617 #f2 #_ #IH #f1 #H #Hf1 #f #Hf
618 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #g1 #H1
619 lapply (istot_inv_push … Hf1 … H1) -Hf1 #Hg1
620 elim (Hg1 0) #n #Hn
621 [ elim (coafter_inv_ppx … Hf) | elim (coafter_inv_pnx … Hf)
622 ] -Hf [1,6: |*: // ] #g #Hg #H0 destruct
623 /5 width=6 by isfin_next, isfin_push, isfin_inv_tls, istot_tls, at_pxx_tls, coafter_tls/
624 qed-.
625
626 fact coafter_isfin2_fwd_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_isfin2_fwd f1) →
627                              ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_isfin2_fwd f1.
628 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
629 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #Hf2 #H2f1 #f #Hf
630 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
631 elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0
632 lapply (IH … Hg1 … Hg) -i2 -Hg
633 /2 width=4 by istot_inv_next, isfin_push/ (**) (* full auto fails *)
634 qed-.
635
636 lemma coafter_isfin2_fwd: ∀f1. H_coafter_isfin2_fwd f1.
637 #f1 #f2 #Hf2 #Hf1 cases (Hf1 0)
638 /3 width=7 by coafter_isfin2_fwd_aux, coafter_isfin2_fwd_O_aux/
639 qed-.
640
641 lemma coafter_inv_sor: ∀f. 𝐅⦃f⦄ → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → ∀fa,fb. fa ⋓ fb ≡ f →
642                        ∃∃f1a,f1b. f2 ~⊚ f1a ≡ fa & f2 ~⊚ f1b ≡ fb & f1a ⋓ f1b ≡ f1.
643 @isfin_ind
644 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #H1f #fa #fb #H2f
645   elim (sor_inv_isid3 … H2f) -H2f //
646   lapply (coafter_fwd_isid2 … H1f ??) -H1f //
647   /3 width=5 by ex3_2_intro, coafter_isid_dx, sor_isid/
648 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
649   elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #H2f
650   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ] #g2 [ #g1 ] #H1f #Hgf2
651   [ lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) | lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) ] -Hf2 #Hg2
652   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
653   /3 width=11 by sor_pp, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_next/
654 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
655   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #H1f #Hgf2
656   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
657   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #H2f
658   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
659   /3 width=11 by sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_push/
660 ]
661 qed-.
662
663 (* Properties with istot ****************************************************)
664
665 lemma coafter_sor: ∀f. 𝐅⦃f⦄ → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → ∀f1a,f1b. f1a ⋓ f1b ≡ f1 →
666                    ∃∃fa,fb. f2 ~⊚ f1a ≡ fa & f2 ~⊚ f1b ≡ fb & fa ⋓ fb ≡ f.
667 @isfin_ind
668 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #Hf #f1a #f1b #Hf1
669   lapply (coafter_fwd_isid2 … Hf ??) -Hf // #H2f1
670   elim (sor_inv_isid3 … Hf1) -Hf1 //
671   /3 width=5 by coafter_isid_dx, sor_refl, ex3_2_intro/
672 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
673   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ]
674   [ #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
675     elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #Hg1
676     lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
677     elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
678     /3 width=11 by coafter_refl, sor_pp, ex3_2_intro/
679   | #g2 #Hf #Hgf2
680     lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
681     elim (IH … Hf … H2) // -f1 -IH -Hg2
682     /3 width=11 by coafter_next, sor_pp, ex3_2_intro/
683   ]
684 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
685   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
686   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
687   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #Hg1
688   elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
689   /3 width=11 by coafter_refl, coafter_push, sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro/
690 ]
691 qed-.
692
693 (* Properties with after ****************************************************)
694 (*
695 corec theorem coafter_trans1: ∀f0,f3,f4. f0 ~⊚ f3 ≡ f4 →
696                             ∀f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f0 →
697                             ∀f. f2 ~⊚ f3 ≡ f → f1 ~⊚ f ≡ f4.
698 #f0 #f3 #f4 * -f0 -f3 -f4 #f0 #f3 #f4 #g0 [1,2: #g3 ] #g4
699 [ #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
700   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
701   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
702   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
703   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
704 | #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
705   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
706   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
707   cases (coafter_inv_pnx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
708   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
709 | #Hf4 #H0 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
710   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
711   [ #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
712     cases (coafter_inv_nxx … Hg … H2) -g2
713     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
714   | #f1 #Hf0 #H1 /3 width=6 by coafter_next/
715   ]
716 ]
717 qed-.
718
719 corec theorem coafter_trans2: ∀f1,f0,f4. f1 ~⊚ f0 ≡ f4 →
720                             ∀f2, f3. f2 ~⊚ f3 ≡ f0 →
721                             ∀f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → f ~⊚ f3 ≡ f4.
722 #f1 #f0 #f4 * -f1 -f0 -f4 #f1 #f0 #f4 #g1 [1,2: #g0 ] #g4
723 [ #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
724   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
725   #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
726   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
727   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
728 | #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
729   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
730   [ #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
731     cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
732     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
733   | #f2 #Hf0 #H2
734     cases (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
735     #f #Hf #H /3 width=6 by coafter_next/
736   ]
737 | #Hf4 #H1 #H4 #f2 #f3 #Hf0 #g #Hg
738   cases (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1
739   #f #Hg #H /3 width=6 by coafter_next/
740 ]
741 qed-.
742 *)