]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/relocation/rtmap_coafter.ma
frees_drops completed!
[helm.git] / matita / matita / contribs / lambdadelta / ground_2 / relocation / rtmap_coafter.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "ground_2/notation/relations/rcoafter_3.ma".
16 include "ground_2/relocation/rtmap_sor.ma".
17 include "ground_2/relocation/rtmap_istot.ma".
18
19 (* RELOCATION MAP ***********************************************************)
20
21 coinductive coafter: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
22 | coafter_refl: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
23                 ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → coafter g1 g2 g
24 | coafter_push: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. coafter f1 f2 f →
25                 ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → coafter g1 g2 g
26 | coafter_next: ∀f1,f2,f,g1,g. coafter f1 f2 f →
27                 ⫯f1 = g1 → ↑f = g → coafter g1 f2 g
28 .
29
30 interpretation "relational co-composition (rtmap)"
31    'RCoAfter f1 f2 f = (coafter f1 f2 f).
32
33 definition H_coafter_inj: predicate rtmap ≝
34                           λf1. 𝐓⦃f1⦄ →
35                           ∀f,f21,f22. f1 ~⊚ f21 ≡ f → f1 ~⊚ f22 ≡ f → f21 ≗ f22.
36
37 definition H_coafter_fwd_isid2: predicate rtmap ≝
38                                 λf1. ∀f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐓⦃f1⦄ → 𝐈⦃f⦄ → 𝐈⦃f2⦄.
39
40 definition H_coafter_isfin2_fwd: predicate rtmap ≝
41                                  λf1. ∀f2. 𝐅⦃f2⦄ → 𝐓⦃f1⦄ → ∀f. f1 ~⊚ f2 ≡ f →  𝐅⦃f⦄.
42
43 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
44
45 lemma coafter_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
46                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f = g.
47 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
48 [ #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
49   >(injective_push … Hx1) >(injective_push … Hx2) -x2 -x1
50   /2 width=3 by ex2_intro/
51 | #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
52   elim (discr_push_next … Hx2)
53 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
54   elim (discr_push_next … Hx1)
55 ]
56 qed-.
57
58 lemma coafter_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
59                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f = g.
60 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g #f1 #f2 #f #g1
61 [ #g2 #g #_ #_ #H2 #_ #x1 #x2 #_ #Hx2 destruct
62   elim (discr_next_push … Hx2)
63 | #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H3 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
64   >(injective_push … Hx1) >(injective_next … Hx2) -x2 -x1
65   /2 width=3 by ex2_intro/
66 | #g #_ #H1 #_ #x1 #x2 #Hx1 #_ destruct
67   elim (discr_push_next … Hx1)
68 ]
69 qed-.
70
71 lemma coafter_inv_nxx: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g → ∀f1. ⫯f1 = g1 →
72                        ∃∃f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f = g.
73 #g1 #f2 #g * -g1 -f2 -g #f1 #f2 #f #g1
74 [ #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
75   elim (discr_next_push … Hx1)
76 | #g2 #g #_ #H1 #_ #_ #x1 #Hx1 destruct
77   elim (discr_next_push … Hx1)
78 | #g #Hf #H1 #H #x1 #Hx1 destruct
79   >(injective_next … Hx1) -x1
80   /2 width=3 by ex2_intro/
81 ]
82 qed-.
83
84 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
85
86 lemma coafter_inv_ppp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
87                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
88 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
89 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
90 <(injective_push … Hx) -f //
91 qed-.
92
93 lemma coafter_inv_ppn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
94                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → ⊥.
95 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
96 elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
97 elim (discr_push_next … Hx)
98 qed-.
99
100 lemma coafter_inv_pnn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
101                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
102 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
103 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
104 <(injective_next … Hx) -f //
105 qed-.
106
107 lemma coafter_inv_pnp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
108                        ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → ⊥.
109 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H
110 elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hf #Hx destruct
111 elim (discr_next_push … Hx)
112 qed-.
113
114 lemma coafter_inv_nxp: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g →
115                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ↑f = g → f1 ~⊚ f2 ≡ f.
116 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
117 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
118 <(injective_push … Hx) -f //
119 qed-.
120
121 lemma coafter_inv_nxn: ∀g1,f2,g. g1 ~⊚ f2 ≡ g →
122                        ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f = g → ⊥.
123 #g1 #f2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H
124 elim (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1 #x #Hf #Hx destruct
125 elim (discr_push_next … Hx)
126 qed-.
127
128 lemma coafter_inv_pxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
129                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ↑f = g →
130                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f2 = g2.
131 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
132 [ lapply (coafter_inv_ppp … Hg … H1 H2 H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
133 | elim (coafter_inv_pnp … Hg … H1 H2 H)
134 ]
135 qed-.
136
137 lemma coafter_inv_pxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
138                        ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ⫯f = g →
139                        ∃∃f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f2 = g2.
140 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #f #H1 #H elim (pn_split g2) * #f2 #H2
141 [ elim (coafter_inv_ppn … Hg … H1 H2 H)
142 | lapply (coafter_inv_pnn … Hg … H1 … H) -g1 -g /2 width=3 by ex2_intro/
143 ]
144 qed-.
145
146 lemma coafter_inv_xxn: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f. ⫯f = g →
147                        ∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f1 = g1 & ⫯f2 = g2.
148 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
149 [ elim (coafter_inv_pxn … Hg … H1 H) -g /2 width=5 by ex3_2_intro/
150 | elim (coafter_inv_nxn … Hg … H1 H)
151 ]
152 qed-.
153
154 lemma coafter_inv_xxp: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f. ↑f = g →
155                        (∃∃f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f1 = g1 & ↑f2 = g2) ∨
156                        ∃∃f1. f1 ~⊚ g2 ≡ f & ⫯f1 = g1.
157 #g1 #g2 #g #Hg #f #H elim (pn_split g1) * #f1 #H1
158 [ elim (coafter_inv_pxp … Hg … H1 H) -g
159   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
160 | /4 width=5 by coafter_inv_nxp, or_intror, ex2_intro/
161 ]
162 qed-.
163
164 lemma coafter_inv_pxx: ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g → ∀f1. ↑f1 = g1 →
165                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ↑f2 = g2 & ↑f = g) ∨
166                        (∃∃f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f & ⫯f2 = g2 & ⫯f = g).
167 #g1 #g2 #g #Hg #f1 #H1 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
168 [ elim (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1
169   /3 width=5 by or_introl, ex3_2_intro/
170 | elim (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1
171   /3 width=5 by or_intror, ex3_2_intro/
172 ]
173 qed-.
174
175 (* Basic properties *********************************************************)
176
177 corec lemma coafter_eq_repl_back2: ∀f1,f. eq_repl_back (λf2. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
178 #f1 #f #f2 * -f2 -f1 -f
179 #f21 #f1 #f #g21 [1,2: #g1 ] #g #Hf #H21 [1,2: #H1 ] #H #g22 #H0
180 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_refl/
181 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H21) -g21 /3 width=7 by coafter_push/
182 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H21) -g21 /3 width=5 by coafter_next/
183 ]
184 qed-.
185
186 lemma coafter_eq_repl_fwd2: ∀f1,f. eq_repl_fwd (λf2. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
187 #f1 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back2/
188 qed-.
189
190 corec lemma coafter_eq_repl_back1: ∀f2,f. eq_repl_back (λf1. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
191 #f2 #f #f1 * -f2 -f1 -f
192 #f2 #f11 #f #g2 [1,2: #g11 ] #g #Hf #H2 [1,2: #H11 ] #H #g2 #H0
193 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_refl/
194 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H11) -g11 /3 width=7 by coafter_push/
195 | @(coafter_next … H2 H) /2 width=5 by/
196 ]
197 qed-.
198
199 lemma coafter_eq_repl_fwd1: ∀f2,f. eq_repl_fwd (λf1. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
200 #f2 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back1/
201 qed-.
202
203 corec lemma coafter_eq_repl_back0: ∀f1,f2. eq_repl_back (λf. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
204 #f2 #f1 #f * -f2 -f1 -f
205 #f2 #f1 #f01 #g2 [1,2: #g1 ] #g01 #Hf01 #H2 [1,2: #H1 ] #H01 #g02 #H0
206 [ cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_refl/
207 | cases (eq_inv_nx …  H0 …  H01) -g01 /3 width=7 by coafter_push/
208 | cases (eq_inv_px …  H0 …  H01) -g01 /3 width=5 by coafter_next/
209 ]
210 qed-.
211
212 lemma coafter_eq_repl_fwd0: ∀f2,f1. eq_repl_fwd (λf. f2 ~⊚ f1 ≡ f).
213 #f2 #f1 @eq_repl_sym /2 width=3 by coafter_eq_repl_back0/
214 qed-.
215
216 (* Main properties **********************************************************)
217 (*
218 corec theorem coafter_trans1: ∀f0,f3,f4. f0 ~⊚ f3 ≡ f4 →
219                             ∀f1,f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f0 →
220                             ∀f. f2 ~⊚ f3 ≡ f → f1 ~⊚ f ≡ f4.
221 #f0 #f3 #f4 * -f0 -f3 -f4 #f0 #f3 #f4 #g0 [1,2: #g3 ] #g4
222 [ #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
223   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
224   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
225   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
226   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
227 | #Hf4 #H0 #H3 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
228   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
229   #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
230   cases (coafter_inv_pnx … Hg … H2 H3) -g2 -g3
231   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
232 | #Hf4 #H0 #H4 #g1 #g2 #Hg0 #g #Hg
233   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
234   [ #f1 #f2 #Hf0 #H1 #H2
235     cases (coafter_inv_nxx … Hg … H2) -g2
236     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
237   | #f1 #Hf0 #H1 /3 width=6 by coafter_next/
238   ]
239 ]
240 qed-.
241
242 corec theorem coafter_trans2: ∀f1,f0,f4. f1 ~⊚ f0 ≡ f4 →
243                             ∀f2, f3. f2 ~⊚ f3 ≡ f0 →
244                             ∀f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → f ~⊚ f3 ≡ f4.
245 #f1 #f0 #f4 * -f1 -f0 -f4 #f1 #f0 #f4 #g1 [1,2: #g0 ] #g4
246 [ #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
247   cases (coafter_inv_xxp … Hg0 … H0) -g0
248   #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
249   cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
250   #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_refl/
251 | #Hf4 #H1 #H0 #H4 #g2 #g3 #Hg0 #g #Hg
252   cases (coafter_inv_xxn … Hg0 … H0) -g0 *
253   [ #f2 #f3 #Hf0 #H2 #H3
254     cases (coafter_inv_ppx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
255     #f #Hf #H /3 width=7 by coafter_push/
256   | #f2 #Hf0 #H2
257     cases (coafter_inv_pnx … Hg … H1 H2) -g1 -g2
258     #f #Hf #H /3 width=6 by coafter_next/
259   ]
260 | #Hf4 #H1 #H4 #f2 #f3 #Hf0 #g #Hg
261   cases (coafter_inv_nxx … Hg … H1) -g1
262   #f #Hg #H /3 width=6 by coafter_next/
263 ]
264 qed-.
265 *)
266 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
267
268 corec theorem coafter_mono: ∀f1,f2,x,y. f1 ~⊚ f2 ≡ x → f1 ~⊚ f2 ≡ y → x ≗ y.
269 #f1 #f2 #x #y * -f1 -f2 -x
270 #f1 #f2 #x #g1 [1,2: #g2 ] #g #Hx #H1 [1,2: #H2 ] #H0x #Hy
271 [ cases (coafter_inv_ppx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_push/
272 | cases (coafter_inv_pnx … Hy … H1 H2) -g1 -g2 /3 width=8 by eq_next/
273 | cases (coafter_inv_nxx … Hy … H1) -g1 /3 width=8 by eq_push/
274 ]
275 qed-.
276
277 lemma coafter_mono_eq: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → ∀g1,g2,g. g1 ~⊚ g2 ≡ g →
278                        f1 ≗ g1 → f2 ≗ g2 → f ≗ g.
279 /4 width=4 by coafter_mono, coafter_eq_repl_back1, coafter_eq_repl_back2/ qed-.
280
281 (* Inversion lemmas with pushs **********************************************)
282
283 lemma coafter_fwd_pushs: ∀n,g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
284                          ∃f. ↑*[n]f = g.
285 #n elim n -n /2 width=2 by ex_intro/
286 #n #IH #g2 #g1 #g #Hg #Hg2
287 cases (at_inv_pxn … Hg2) -Hg2 [ |*: // ] #f2 #Hf2 #H2
288 cases (coafter_inv_nxx … Hg … H2) -Hg -H2 #f #Hf #H0 destruct
289 elim (IH … Hf Hf2) -g1 -g2 -f2 /2 width=2 by ex_intro/
290 qed-.
291
292 (* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
293
294 lemma coafter_inv_tl1: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ ⫱g1 ≡ g →
295                        ∃∃f. ↑g2 ~⊚ g1 ≡ f & ⫱f = g.
296 #g2 #g1 #g elim (pn_split g1) * #f1 #H1 #H destruct
297 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
298 | @(ex2_intro … (⫯g)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
299 ]
300 qed-.
301
302 lemma coafter_inv_tl0: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ ⫱g →
303                        ∃∃f1. ↑g2 ~⊚ f1 ≡ g & ⫱f1 = g1.
304 #g2 #g1 #g elim (pn_split g) * #f #H0 #H destruct
305 [ /3 width=7 by coafter_refl, ex2_intro/
306 | @(ex2_intro … (⫯g1)) /2 width=7 by coafter_push/ (**) (* full auto fails *)
307 ]
308 qed-.
309
310 (* Properties on tls ********************************************************)
311
312 lemma coafter_tls: ∀n,f1,f2,f. @⦃0, f1⦄ ≡ n →
313                    f1 ~⊚ f2 ≡ f → ⫱*[n]f1 ~⊚ f2 ≡ ⫱*[n]f.
314 #n elim n -n //
315 #n #IH #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf
316 cases (at_inv_pxn … Hf1) -Hf1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
317 cases (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0 destruct
318 <tls_xn <tls_xn /2 width=1 by/
319 qed.
320
321 lemma coafter_tls_succ: ∀g2,g1,g. g2 ~⊚ g1 ≡ g →
322                         ∀n. @⦃0, g2⦄ ≡ n → ⫱*[⫯n]g2 ~⊚ ⫱g1 ≡ ⫱*[⫯n]g.
323 #g2 #g1 #g #Hg #n #Hg2
324 lapply (coafter_tls … Hg2 … Hg) -Hg #Hg
325 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
326 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
327 elim (coafter_inv_pxx … Hg … H2) -Hg * #f1 #f #Hf #H1 #H0 destruct
328 <tls_S <tls_S <H2 <H0 -g2 -g -n //
329 qed.
330
331 lemma coafter_fwd_xpx_pushs: ∀g2,f1,g,n. g2 ~⊚ ↑f1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
332                              ∃f. ↑*[⫯n]f = g.
333 #g2 #g1 #g #n #Hg #Hg2
334 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
335 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs #Hf
336 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
337 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
338 elim (coafter_inv_pxx … Hf … H2) -Hf -H2 * #f1 #g #_ #H1 #H0 destruct
339 [ /2 width=2 by ex_intro/
340 | elim (discr_next_push … H1)
341
342 qed-.
343
344 lemma coafter_fwd_xnx_pushs: ∀g2,f1,g,n. g2 ~⊚ ⫯f1 ≡ g → @⦃0, g2⦄ ≡ n →
345                              ∃f. ↑*[n] ⫯f = g.
346 #g2 #g1 #g #n #Hg #Hg2
347 elim (coafter_fwd_pushs … Hg Hg2) #f #H0 destruct
348 lapply (coafter_tls … Hg2 Hg) -Hg <tls_pushs #Hf
349 lapply (at_pxx_tls … Hg2) -Hg2 #H
350 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #f2 #H2
351 elim (coafter_inv_pxx … Hf … H2) -Hf -H2 * #f1 #g #_ #H1 #H0 destruct
352 [ elim (discr_push_next … H1)
353 | /2 width=2 by ex_intro/
354
355 qed-.
356
357 (* Properties on isid *******************************************************)
358
359 corec lemma coafter_isid_sn: ∀f1. 𝐈⦃f1⦄ → ∀f2. f1 ~⊚ f2 ≡ f2.
360 #f1 * -f1 #f1 #g1 #Hf1 #H1 #f2 cases (pn_split f2) * #g2 #H2
361 /3 width=7 by coafter_push, coafter_refl/
362 qed.
363
364 corec lemma coafter_isid_dx: ∀f2,f. 𝐈⦃f2⦄ → 𝐈⦃f⦄ → ∀f1. f1 ~⊚ f2 ≡ f.
365 #f2 #f * -f2 #f2 #g2 #Hf2 #H2 * -f #f #g #Hf #H #f1 cases (pn_split f1) * #g1 #H1
366 [ /3 width=7 by coafter_refl/
367 | @(coafter_next … H1 … H) /3 width=3 by isid_push/
368 ]
369 qed.
370
371 (* Inversion lemmas on isid *************************************************)
372
373 lemma coafter_isid_inv_sn: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐈⦃f1⦄ → f2 ≗ f.
374 /3 width=6 by coafter_isid_sn, coafter_mono/ qed-.
375
376 lemma coafter_isid_inv_dx: ∀f1,f2,f. f1 ~⊚ f2 ≡ f → 𝐈⦃f2⦄ → 𝐈⦃f⦄.
377 /4 width=4 by eq_id_isid, coafter_isid_dx, coafter_mono/ qed-.
378 (*
379 (* Properties on isuni ******************************************************)
380
381 lemma coafter_isid_isuni: ∀f1,f2. 𝐈⦃f2⦄ → 𝐔⦃f1⦄ → f1 ~⊚ ⫯f2 ≡ ⫯f1.
382 #f1 #f2 #Hf2 #H elim H -H
383 /5 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back2, coafter_next, coafter_push, eq_push_inv_isid/
384 qed.
385
386 lemma coafter_uni_next2: ∀f2. 𝐔⦃f2⦄ → ∀f1,f. ⫯f2 ~⊚ f1 ≡ f → f2 ~⊚ ⫯f1 ≡ f.
387 #f2 #H elim H -f2
388 [ #f2 #Hf2 #f1 #f #Hf
389   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
390   /4 width=7 by coafter_isid_inv_sn, coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, eq_next/
391 | #f2 #_ #g2 #H2 #IH #f1 #f #Hf
392   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H0 destruct
393   /3 width=5 by coafter_next/
394 ]
395 qed.
396
397 (* Properties on uni ********************************************************)
398
399 lemma coafter_uni: ∀n1,n2. 𝐔❴n1❵ ~⊚ 𝐔❴n2❵ ≡ 𝐔❴n1+n2❵.
400 @nat_elim2
401 /4 width=5 by coafter_uni_next2, coafter_isid_sn, coafter_isid_dx, coafter_next/
402 qed.
403
404 (* Forward lemmas on at *****************************************************)
405
406 lemma coafter_at_fwd: ∀i,i1,f. @⦃i1, f⦄ ≡ i → ∀f2,f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f →
407                     ∃∃i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 & @⦃i2, f2⦄ ≡ i.
408 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i1 #f #Hf #f2 #f1 #Hf21
409 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3:* |*: // ]
410   [1: #g #j1 #Hg #H0 #H |2,4: #g #Hg #H ]
411 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf //
412   #g #H1 #H
413 ]
414 [2: elim (coafter_inv_xxn … Hf21 … H) -f *
415     [ #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1 | #g2 #Hg21 #H2 ]
416 |*: elim (coafter_inv_xxp … Hf21 … H) -f
417     #g2 #g1 #Hg21 #H2 #H1
418 ]
419 [4: -Hg21 |*: elim (IH … Hg … Hg21) -g -IH ]
420 /3 width=9 by at_refl, at_push, at_next, ex2_intro/
421 qed-.
422
423 lemma coafter_fwd_at: ∀i,i2,i1,f1,f2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 → @⦃i2, f2⦄ ≡ i →
424                     ∀f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i1, f⦄ ≡ i.
425 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f1 #f2 #Hf1 #Hf2 #f #Hf
426 [ elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
427   #g2 [ #j2 ] #Hg2 [ #H22 ] #H20
428   [ elim (at_inv_xxn … Hf1 … H22) -i2 *
429     #g1 [ #j1 ] #Hg1 [ #H11 ] #H10
430     [ elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=7 by at_push/
431     | elim (coafter_inv_pnx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /3 width=6 by at_next/
432     ]
433   | elim (coafter_inv_nxx … Hf … H20) -f2 /3 width=7 by at_next/
434   ]
435 | elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H22 #H20
436   elim (at_inv_xxp … Hf1 … H22) -i2 #g1 #H11 #H10
437   elim (coafter_inv_ppx … Hf … H20 H10) -f1 -f2 /2 width=2 by at_refl/
438 ]
439 qed-.
440
441 lemma coafter_fwd_at2: ∀f,i1,i. @⦃i1, f⦄ ≡ i → ∀f1,i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 →
442                      ∀f2. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i2, f2⦄ ≡ i.
443 #f #i1 #i #Hf #f1 #i2 #Hf1 #f2 #H elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
444 #j1 #H #Hf2 <(at_mono … Hf1 … H) -i1 -i2 //
445 qed-.
446
447 lemma coafter_fwd_at1: ∀i,i2,i1,f,f2. @⦃i1, f⦄ ≡ i → @⦃i2, f2⦄ ≡ i →
448                      ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → @⦃i1, f1⦄ ≡ i2.
449 #i elim i -i [2: #i #IH ] #i2 #i1 #f #f2 #Hf #Hf2 #f1 #Hf1
450 [ elim (at_inv_xxn … Hf) -Hf [1,3: * |*: // ]
451   #g [ #j1 ] #Hg [ #H01 ] #H00
452   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3,5,7: * |*: // ]
453   #g2 [1,3: #j2 ] #Hg2 [1,2: #H22 ] #H20
454   [ elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=7 by at_push/
455   | elim (coafter_inv_pxn … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=5 by at_next/
456   | elim (coafter_inv_nxp … Hf1 … H20 H00)
457   | /4 width=9 by coafter_inv_nxn, at_next/
458   ]
459 | elim (at_inv_xxp … Hf) -Hf // #g #H01 #H00
460   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H21 #H20
461   elim (coafter_inv_pxp … Hf1 … H20 H00) -f2 -f /3 width=2 by at_refl/
462 ]
463 qed-.
464
465 (* Properties with at *******************************************************)
466
467 lemma coafter_uni_dx: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
468                     ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❴i1❵ ≡ f → 𝐔❴i2❵ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≡ f.
469 #i2 elim i2 -i2
470 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
471   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
472   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hf ?) -Hf
473   /3 width=3 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0/
474 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
475   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
476   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
477     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
478     /3 width=5 by coafter_next/
479   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
480     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
481     /3 width=5 by coafter_next/
482   ]
483 ]
484 qed.
485
486 lemma coafter_uni_sn: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
487                     ∀f. 𝐔❴i2❵ ~⊚ ⫱*[i2] f2 ≡ f → f2 ~⊚ 𝐔❴i1❵ ≡ f.
488 #i2 elim i2 -i2
489 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
490   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
491   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hf ?) -Hf
492   /3 width=3 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0/
493 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
494   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
495   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
496   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct /3 width=7 by coafter_push/
497   | #g2 #Hg2 #H2 destruct /3 width=5 by coafter_next/
498   ]
499 ]
500 qed-.
501
502 lemma coafter_uni_succ_dx: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
503                          ∀f. f2 ~⊚ 𝐔❴⫯i1❵ ≡ f → 𝐔❴⫯i2❵ ~⊚ ⫱*[⫯i2] f2 ≡ f.
504 #i2 elim i2 -i2
505 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
506   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
507   elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H
508   lapply (coafter_isid_inv_dx … Hg ?) -Hg
509   /4 width=5 by coafter_isid_sn, coafter_eq_repl_back0, coafter_next/
510 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
511   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
512   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct
513     elim (coafter_inv_pnx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
514     /3 width=5 by coafter_next/
515   | #g2 #Hg2 #H2 destruct
516     elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
517     /3 width=5 by coafter_next/
518   ]
519 ]
520 qed.
521
522 lemma coafter_uni_succ_sn: ∀i2,i1,f2. @⦃i1, f2⦄ ≡ i2 →
523                          ∀f. 𝐔❴⫯i2❵ ~⊚ ⫱*[⫯i2] f2 ≡ f → f2 ~⊚ 𝐔❴⫯i1❵ ≡ f.
524 #i2 elim i2 -i2
525 [ #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
526   elim (at_inv_xxp … Hf2) -Hf2 // #g2 #H1 #H2 destruct
527   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [ |*: // ] #g #Hg #H destruct
528   lapply (coafter_isid_inv_sn … Hg ?) -Hg
529   /4 width=7 by coafter_isid_dx, coafter_eq_repl_back0, coafter_push/
530 | #i2 #IH #i1 #f2 #Hf2 #f #Hf
531   elim (coafter_inv_nxx … Hf) -Hf [2,3: // ] #g #Hg #H destruct
532   elim (at_inv_xxn … Hf2) -Hf2 [1,3: * |*: // ]
533   [ #g2 #j1 #Hg2 #H1 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=7 by coafter_push/
534   | #g2 #Hg2 #H2 destruct <tls_xn in Hg; /3 width=5 by coafter_next/
535   ]
536 ]
537 qed-.
538
539 lemma coafter_uni_one_dx: ∀f2,f. ↑f2 ~⊚ 𝐔❴⫯O❵ ≡ f → 𝐔❴⫯O❵ ~⊚ f2 ≡ f.
540 #f2 #f #H @(coafter_uni_succ_dx … (↑f2)) /2 width=3 by at_refl/
541 qed.
542
543 lemma coafter_uni_one_sn: ∀f1,f. 𝐔❴⫯O❵ ~⊚ f1 ≡ f → ↑f1 ~⊚ 𝐔❴⫯O❵ ≡ f.
544 /3 width=3 by coafter_uni_succ_sn, at_refl/ qed-.
545 *)
546 (* Forward lemmas with istot ************************************************)
547 (*
548 lemma coafter_istot_fwd: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f2⦄ → 𝐓⦃f1⦄ → 𝐓⦃f⦄.
549 #f2 #f1 #f #Hf #Hf2 #Hf1 #i1 elim (Hf1 i1) -Hf1
550 #i2 #Hf1 elim (Hf2 i2) -Hf2
551 /3 width=7 by coafter_fwd_at, ex_intro/
552 qed-.
553
554 lemma coafter_fwd_istot_dx: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f1⦄.
555 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
556 #i2 #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f /2 width=2 by ex_intro/
557 qed-.
558
559 lemma coafter_fwd_istot_sn: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f2⦄.
560 #f2 #f1 #f #H #Hf #i1 elim (Hf i1) -Hf
561 #i #Hf elim (coafter_at_fwd … Hf … H) -f
562 #i2 #Hf1 #Hf2 lapply (at_increasing … Hf1) -f1
563 #Hi12 elim (at_le_ex … Hf2 … Hi12) -i2 /2 width=2 by ex_intro/
564 qed-.
565
566 lemma coafter_inv_istot: ∀f2,f1,f. f2 ~⊚ f1 ≡ f → 𝐓⦃f⦄ → 𝐓⦃f2⦄ ∧ 𝐓⦃f1⦄.
567 /3 width=4 by coafter_fwd_istot_sn, coafter_fwd_istot_dx, conj/ qed-.
568
569 lemma coafter_at1_fwd: ∀f1,i1,i2. @⦃i1, f1⦄ ≡ i2 → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f. f2 ~⊚ f1 ≡ f →
570                      ∃∃i. @⦃i2, f2⦄ ≡ i & @⦃i1, f⦄ ≡ i.
571 #f1 #i1 #i2 #Hf1 #f2 #Hf2 #f #Hf elim (Hf2 i2) -Hf2
572 /3 width=8 by coafter_fwd_at, ex2_intro/
573 qed-.
574
575 lemma coafter_fwd_isid_sn: ∀f2,f1,f. 𝐓⦃f⦄ → f2 ~⊚ f1 ≡ f → f1 ≗ f → 𝐈⦃f2⦄.
576 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
577 #Hf2 #Hf1 #H @isid_at_total // -Hf2
578 #i2 #i #Hf2 elim (Hf1 i2) -Hf1
579 #i0 #Hf1 lapply (at_increasing … Hf1)
580 #Hi20 lapply (coafter_fwd_at2 … i0 … Hf1 … Hf) -Hf
581 /3 width=7 by at_eq_repl_back, at_mono, at_id_le/
582 qed-.
583
584 lemma coafter_fwd_isid_dx: ∀f2,f1,f.  𝐓⦃f⦄ → f2 ~⊚ f1 ≡ f → f2 ≗ f → 𝐈⦃f1⦄.
585 #f2 #f1 #f #H #Hf elim (coafter_inv_istot … Hf H) -H
586 #Hf2 #Hf1 #H2 @isid_at_total // -Hf1
587 #i1 #i2 #Hi12 elim (coafter_at1_fwd … Hi12 … Hf) -f1
588 /3 width=8 by at_inj, at_eq_repl_back/
589 qed-.
590 *)
591 corec fact coafter_inj_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_inj f1.
592 #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
593 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
594 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
595 cases (H2g1 0) #n #Hn
596 cases (coafter_inv_pxx … H1f … H1) -H1f * #g21 #g #H1g #H21 #H
597 [ cases (coafter_inv_pxp … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
598   @(eq_push … H21 H22) -f21 -f22
599 | cases (coafter_inv_pxn … H2f … H1 H) -f1 -f #g22 #H2g #H22
600   @(eq_next … H21 H22) -f21 -f22
601 ]
602 @(coafter_inj_O_aux (⫱*[n]g1) … (⫱*[n]g)) -coafter_inj_O_aux
603 /2 width=1 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls/
604 qed-.
605
606 fact coafter_inj_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_inj f1) →
607                       ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_inj f1.
608 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
609 #i2 #IH #f1 #H1f1 #H2f1 #f #f21 #f22 #H1f #H2f
610 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1g1 #H1
611 elim (coafter_inv_nxx … H1f … H1) -H1f #g #H1g #H
612 lapply (coafter_inv_nxp … H2f … H1 H) -f #H2g
613 /3 width=6 by istot_inv_next/
614 qed-.
615
616 theorem coafter_inj: ∀f1. H_coafter_inj f1.
617 #f1 #H cases (H 0) /3 width=7 by coafter_inj_aux, coafter_inj_O_aux/
618 qed-.
619
620 corec fact coafter_fwd_isid2_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 →
621                                     H_coafter_fwd_isid2 f1.
622 #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
623 cases (at_inv_pxp … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #H1
624 lapply (istot_inv_push … H2f1 … H1) -H2f1 #H2g1
625 cases (H2g1 0) #n #Hn
626 cases (coafter_inv_pxx … H … H1) -H * #g2 #g #H #H2 #H0
627 [ lapply (isid_inv_push … Hf … H0) -Hf #Hg
628   @(isid_push … H2)
629   /3 width=7 by coafter_tls, istot_tls, at_pxx_tls, isid_tls/
630 | cases (isid_inv_next … Hf … H0)
631 ]
632 qed-.
633
634 fact coafter_fwd_isid2_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_fwd_isid2 f1) →
635                             ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_fwd_isid2 f1.
636 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
637 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #f #H #H2f1 #Hf
638 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
639 elim (coafter_inv_nxx … H … H1) -H #g #Hg #H0
640 @(IH … Hg1 … Hg) /2 width=3 by istot_inv_next, isid_inv_push/ (**) (* full auto fails *)
641 qed-.
642
643 lemma coafter_fwd_isid2: ∀f1. H_coafter_fwd_isid2 f1.
644 #f1 #f2 #f #Hf #H cases (H 0)
645 /3 width=7 by coafter_fwd_isid2_aux, coafter_fwd_isid2_O_aux/
646 qed-.
647
648 fact coafter_isfin2_fwd_O_aux: ∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 →
649                                H_coafter_isfin2_fwd f1.
650 #f1 #Hf1 #f2 #H
651 generalize in match Hf1; generalize in match f1; -f1
652 @(isfin_ind … H) -f2
653 [ /3 width=4 by coafter_isid_inv_dx, isfin_isid/ ]
654 #f2 #_ #IH #f1 #H #Hf1 #f #Hf
655 elim (at_inv_pxp … H) -H [ |*: // ] #g1 #H1
656 lapply (istot_inv_push … Hf1 … H1) -Hf1 #Hg1
657 elim (Hg1 0) #n #Hn
658 [ elim (coafter_inv_ppx … Hf) | elim (coafter_inv_pnx … Hf)
659 ] -Hf [1,6: |*: // ] #g #Hg #H0 destruct
660 /5 width=6 by isfin_next, isfin_push, isfin_inv_tls, istot_tls, at_pxx_tls, coafter_tls/
661 qed-.
662
663 fact coafter_isfin2_fwd_aux: (∀f1. @⦃0, f1⦄ ≡ 0 → H_coafter_isfin2_fwd f1) →
664                             ∀i2,f1. @⦃0, f1⦄ ≡ i2 → H_coafter_isfin2_fwd f1.
665 #H0 #i2 elim i2 -i2 /2 width=1 by/ -H0
666 #i2 #IH #f1 #H1f1 #f2 #Hf2 #H2f1 #f #Hf
667 elim (at_inv_pxn … H1f1) -H1f1 [ |*: // ] #g1 #Hg1 #H1
668 elim (coafter_inv_nxx … Hf … H1) -Hf #g #Hg #H0
669 lapply (IH … Hg1 … Hg) -i2 -Hg
670 /2 width=4 by istot_inv_next, isfin_push/ (**) (* full auto fails *)
671 qed-.
672
673 lemma coafter_isfin2_fwd: ∀f1. H_coafter_isfin2_fwd f1.
674 #f1 #f2 #Hf2 #Hf1 cases (Hf1 0)
675 /3 width=7 by coafter_isfin2_fwd_aux, coafter_isfin2_fwd_O_aux/
676 qed-.
677
678 lemma coafter_inv_sor: ∀f. 𝐅⦃f⦄ → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → ∀fa,fb. fa ⋓ fb ≡ f →
679                        ∃∃f1a,f1b. f2 ~⊚ f1a ≡ fa & f2 ~⊚ f1b ≡ fb & f1a ⋓ f1b ≡ f1.
680 @isfin_ind
681 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #H1f #fa #fb #H2f
682   elim (sor_inv_isid3 … H2f) -H2f //
683   lapply (coafter_fwd_isid2 … H1f ??) -H1f //
684   /3 width=5 by ex3_2_intro, coafter_isid_dx, sor_isid/
685 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
686   elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #H2f
687   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ] #g2 [ #g1 ] #H1f #Hgf2
688   [ lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) | lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) ] -Hf2 #Hg2
689   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
690   /3 width=11 by sor_pp, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_next/
691 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #fa #fb #H2
692   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #H1f #Hgf2
693   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
694   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #H2f
695   elim (IH … Hg2 … H1f … H2f) -f -Hg2
696   /3 width=11 by sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro, coafter_refl, coafter_push/
697 ]
698 qed-.
699
700 (* Properties with istot ****************************************************)
701
702 lemma coafter_sor: ∀f. 𝐅⦃f⦄ → ∀f2. 𝐓⦃f2⦄ → ∀f1. f2 ~⊚ f1 ≡ f → ∀f1a,f1b. f1a ⋓ f1b ≡ f1 →
703                    ∃∃fa,fb. f2 ~⊚ f1a ≡ fa & f2 ~⊚ f1b ≡ fb & fa ⋓ fb ≡ f.
704 @isfin_ind
705 [ #f #Hf #f2 #Hf2 #f1 #Hf #f1a #f1b #Hf1
706   lapply (coafter_fwd_isid2 … Hf ??) -Hf // #H2f1
707   elim (sor_inv_isid3 … Hf1) -Hf1 //
708   /3 width=5 by coafter_isid_dx, sor_refl, ex3_2_intro/
709 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
710   elim (coafter_inv_xxp … H1) -H1 [1,3: * |*: // ]
711   [ #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
712     elim (sor_inv_xxp … H2) -H2 [ |*: // ] #ga #gb #Hg1
713     lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
714     elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
715     /3 width=11 by coafter_refl, sor_pp, ex3_2_intro/
716   | #g2 #Hf #Hgf2
717     lapply (istot_inv_next … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
718     elim (IH … Hf … H2) // -f1 -IH -Hg2
719     /3 width=11 by coafter_next, sor_pp, ex3_2_intro/
720   ]
721 | #f #_ #IH #f2 #Hf2 #f1 #H1 #f1a #f1b #H2
722   elim (coafter_inv_xxn … H1) -H1 [ |*: // ] #g2 #g1 #Hf #Hgf2 #Hgf1
723   lapply (istot_inv_push … Hf2 … Hgf2) -Hf2 #Hg2
724   elim (sor_inv_xxn … H2) -H2 [1,3,4: * |*: // ] #ga #gb #Hg1
725   elim (IH … Hf … Hg1) // -f1 -g1 -IH -Hg2
726   /3 width=11 by coafter_refl, coafter_push, sor_np, sor_pn, sor_nn, ex3_2_intro/
727 ]
728 qed-.