matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/relocation/rtmap_sor.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/notation/relations/runion_3.ma".
  16 include "ground_2/relocation/rtmap_sle.ma".
  17
  18 coinductive sor: relation3 rtmap rtmap rtmap ≝
  19 | sor_pp: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ↑f = g → sor g1 g2 g
  20 | sor_np: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 → ⫯f = g → sor g1 g2 g
  21 | sor_pn: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → sor g1 g2 g
  22 | sor_nn: ∀f1,f2,f,g1,g2,g. sor f1 f2 f → ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 → ⫯f = g → sor g1 g2 g
  23 .
  24
  25 interpretation "union (rtmap)"
  26    'RUnion f1 f2 f = (sor f1 f2 f).
  27
  28 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  29
  30 lemma sor_inv_ppx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  31                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≡ f & ↑f = g.
  32 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  33 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  34 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  35 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  36 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  37 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  38 /2 width=3 by ex2_intro/
  39 qed-.
  40
  41 lemma sor_inv_npx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ↑f2 = g2 →
  42                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≡ f & ⫯f = g.
  43 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  44 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  45 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  46 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  47 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  48 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  49 /2 width=3 by ex2_intro/
  50 qed-.
  51
  52 lemma sor_inv_pnx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ↑f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  53                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≡ f & ⫯f = g.
  54 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  55 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  56 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  57 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  58 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  59 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  60 /2 width=3 by ex2_intro/
  61 qed-.
  62
  63 lemma sor_inv_nnx: ∀g1,g2,g. g1 ⋓ g2 ≡ g → ∀f1,f2. ⫯f1 = g1 → ⫯f2 = g2 →
  64                    ∃∃f. f1 ⋓ f2 ≡ f & ⫯f = g.
  65 #g1 #g2 #g * -g1 -g2 -g
  66 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf #H1 #H2 #H0 #x1 #x2 #Hx1 #Hx2 destruct
  67 try (>(injective_push … Hx1) -x1) try (>(injective_next … Hx1) -x1)
  68 try elim (discr_push_next … Hx1) try elim (discr_next_push … Hx1)
  69 try (>(injective_push … Hx2) -x2) try (>(injective_next … Hx2) -x2)
  70 try elim (discr_push_next … Hx2) try elim (discr_next_push … Hx2)
  71 /2 width=3 by ex2_intro/
  72 qed-.
  73
  74 (* Basic properties *********************************************************)
  75
  76 let corec sor_refl: ∀f. f ⋓ f ≡ f ≝ ?.
  77 #f cases (pn_split f) * #g #H
  78 [ @(sor_pp … H H H) | @(sor_nn … H H H) ] -H //
  79 qed.
  80
  81 let corec sor_sym: ∀f1,f2,f. f1 ⋓ f2 ≡ f → f2 ⋓ f1 ≡ f ≝ ?.
  82 #f1 #f2 #f * -f1 -f2 -f
  83 #f1 #f2 #f #g1 #g2 #g #Hf * * * -g1 -g2 -g
  84 [ @sor_pp | @sor_pn | @sor_np | @sor_nn ] /2 width=7 by/
  85 qed-.