matita/matita/contribs/lambdadelta/static_2/static/fsle_fsle.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "static_2/syntax/lveq_lveq.ma".
  16 include "static_2/static/fsle_fqup.ma".
  17
  18 (* FREE VARIABLES INCLUSION FOR RESTRICTED CLOSURES *************************)
  19
  20 (* Advanced inversion lemmas ************************************************)
  21
  22 lemma fsle_frees_trans:
  23       ∀L1,L2,T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ →
  24       ∀f2. L2 ⊢ 𝐅+❪T2❫ ≘ f2 →
  25       ∃∃n1,n2,f1. L1 ⊢ 𝐅+❪T1❫ ≘ f1 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
  26 #L1 #L2 #T1 #T2 * #n1 #n2 #f1 #g2 #Hf1 #Hg2 #HL #Hn #f2 #Hf2
  27 lapply (frees_mono … Hg2 … Hf2) -Hg2 -Hf2 #Hgf2
  28 lapply (pr_tls_eq_repl n2 … Hgf2) -Hgf2 #Hgf2
  29 lapply (pr_sle_eq_repl_back_dx … Hn … Hgf2) -g2
  30 /2 width=6 by ex3_3_intro/
  31 qed-.
  32
  33 lemma fsle_frees_trans_eq:
  34       ∀L1,L2. |L1| = |L2| →
  35       ∀T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ → ∀f2. L2 ⊢ 𝐅+❪T2❫ ≘ f2 →
  36       ∃∃f1. L1 ⊢ 𝐅+❪T1❫ ≘ f1 & f1 ⊆ f2.
  37 #L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f2 #Hf2
  38 elim (fsle_frees_trans … H2L … Hf2) -T2 #n1 #n2 #f1 #Hf1 #H2L #Hf12
  39 elim (lveq_inj_length … H2L) // -L2 #H1 #H2 destruct
  40 /2 width=3 by ex2_intro/
  41 qed-.
  42
  43 lemma fsle_inv_frees_eq:
  44       ∀L1,L2. |L1| = |L2| →
  45       ∀T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ →
  46       ∀f1. L1 ⊢ 𝐅+❪T1❫ ≘ f1 → ∀f2. L2 ⊢ 𝐅+❪T2❫ ≘ f2 →
  47       f1 ⊆ f2.
  48 #L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f1 #Hf1 #f2 #Hf2
  49 elim (fsle_frees_trans_eq … H2L … Hf2) // -L2 -T2
  50 /3 width=6 by frees_mono, pr_sle_eq_repl_back_sn/
  51 qed-.
  52
  53 lemma fsle_frees_conf:
  54       ∀L1,L2,T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ →
  55       ∀f1. L1 ⊢ 𝐅+❪T1❫ ≘ f1 →
  56       ∃∃n1,n2,f2. L2 ⊢ 𝐅+❪T2❫ ≘ f2 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
  57 #L1 #L2 #T1 #T2 * #n1 #n2 #g1 #g2 #Hg1 #Hg2 #HL #Hn #f1 #Hf1
  58 lapply (frees_mono … Hg1 … Hf1) -Hg1 -Hf1 #Hgf1
  59 lapply (pr_tls_eq_repl n1 … Hgf1) -Hgf1 #Hgf1
  60 lapply (pr_sle_eq_repl_back_sn … Hn … Hgf1) -g1
  61 /2 width=6 by ex3_3_intro/
  62 qed-.
  63
  64 lemma fsle_frees_conf_eq:
  65       ∀L1,L2. |L1| = |L2| →
  66       ∀T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ → ∀f1. L1 ⊢ 𝐅+❪T1❫ ≘ f1 →
  67       ∃∃f2. L2 ⊢ 𝐅+❪T2❫ ≘ f2 & f1 ⊆ f2.
  68 #L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f1 #Hf1
  69 elim (fsle_frees_conf … H2L … Hf1) -T1 #n1 #n2 #f2 #Hf2 #H2L #Hf12
  70 elim (lveq_inj_length … H2L) // -L1 #H1 #H2 destruct
  71 /2 width=3 by ex2_intro/
  72 qed-.
  73
  74 (* Main properties **********************************************************)
  75
  76 theorem fsle_trans_sn:
  77         ∀L1,L2,T1,T. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T❫ →
  78         ∀T2. ❪L2,T❫ ⊆ ❪L2,T2❫ → ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫.
  79 #L1 #L2 #T1 #T
  80 * #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
  81 #T2
  82 * #n0 #n2 #f0 #f2 #Hf0 #Hf2 #Hn #Hf
  83 lapply (frees_mono … Hf0 … Hg0) -Hf0 -Hg0 #Hfg0
  84 elim (lveq_inj_length … Hn) // -Hn #H1 #H2 destruct
  85 lapply (pr_sle_eq_repl_back_sn … Hf … Hfg0) -f0
  86 /4 width=10 by pr_sle_tls, pr_sle_trans, ex4_4_intro/
  87 qed-.
  88
  89 theorem fsle_trans_dx:
  90         ∀L1,T1,T. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L1,T❫ →
  91         ∀L2,T2. ❪L1,T❫ ⊆ ❪L2,T2❫ → ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫.
  92 #L1 #T1 #T
  93 * #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
  94 #L2 #T2
  95 * #n0 #n2 #f0 #f2 #Hf0 #Hf2 #Hn #Hf
  96 lapply (frees_mono … Hg0 … Hf0) -Hg0 -Hf0 #Hgf0
  97 elim (lveq_inj_length … Hm) // -Hm #H1 #H2 destruct
  98 lapply (pr_sle_eq_repl_back_dx … Hg … Hgf0) -g0
  99 /4 width=10 by pr_sle_tls, pr_sle_trans, ex4_4_intro/
 100 qed-.
 101
 102 theorem fsle_trans_rc:
 103         ∀L1,L,T1,T. |L1| = |L| → ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L,T❫ →
 104         ∀L2,T2. |L| = |L2| → ❪L,T❫ ⊆ ❪L2,T2❫ → ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫.
 105 #L1 #L #T1 #T #HL1
 106 * #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
 107 #L2 #T2 #HL2
 108 * #n0 #n2 #f0 #f2 #Hf0 #Hf2 #Hn #Hf
 109 lapply (frees_mono … Hg0 … Hf0) -Hg0 -Hf0 #Hgf0
 110 elim (lveq_inj_length … Hm) // -Hm #H1 #H2 destruct
 111 elim (lveq_inj_length … Hn) // -Hn #H1 #H2 destruct
 112 lapply (pr_sle_eq_repl_back_dx … Hg … Hgf0) -g0
 113 /3 width=10 by lveq_length_eq, pr_sle_trans, ex4_4_intro/
 114 qed-.
 115
 116 theorem fsle_bind_sn_ge:
 117         ∀L1,L2. |L2| ≤ |L1| →
 118         ∀V1,T1,T. ❪L1,V1❫ ⊆ ❪L2,T❫ → ❪L1.ⓧ,T1❫ ⊆ ❪L2,T❫ →
 119         ∀p,I. ❪L1,ⓑ[p,I]V1.T1❫ ⊆ ❪L2,T❫.
 120 #L1 #L2 #HL #V1 #T1 #T * #n1 #x #f1 #g #Hf1 #Hg #H1n1 #H2n1 #H #p #I
 121 elim (fsle_frees_trans … H … Hg) -H #n2 #n #f2 #Hf2 #H1n2 #H2n2
 122 elim (lveq_inj_void_sn_ge … H1n1 … H1n2) -H1n2 // #H1 #H2 #H3 destruct
 123 elim (pr_sor_isf_bi f1 (⫰f2)) /3 width=3 by frees_fwd_isfin, pr_isf_tl/ #f #Hf #_
 124 <pr_tls_swap in H2n2; #H2n2
 125 /4 width=12 by frees_bind_void, pr_sor_inv_sle_bi, pr_sor_tls, ex4_4_intro/
 126 qed.
 127
 128 theorem fsle_flat_sn:
 129         ∀L1,L2,V1,T1,T. ❪L1,V1❫ ⊆ ❪L2,T❫ → ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T❫ →
 130         ∀I. ❪L1,ⓕ[I]V1.T1❫ ⊆ ❪L2,T❫.
 131 #L1 #L2 #V1 #T1 #T * #n1 #x #f1 #g #Hf1 #Hg #H1n1 #H2n1 #H #I
 132 elim (fsle_frees_trans … H … Hg) -H #n2 #n #f2 #Hf2 #H1n2 #H2n2
 133 elim (lveq_inj … H1n1 … H1n2) -H1n2 #H1 #H2 destruct
 134 elim (pr_sor_isf_bi f1 f2) /2 width=3 by frees_fwd_isfin/ #f #Hf #_
 135 /4 width=12 by frees_flat, pr_sor_inv_sle_bi, pr_sor_tls, ex4_4_intro/
 136 qed.
 137
 138 theorem fsle_bind_eq:
 139         ∀L1,L2. |L1| = |L2| → ∀V1,V2. ❪L1,V1❫ ⊆ ❪L2,V2❫ →
 140         ∀I2,T1,T2. ❪L1.ⓧ,T1❫ ⊆ ❪L2.ⓑ[I2]V2,T2❫ →
 141         ∀p,I1. ❪L1,ⓑ[p,I1]V1.T1❫ ⊆ ❪L2,ⓑ[p,I2]V2.T2❫.
 142 #L1 #L2 #HL #V1 #V2
 143 * #n1 #m1 #f1 #g1 #Hf1 #Hg1 #H1L #Hfg1 #I2 #T1 #T2
 144 * #n2 #m2 #f2 #g2 #Hf2 #Hg2 #H2L #Hfg2 #p #I1
 145 elim (lveq_inj_length … H1L) // #H1 #H2 destruct
 146 elim (lveq_inj_length … H2L) // -HL -H2L #H1 #H2 destruct
 147 elim (pr_sor_isf_bi f1 (⫰f2)) /3 width=3 by frees_fwd_isfin, pr_isf_tl/ #f #Hf #_
 148 elim (pr_sor_isf_bi g1 (⫰g2)) /3 width=3 by frees_fwd_isfin, pr_isf_tl/ #g #Hg #_
 149 /4 width=15 by frees_bind_void, frees_bind, pr_sor_monotonic_sle, pr_sle_tl, ex4_4_intro/
 150 qed.
 151
 152 theorem fsle_bind:
 153         ∀L1,L2,V1,V2. ❪L1,V1❫ ⊆ ❪L2,V2❫ →
 154         ∀I1,I2,T1,T2. ❪L1.ⓑ[I1]V1,T1❫ ⊆ ❪L2.ⓑ[I2]V2,T2❫ →
 155         ∀p. ❪L1,ⓑ[p,I1]V1.T1❫ ⊆ ❪L2,ⓑ[p,I2]V2.T2❫.
 156 #L1 #L2 #V1 #V2
 157 * #n1 #m1 #f1 #g1 #Hf1 #Hg1 #H1L #Hfg1 #I1 #I2 #T1 #T2
 158 * #n2 #m2 #f2 #g2 #Hf2 #Hg2 #H2L #Hfg2 #p
 159 elim (lveq_inv_pair_pair … H2L) -H2L #H2L #H1 #H2 destruct
 160 elim (lveq_inj … H2L … H1L) -H1L #H1 #H2 destruct
 161 elim (pr_sor_isf_bi f1 (⫰f2)) /3 width=3 by frees_fwd_isfin, pr_isf_tl/ #f #Hf #_
 162 elim (pr_sor_isf_bi g1 (⫰g2)) /3 width=3 by frees_fwd_isfin, pr_isf_tl/ #g #Hg #_
 163 /4 width=15 by frees_bind, pr_sor_monotonic_sle, pr_sle_tl, ex4_4_intro/
 164 qed.
 165
 166 theorem fsle_flat:
 167         ∀L1,L2,V1,V2. ❪L1,V1❫ ⊆ ❪L2,V2❫ →
 168         ∀T1,T2. ❪L1,T1❫ ⊆ ❪L2,T2❫ →
 169         ∀I1,I2. ❪L1,ⓕ[I1]V1.T1❫ ⊆ ❪L2,ⓕ[I2]V2.T2❫.
 170 /3 width=1 by fsle_flat_sn, fsle_flat_dx_dx, fsle_flat_dx_sn/ qed-.