matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/relocation/rtmap_sor.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/xoa/ex_4_2.ma".
  16 include "ground_2/notation/relations/runion_3.ma".
  17 include "ground_2/relocation/rtmap_isfin.ma".
  18 include "ground_2/relocation/rtmap_sle.ma".
  19
  20 coinductive sor: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
  21 | sor_pp: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → sor g1 g2 g
  22 | sor_np: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → sor g1 g2 g
  23 | sor_pn: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → sor g1 g2 g
  24 | sor_nn: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → sor g1 g2 g
  25 .
  26
  27 interpretation "union (rtmap)"
  28    'RUnion f1 f2 f = (sor f1 f2 f).
  29
  30 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  31
  32 lemma sor_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  33                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f = g.
  34 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  35 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  36 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  37 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  38 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  39 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  40 /2 width=3 by ex2_intro/
  41 qed-.
  42
  43 lemma sor_inv_npx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  44                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f = g.
  45 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  46 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  47 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  48 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  49 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  50 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  51 /2 width=3 by ex2_intro/
  52 qed-.
  53
  54 lemma sor_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  55                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f = g.
  56 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  57 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  58 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  59 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  60 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  61 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  62 /2 width=3 by ex2_intro/
  63 qed-.
  64
  65 lemma sor_inv_nnx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  66                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f = g.
  67 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  68 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  69 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  70 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  71 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  72 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  73 /2 width=3 by ex2_intro/
  74 qed-.
  75
  76 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  77
  78 lemma sor_inv_ppn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
  79                    ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → ⊥.
  80 #g1 #g2 #g #H #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H0
  81 elim (sor_inv_ppx … H … H1 H2) -g1 -g2 #x #_ #H destruct
  82 /2 width=3 by discr_push_next/
  83 qed-.
  84
  85 lemma sor_inv_nxp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
  86                    ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ⫯f = g → ⊥.
  87 #g1 #g2 #g #H #f1 #f #H1 #H0
  88 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
  89 [ elim (sor_inv_npx … H … H1 H2)
  90 | elim (sor_inv_nnx … H … H1 H2)
  91 ] -g1 -g2 #x #_ #H destruct
  92 /2 width=3 by discr_next_push/
  93 qed-.
  94
  95 lemma sor_inv_xnp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
  96                    ∀f2,f. ↑f2 = g2 → ⫯f = g → ⊥.
  97 #g1 #g2 #g #H #f2 #f #H2 #H0
  98 elim (pn_split g1) * #f1 #H1
  99 [ elim (sor_inv_pnx … H … H1 H2)
 100 | elim (sor_inv_nnx … H … H1 H2)
 101 ] -g1 -g2 #x #_ #H destruct
 102 /2 width=3 by discr_next_push/
 103 qed-.
 104
 105 lemma sor_inv_ppp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 106                    ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → f1 ⋓ f2 ≘ f.
 107 #g1 #g2 #g #H #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H0
 108 elim (sor_inv_ppx … H … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hx #H destruct
 109 <(injective_push … H) -f //
 110 qed-.
 111
 112 lemma sor_inv_npn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 113                    ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ↑f = g → f1 ⋓ f2 ≘ f.
 114 #g1 #g2 #g #H #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H0
 115 elim (sor_inv_npx … H … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hx #H destruct
 116 <(injective_next … H) -f //
 117 qed-.
 118
 119 lemma sor_inv_pnn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 120                    ∀f1,f2,f. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ⋓ f2 ≘ f.
 121 #g1 #g2 #g #H #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H0
 122 elim (sor_inv_pnx … H … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hx #H destruct
 123 <(injective_next … H) -f //
 124 qed-.
 125
 126 lemma sor_inv_nnn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 127                    ∀f1,f2,f. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → f1 ⋓ f2 ≘ f.
 128 #g1 #g2 #g #H #f1 #f2 #f #H1 #H2 #H0
 129 elim (sor_inv_nnx … H … H1 H2) -g1 -g2 #x #Hx #H destruct
 130 <(injective_next … H) -f //
 131 qed-.
 132
 133 lemma sor_inv_pxp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 134                    ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ⫯f = g →
 135                    ∃∃f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2.
 136 #g1 #g2 #g #H #f1 #f #H1 #H0
 137 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 138 [ /3 width=7 by sor_inv_ppp, ex2_intro/
 139 | elim (sor_inv_xnp … H … H2 H0)
 140 ]
 141 qed-.
 142
 143 lemma sor_inv_xpp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 144                    ∀f2,f. ⫯f2 = g2 → ⫯f = g →
 145                    ∃∃f1. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1.
 146 #g1 #g2 #g #H #f2 #f #H2 #H0
 147 elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 148 [ /3 width=7 by sor_inv_ppp, ex2_intro/
 149 | elim (sor_inv_nxp … H … H1 H0)
 150 ]
 151 qed-.
 152
 153 lemma sor_inv_pxn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 154                    ∀f1,f. ⫯f1 = g1 → ↑f = g →
 155                    ∃∃f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f2 = g2.
 156 #g1 #g2 #g #H #f1 #f #H1 #H0
 157 elim (pn_split g2) * #f2 #H2
 158 [ elim (sor_inv_ppn … H … H1 H2 H0)
 159 | /3 width=7 by sor_inv_pnn, ex2_intro/
 160 ]
 161 qed-.
 162
 163 lemma sor_inv_xpn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 164                    ∀f2,f. ⫯f2 = g2 → ↑f = g →
 165                    ∃∃f1. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f1 = g1.
 166 #g1 #g2 #g #H #f2 #f #H2 #H0
 167 elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 168 [ elim (sor_inv_ppn … H … H1 H2 H0)
 169 | /3 width=7 by sor_inv_npn, ex2_intro/
 170 ]
 171 qed-.
 172
 173 lemma sor_inv_xxp: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f. ⫯f = g →
 174                    ∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ⫯f2 = g2.
 175 #g1 #g2 #g #H #f #H0
 176 elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 177 [ elim (sor_inv_pxp … H … H1 H0) -g /2 width=5 by ex3_2_intro/
 178 | elim (sor_inv_nxp … H … H1 H0)
 179 ]
 180 qed-.
 181
 182 lemma sor_inv_nxn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 183                    ∀f1,f. ↑f1 = g1 → ↑f = g →
 184                    (∃∃f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f2 = g2) ∨
 185                    ∃∃f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f2 = g2.
 186 #g1 #g2 elim (pn_split g2) *
 187 /4 width=7 by sor_inv_npn, sor_inv_nnn, ex2_intro, or_intror, or_introl/
 188 qed-.
 189
 190 lemma sor_inv_xnn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 191                    ∀f2,f. ↑f2 = g2 → ↑f = g →
 192                    (∃∃f1. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1) ∨
 193                    ∃∃f1. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f1 = g1.
 194 #g1 elim (pn_split g1) *
 195 /4 width=7 by sor_inv_pnn, sor_inv_nnn, ex2_intro, or_intror, or_introl/
 196 qed-.
 197
 198 lemma sor_inv_xxn: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f. ↑f = g →
 199                    ∨∨ ∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f1 = g1 & ⫯f2 = g2
 200                     | ∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫯f1 = g1 & ↑f2 = g2
 201                     | ∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f1 = g1 & ↑f2 = g2.
 202 #g1 #g2 #g #H #f #H0
 203 elim (pn_split g1) * #f1 #H1
 204 [ elim (sor_inv_pxn … H … H1 H0) -g
 205   /3 width=5 by or3_intro1, ex3_2_intro/
 206 | elim (sor_inv_nxn … H … H1 H0) -g *
 207   /3 width=5 by or3_intro0, or3_intro2, ex3_2_intro/
 208 ]
 209 qed-.
 210
 211 (* Main inversion lemmas ****************************************************)
 212
 213 corec theorem sor_mono: ∀f1,f2,x,y. f1 ⋓ f2 ≘ x → f1 ⋓ f2 ≘ y → x ≡ y.
 214 #f1 #f2 #x #y * -f1 -f2 -x
 215 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #H
 216 [ cases (sor_inv_ppx … H … H1 H2)
 217 | cases (sor_inv_npx … H … H1 H2)
 218 | cases (sor_inv_pnx … H … H1 H2)
 219 | cases (sor_inv_nnx … H … H1 H2)
 220 ] -g1 -g2
 221 /3 width=5 by eq_push, eq_next/
 222 qed-.
 223
 224 (* Basic properties *********************************************************)
 225
 226 corec lemma sor_eq_repl_back1: ∀f2,f. eq_repl_back … (λf1. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 227 #f2 #f #f1 * -f1 -f2 -f
 228 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x #Hx
 229 try cases (eq_inv_px … Hx … H1) try cases (eq_inv_nx … Hx … H1) -g1
 230 /3 width=7 by sor_pp, sor_np, sor_pn, sor_nn/
 231 qed-.
 232
 233 lemma sor_eq_repl_fwd1: ∀f2,f. eq_repl_fwd … (λf1. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 234 #f2 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by sor_eq_repl_back1/
 235 qed-.
 236
 237 corec lemma sor_eq_repl_back2: ∀f1,f. eq_repl_back … (λf2. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 238 #f1 #f #f2 * -f1 -f2 -f
 239 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H #H2 #H0 #x #Hx
 240 try cases (eq_inv_px … Hx … H2) try cases (eq_inv_nx … Hx … H2) -g2
 241 /3 width=7 by sor_pp, sor_np, sor_pn, sor_nn/
 242 qed-.
 243
 244 lemma sor_eq_repl_fwd2: ∀f1,f. eq_repl_fwd … (λf2. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 245 #f1 #f @eq_repl_sym /2 width=3 by sor_eq_repl_back2/
 246 qed-.
 247
 248 corec lemma sor_eq_repl_back3: ∀f1,f2. eq_repl_back … (λf. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 249 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 250 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H #H2 #H0 #x #Hx
 251 try cases (eq_inv_px … Hx … H0) try cases (eq_inv_nx … Hx … H0) -g
 252 /3 width=7 by sor_pp, sor_np, sor_pn, sor_nn/
 253 qed-.
 254
 255 lemma sor_eq_repl_fwd3: ∀f1,f2. eq_repl_fwd … (λf. f1 ⋓ f2 ≘ f).
 256 #f1 #f2 @eq_repl_sym /2 width=3 by sor_eq_repl_back3/
 257 qed-.
 258
 259 corec lemma sor_idem: ∀f. f ⋓ f ≘ f.
 260 #f cases (pn_split f) * #g #H
 261 [ @(sor_pp … H H H) | @(sor_nn … H H H) ] -H //
 262 qed.
 263
 264 corec lemma sor_comm: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → f2 ⋓ f1 ≘ f.
 265 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 266 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf * * * -g1 -g2 -g
 267 [ @sor_pp | @sor_pn | @sor_np | @sor_nn ] /2 width=7 by/
 268 qed-.
 269
 270 (* Properties with tail *****************************************************)
 271
 272 lemma sor_tl: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ⫱f1 ⋓ ⫱f2 ≘ ⫱f.
 273 #f1 cases (pn_split f1) * #g1 #H1
 274 #f2 cases (pn_split f2) * #g2 #H2
 275 #f #Hf
 276 [ cases (sor_inv_ppx … Hf … H1 H2)
 277 | cases (sor_inv_pnx … Hf … H1 H2)
 278 | cases (sor_inv_npx … Hf … H1 H2)
 279 | cases (sor_inv_nnx … Hf … H1 H2)
 280 ] -Hf #g #Hg #H destruct //
 281 qed.
 282
 283 lemma sor_xxn_tl: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f. ↑f = g →
 284                   (∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ↑f1 = g1 & ⫱g2 = f2) ∨
 285                   (∃∃f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫱g1 = f1 & ↑f2 = g2).
 286 #g1 #g2 #g #H #f #H0 elim (sor_inv_xxn … H … H0) -H -H0 *
 287 /3 width=5 by ex3_2_intro, or_introl, or_intror/
 288 qed-.
 289
 290 lemma sor_xnx_tl: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f2. ↑f2 = g2 →
 291                   ∃∃f1,f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫱g1 = f1 & ↑f = g.
 292 #g1 elim (pn_split g1) * #f1 #H1 #g2 #g #H #f2 #H2
 293 [ elim (sor_inv_pnx … H … H1 H2) | elim (sor_inv_nnx … H … H1 H2) ] -g2
 294 /3 width=5 by ex3_2_intro/
 295 qed-.
 296
 297 lemma sor_nxx_tl: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g → ∀f1. ↑f1 = g1 →
 298                   ∃∃f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f & ⫱g2 = f2 & ↑f = g.
 299 #g1 #g2 elim (pn_split g2) * #f2 #H2 #g #H #f1 #H1
 300 [ elim (sor_inv_npx … H … H1 H2) | elim (sor_inv_nnx … H … H1 H2) ] -g1
 301 /3 width=5 by ex3_2_intro/
 302 qed-.
 303
 304 (* Properties with iterated tail ********************************************)
 305
 306 lemma sor_tls: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f →
 307                ∀n. ⫱*[n]f1 ⋓ ⫱*[n]f2 ≘ ⫱*[n]f.
 308 #f1 #f2 #f #Hf #n elim n -n /2 width=1 by sor_tl/
 309 qed.
 310
 311 (* Properies with test for identity *****************************************)
 312
 313 corec lemma sor_isid_sn: ∀f1. 𝐈❪f1❫ → ∀f2. f1 ⋓ f2 ≘ f2.
 314 #f1 * -f1
 315 #f1 #g1 #Hf1 #H1 #f2 cases (pn_split f2) *
 316 /3 width=7 by sor_pp, sor_pn/
 317 qed.
 318
 319 corec lemma sor_isid_dx: ∀f2. 𝐈❪f2❫ → ∀f1. f1 ⋓ f2 ≘ f1.
 320 #f2 * -f2
 321 #f2 #g2 #Hf2 #H2 #f1 cases (pn_split f1) *
 322 /3 width=7 by sor_pp, sor_np/
 323 qed.
 324
 325 lemma sor_isid: ∀f1,f2,f. 𝐈❪f1❫ → 𝐈❪f2❫ → 𝐈❪f❫ → f1 ⋓ f2 ≘ f.
 326 /4 width=3 by sor_eq_repl_back2, sor_eq_repl_back1, isid_inv_eq_repl/ qed.
 327
 328 (* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
 329
 330 lemma sor_inv_tl_sn: ∀f1,f2,f. ⫱f1 ⋓ f2 ≘ f → f1 ⋓ ↑f2 ≘ ↑f.
 331 #f1 #f2 #f elim (pn_split f1) *
 332 #g1 #H destruct /2 width=7 by sor_pn, sor_nn/
 333 qed-.
 334
 335 lemma sor_inv_tl_dx: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ ⫱f2 ≘ f → ↑f1 ⋓ f2 ≘ ↑f.
 336 #f1 #f2 #f elim (pn_split f2) *
 337 #g2 #H destruct /2 width=7 by sor_np, sor_nn/
 338 qed-.
 339
 340 (* Inversion lemmas with test for identity **********************************)
 341
 342 lemma sor_isid_inv_sn: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐈❪f1❫ → f2 ≡ f.
 343 /3 width=4 by sor_isid_sn, sor_mono/
 344 qed-.
 345
 346 lemma sor_isid_inv_dx: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐈❪f2❫ → f1 ≡ f.
 347 /3 width=4 by sor_isid_dx, sor_mono/
 348 qed-.
 349
 350 corec lemma sor_fwd_isid1: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐈❪f❫ → 𝐈❪f1❫.
 351 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 352 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #Hg
 353 [ /4 width=6 by isid_inv_push, isid_push/ ]
 354 cases (isid_inv_next … Hg … H)
 355 qed-.
 356
 357 corec lemma sor_fwd_isid2: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐈❪f❫ → 𝐈❪f2❫.
 358 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 359 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H #Hg
 360 [ /4 width=6 by isid_inv_push, isid_push/ ]
 361 cases (isid_inv_next … Hg … H)
 362 qed-.
 363
 364 lemma sor_inv_isid3: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐈❪f❫ → 𝐈❪f1❫ ∧ 𝐈❪f2❫.
 365 /3 width=4 by sor_fwd_isid2, sor_fwd_isid1, conj/ qed-.
 366
 367 (* Properties with finite colength assignment *******************************)
 368
 369 lemma sor_fcla_ex: ∀f1,n1. 𝐂❪f1❫ ≘ n1 → ∀f2,n2. 𝐂❪f2❫ ≘ n2 →
 370                    ∃∃f,n. f1 ⋓ f2 ≘ f & 𝐂❪f❫ ≘ n & (n1 ∨ n2) ≤ n & n ≤ n1 + n2.
 371 #f1 #n1 #Hf1 elim Hf1 -f1 -n1 /3 width=6 by sor_isid_sn, ex4_2_intro/
 372 #f1 #n1 #Hf1 #IH #f2 #n2 * -f2 -n2 /3 width=6 by fcla_push, fcla_next, ex4_2_intro, sor_isid_dx/
 373 #f2 #n2 #Hf2 elim (IH … Hf2) -IH -Hf2 -Hf1 [2,4: #f #n <plus_n_Sm ] (**) (* full auto fails *)
 374 [ /3 width=7 by fcla_next, sor_pn, max_S2_le_S, le_S_S, ex4_2_intro/
 375 | /4 width=7 by fcla_next, sor_nn, le_S, le_S_S, ex4_2_intro/
 376 | /3 width=7 by fcla_push, sor_pp, ex4_2_intro/
 377 | /3 width=7 by fcla_next, sor_np, max_S1_le_S, le_S_S, ex4_2_intro/
 378 ]
 379 qed-.
 380
 381 lemma sor_fcla: ∀f1,n1. 𝐂❪f1❫ ≘ n1 → ∀f2,n2. 𝐂❪f2❫ ≘ n2 → ∀f. f1 ⋓ f2 ≘ f →
 382                 ∃∃n. 𝐂❪f❫ ≘ n & (n1 ∨ n2) ≤ n & n ≤ n1 + n2.
 383 #f1 #n1 #Hf1 #f2 #n2 #Hf2 #f #Hf elim (sor_fcla_ex … Hf1 … Hf2) -Hf1 -Hf2
 384 /4 width=6 by sor_mono, fcla_eq_repl_back, ex3_intro/
 385 qed-.
 386
 387 (* Forward lemmas with finite colength **************************************)
 388
 389 lemma sor_fwd_fcla_sn_ex: ∀f,n. 𝐂❪f❫ ≘ n → ∀f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f →
 390                           ∃∃n1.  𝐂❪f1❫ ≘ n1 & n1 ≤ n.
 391 #f #n #H elim H -f -n
 392 [ /4 width=4 by sor_fwd_isid1, fcla_isid, ex2_intro/
 393 | #f #n #_ #IH #f1 #f2 #H
 394   elim (sor_inv_xxp … H) -H [ |*: // ] #g1 #g2 #Hf #H1 #H2 destruct
 395   elim (IH … Hf) -f /3 width=3 by fcla_push, ex2_intro/
 396 | #f #n #_ #IH #f1 #f2 #H
 397   elim (sor_inv_xxn … H) -H [1,3,4: * |*: // ] #g1 #g2 #Hf #H1 #H2 destruct
 398   elim (IH … Hf) -f /3 width=3 by fcla_push, fcla_next, le_S_S, le_S, ex2_intro/
 399 ]
 400 qed-.
 401
 402 lemma sor_fwd_fcla_dx_ex: ∀f,n. 𝐂❪f❫ ≘ n → ∀f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f →
 403                           ∃∃n2.  𝐂❪f2❫ ≘ n2 & n2 ≤ n.
 404 /3 width=4 by sor_fwd_fcla_sn_ex, sor_comm/ qed-.
 405
 406 (* Properties with test for finite colength *********************************)
 407
 408 lemma sor_isfin_ex: ∀f1,f2. 𝐅❪f1❫ → 𝐅❪f2❫ → ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≘ f & 𝐅❪f❫.
 409 #f1 #f2 * #n1 #H1 * #n2 #H2 elim (sor_fcla_ex … H1 … H2) -H1 -H2
 410 /3 width=4 by ex2_intro, ex_intro/
 411 qed-.
 412
 413 lemma sor_isfin: ∀f1,f2. 𝐅❪f1❫ → 𝐅❪f2❫ → ∀f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐅❪f❫.
 414 #f1 #f2 #Hf1 #Hf2 #f #Hf elim (sor_isfin_ex … Hf1 … Hf2) -Hf1 -Hf2
 415 /3 width=6 by sor_mono, isfin_eq_repl_back/
 416 qed-.
 417
 418 (* Forward lemmas with test for finite colength *****************************)
 419
 420 lemma sor_fwd_isfin_sn: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐅❪f1❫.
 421 #f * #n #Hf #f1 #f2 #H
 422 elim (sor_fwd_fcla_sn_ex … Hf … H) -f -f2 /2 width=2 by ex_intro/
 423 qed-.
 424
 425 lemma sor_fwd_isfin_dx: ∀f. 𝐅❪f❫ → ∀f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐅❪f2❫.
 426 #f * #n #Hf #f1 #f2 #H
 427 elim (sor_fwd_fcla_dx_ex … Hf … H) -f -f1 /2 width=2 by ex_intro/
 428 qed-.
 429
 430 (* Inversion lemmas with test for finite colength ***************************)
 431
 432 lemma sor_inv_isfin3: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → 𝐅❪f❫ → 𝐅❪f1❫ ∧ 𝐅❪f2❫.
 433 /3 width=4 by sor_fwd_isfin_dx, sor_fwd_isfin_sn, conj/ qed-.
 434
 435 (* Inversion lemmas with inclusion ******************************************)
 436
 437 corec lemma sor_inv_sle_sn: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → f1 ⊆ f.
 438 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 439 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0
 440 /3 width=5 by sle_push, sle_next, sle_weak/
 441 qed-.
 442
 443 corec lemma sor_inv_sle_dx: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → f2 ⊆ f.
 444 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
 445 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0
 446 /3 width=5 by sle_push, sle_next, sle_weak/
 447 qed-.
 448
 449 lemma sor_inv_sle_sn_trans: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ∀g. g ⊆ f1 → g ⊆ f.
 450 /3 width=4 by sor_inv_sle_sn, sle_trans/ qed-.
 451
 452 lemma sor_inv_sle_dx_trans: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ∀g. g ⊆ f2 → g ⊆ f.
 453 /3 width=4 by sor_inv_sle_dx, sle_trans/ qed-.
 454
 455 axiom sor_inv_sle: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ∀g. f1 ⊆ g → f2 ⊆ g → f ⊆ g.
 456
 457 (* Properties with inclusion ************************************************)
 458
 459 corec lemma sor_sle_dx: ∀f1,f2. f1 ⊆ f2 → f1 ⋓ f2 ≘ f2.
 460 #f1 #f2 * -f1 -f2 /3 width=7 by sor_pp, sor_nn, sor_pn/
 461 qed.
 462
 463 corec lemma sor_sle_sn: ∀f1,f2. f1 ⊆ f2 → f2 ⋓ f1 ≘ f2.
 464 #f1 #f2 * -f1 -f2 /3 width=7 by sor_pp, sor_nn, sor_np/
 465 qed.
 466
 467 (* Main properties **********************************************************)
 468
 469 axiom monotonic_sle_sor: ∀f1,g1. f1 ⊆ g1 → ∀f2,g2. f2 ⊆ g2 →
 470                          ∀f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ∀g. g1 ⋓ g2 ≘ g → f ⊆ g.
 471
 472 axiom sor_assoc_dx: ∀f0,f3,f4. f0 ⋓ f3 ≘ f4 →
 473                     ∀f1,f2. f1 ⋓ f2 ≘ f0 →
 474                     ∀f. f2 ⋓ f3 ≘ f → f1 ⋓ f ≘ f4.
 475
 476 axiom sor_assoc_sn: ∀f1,f0,f4. f1 ⋓ f0 ≘ f4 →
 477                     ∀f2, f3. f2 ⋓ f3 ≘ f0 →
 478                     ∀f. f1 ⋓ f2 ≘ f → f ⋓ f3 ≘ f4.
 479
 480 lemma sor_comm_23: ∀f0,f1,f2,f3,f4,f.
 481                    f0⋓f4 ≘ f1 → f1⋓f2 ≘ f → f0⋓f2 ≘ f3 → f3⋓f4 ≘ f.
 482 /4 width=6 by sor_comm, sor_assoc_dx/ qed-.
 483
 484 corec theorem sor_comm_23_idem: ∀f0,f1,f2. f0 ⋓ f1 ≘ f2 →
 485                                 ∀f. f1 ⋓ f2 ≘ f → f1 ⋓ f0 ≘ f.
 486 #f0 #f1 #f2 * -f0 -f1 -f2
 487 #f0 #f1 #f2 #g0 #g1 #g2 #Hf2 #H0 #H1 #H2 #g #Hg
 488 [ cases (sor_inv_ppx … Hg … H1 H2)
 489 | cases (sor_inv_pnx … Hg … H1 H2)
 490 | cases (sor_inv_nnx … Hg … H1 H2)
 491 | cases (sor_inv_nnx … Hg … H1 H2)
 492 ] -g2 #f #Hf #H
 493 /3 width=7 by sor_nn, sor_np, sor_pn, sor_pp/
 494 qed-.
 495
 496 corec theorem sor_coll_dx: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≘ f → ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 497                            ∀g0. g1 ⋓ g0 ≘ f1 → g2 ⋓ g0 ≘ f2 → g ⋓ g0 ≘ f.
 498 #f1 #f2 #f cases (pn_split f) * #x #Hx #Hf #g1 #g2 #g #Hg #g0 #Hf1 #Hf2
 499 [ cases (sor_inv_xxp … Hf … Hx) -Hf #x1 #x2 #Hf #Hx1 #Hx2
 500   cases (sor_inv_xxp … Hf1 … Hx1) -f1 #y1 #y0 #Hf1 #Hy1 #Hy0
 501   cases (sor_inv_xpp … Hf2 … Hy0 … Hx2) -f2 #y2 #Hf2 #Hy2
 502   cases (sor_inv_ppx … Hg … Hy1 Hy2) -g1 -g2 #y #Hg #Hy
 503   @(sor_pp … Hy Hy0 Hx) -g -g0 -f /2 width=8 by/
 504 | cases (pn_split g) * #y #Hy
 505   [ cases (sor_inv_xxp … Hg … Hy) -Hg #y1 #y2 #Hg #Hy1 #Hy2
 506     cases (sor_xxn_tl … Hf … Hx) * #x1 #x2 #_ #Hx1 #Hx2
 507     [ cases (sor_inv_pxn … Hf1 … Hy1 Hx1) -g1 #y0 #Hf1 #Hy0
 508       cases (sor_inv_pnx … Hf2 … Hy2 Hy0) -g2 -x2 #x2 #Hf2 #Hx2
 509     | cases (sor_inv_pxn … Hf2 … Hy2 Hx2) -g2 #y0 #Hf2 #Hy0
 510       cases (sor_inv_pnx … Hf1 … Hy1 Hy0) -g1 -x1 #x1 #Hf1 #Hx1
 511     ]
 512     lapply (sor_inv_nnn … Hf … Hx1 Hx2 Hx) -f1 -f2 #Hf
 513     @(sor_pn … Hy Hy0 Hx) -g -g0 -f /2 width=8 by/
 514   | lapply (sor_tl … Hf) -Hf #Hf
 515     lapply (sor_tl … Hg) -Hg #Hg
 516     lapply (sor_tl … Hf1) -Hf1 #Hf1
 517     lapply (sor_tl … Hf2) -Hf2 #Hf2
 518     cases (pn_split g0) * #y0 #Hy0
 519     [ @(sor_np … Hy Hy0 Hx) /2 width=8 by/
 520     | @(sor_nn … Hy Hy0 Hx) /2 width=8 by/
 521     ]
 522   ]
 523 ]
 524 qed-.
 525
 526 corec theorem sor_distr_dx: ∀g0,g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≘ g →
 527                             ∀f1,f2,f. g1 ⋓ g0 ≘ f1 → g2 ⋓ g0 ≘ f2 → g ⋓ g0 ≘ f →
 528                             f1 ⋓ f2 ≘ f.
 529 #g0 cases (pn_split g0) * #y0 #H0 #g1 #g2 #g
 530 [ * -g1 -g2 -g #y1 #y2 #y #g1 #g2 #g #Hy #Hy1 #Hy2 #Hy #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf2 #Hf
 531   [ cases (sor_inv_ppx … Hf1 … Hy1 H0) -g1
 532     cases (sor_inv_ppx … Hf2 … Hy2 H0) -g2
 533     cases (sor_inv_ppx … Hf … Hy H0) -g
 534   | cases (sor_inv_npx … Hf1 … Hy1 H0) -g1
 535     cases (sor_inv_ppx … Hf2 … Hy2 H0) -g2
 536     cases (sor_inv_npx … Hf … Hy H0) -g
 537   | cases (sor_inv_ppx … Hf1 … Hy1 H0) -g1
 538     cases (sor_inv_npx … Hf2 … Hy2 H0) -g2
 539     cases (sor_inv_npx … Hf … Hy H0) -g
 540   | cases (sor_inv_npx … Hf1 … Hy1 H0) -g1
 541     cases (sor_inv_npx … Hf2 … Hy2 H0) -g2
 542     cases (sor_inv_npx … Hf … Hy H0) -g
 543   ] -g0 #y #Hy #H #y2 #Hy2 #H2 #y1 #Hy1 #H1
 544   /3 width=8 by sor_nn, sor_np, sor_pn, sor_pp/
 545 | #H #f1 #f2 #f #Hf1 #Hf2 #Hf
 546   cases (sor_xnx_tl … Hf1 … H0) -Hf1
 547   cases (sor_xnx_tl … Hf2 … H0) -Hf2
 548   cases (sor_xnx_tl … Hf … H0) -Hf
 549   -g0 #y #x #Hx #Hy #H #y2 #x2 #Hx2 #Hy2 #H2 #y1 #x1 #Hx1 #Hy1 #H1
 550   /4 width=8 by sor_tl, sor_nn/
 551 ]
 552 qed-.