matita/matita/contribs/lambdadelta/ground_2/ynat/ynat_plus.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "ground_2/ynat/ynat_minus.ma".
  16
  17 (* NATURAL NUMBERS WITH INFINITY ********************************************)
  18
  19 (* addition *)
  20 definition yplus: ynat → ynat → ynat ≝ λx,y. match y with
  21 [ yinj n ⇒ ysucc^n x
  22 | Y      ⇒ Y
  23 ].
  24
  25 interpretation "ynat plus" 'plus x y = (yplus x y).
  26
  27 (* Properties on successor **************************************************)
  28
  29 lemma yplus_succ2: ∀m,n. m + ⫯n = ⫯(m + n).
  30 #m * //
  31 qed.
  32
  33 lemma yplus_succ1: ∀m,n. ⫯m + n = ⫯(m + n).
  34 #m * normalize //
  35 qed.
  36
  37 lemma yplus_succ_swap: ∀m,n. m + ⫯n = ⫯m + n.
  38 // qed.
  39
  40 lemma yplus_SO2: ∀m. m + 1 = ⫯m.
  41 * //
  42 qed.
  43
  44 (* Basic properties *********************************************************)
  45
  46 lemma yplus_inj: ∀n,m. yinj m + yinj n = yinj (m + n).
  47 #n elim n -n [ normalize // ]
  48 #n #IHn #m >(yplus_succ2 ? n) >IHn -IHn
  49 <plus_n_Sm //
  50 qed.
  51
  52 lemma yplus_Y1: ∀m. ∞ + m = ∞.
  53 * normalize //
  54 qed.
  55
  56 lemma yplus_comm: commutative … yplus.
  57 * [ #m ] * [1,3: #n ] //
  58 normalize >ysucc_iter_Y //
  59 qed.
  60
  61 lemma yplus_assoc: associative … yplus.
  62 #x #y * // #z cases y -y
  63 [ #y >yplus_inj whd in ⊢ (??%%); <iter_plus //
  64 | >yplus_Y1 //
  65 ]
  66 qed.
  67
  68 lemma yplus_O_sn: ∀n:ynat. 0 + n = n.
  69 #n >yplus_comm // qed.
  70
  71 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  72
  73 lemma yplus_inv_inj: ∀z,y,x. x + y = yinj z →
  74                      ∃∃m,n. m + n = z & x = yinj m & y = yinj n.
  75 #z * [2: normalize #x #H destruct ]
  76 #y * [2: >yplus_Y1 #H destruct ]
  77 /3 width=5 by yinj_inj, ex3_2_intro/
  78 qed-.
  79
  80 (* Properties on order ******************************************************)
  81
  82 lemma yle_plus_dx2: ∀n,m. n ≤ m + n.
  83 * //
  84 #n elim n -n //
  85 #n #IHn #m >(yplus_succ2 ? n) @(yle_succ n) // (**) (* full auto fails *)
  86 qed.
  87
  88 lemma yle_plus_dx1: ∀n,m. m ≤ m + n.
  89 // qed.
  90
  91 (* Forward lemmas on order **************************************************)
  92
  93 lemma yle_fwd_plus_sn2: ∀x,y,z. x + y ≤ z → y ≤ z.
  94 /2 width=3 by yle_trans/ qed-.
  95
  96 lemma yle_fwd_plus_sn1: ∀x,y,z. x + y ≤ z → x ≤ z.
  97 /2 width=3 by yle_trans/ qed-.