matita/matita/lib/basics/relations.ma

   1 (*
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   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
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   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/logic.ma".
  13
  14 (********** predicates *********)
  15
  16 definition predicate: Type[0] → Type[0]
  17 ≝ λA.A→Prop.
  18
  19 (********** relations **********)
  20 definition relation : Type[0] → Type[0]
  21 ≝ λA.A→A→Prop.
  22
  23 definition relation2 : Type[0] → Type[0] → Type[0]
  24 ≝ λA,B.A→B→Prop.
  25
  26 definition reflexive: ∀A.∀R :relation A.Prop
  27 ≝ λA.λR.∀x:A.R x x.
  28
  29 definition symmetric: ∀A.∀R: relation A.Prop
  30 ≝ λA.λR.∀x,y:A.R x y → R y x.
  31
  32 definition transitive: ∀A.∀R:relation A.Prop
  33 ≝ λA.λR.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  34
  35 definition irreflexive: ∀A.∀R:relation A.Prop
  36 ≝ λA.λR.∀x:A.¬(R x x).
  37
  38 definition cotransitive: ∀A.∀R:relation A.Prop
  39 ≝ λA.λR.∀x,y:A.R x y → ∀z:A. R x z ∨ R z y.
  40
  41 definition tight_apart: ∀A.∀eq,ap:relation A.Prop
  42 ≝ λA.λeq,ap.∀x,y:A. (¬(ap x y) → eq x y) ∧
  43 (eq x y → ¬(ap x y)).
  44
  45 definition antisymmetric: ∀A.∀R:relation A.Prop
  46 ≝ λA.λR.∀x,y:A. R x y → ¬(R y x).
  47
  48 (********** operations **********)
  49 definition Runion ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa,b. R1 a b ∨ R2 a b.
  50 interpretation "union of relations" 'union R1 R2 = (Runion ? R1 R2).
  51
  52 definition Rintersection ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa,b.R1 a b ∧ R2 a b.
  53 interpretation "interesecion of relations" 'intersects R1 R2 = (Rintersection ? R1 R2).
  54
  55 definition inv ≝ λA.λR:relation A.λa,b.R b a.
  56
  57 definition subR ≝ λA.λR,S:relation A.(∀a,b. R a b → S a b).
  58 interpretation "relation inclusion" 'subseteq R S = (subR ? R S).
  59
  60 (**********P functions **********)
  61
  62 definition compose ≝
  63   λA,B,C:Type[0].λf:B→C.λg:A→B.λx:A.f (g x).
  64
  65 interpretation "function composition" 'compose f g = (compose ? ? ? f g).
  66
  67 definition injective: ∀A,B:Type[0].∀ f:A→B.Prop
  68 ≝ λA,B.λf.∀x,y:A.f x = f y → x=y.
  69
  70 definition surjective: ∀A,B:Type[0].∀f:A→B.Prop
  71 ≝λA,B.λf.∀z:B.∃x:A.z = f x.
  72
  73 definition commutative: ∀A:Type[0].∀f:A→A→A.Prop
  74 ≝ λA.λf.∀x,y.f x y = f y x.
  75
  76 definition commutative2: ∀A,B:Type[0].∀f:A→A→B.Prop
  77 ≝ λA,B.λf.∀x,y.f x y = f y x.
  78
  79 definition associative: ∀A:Type[0].∀f:A→A→A.Prop
  80 ≝ λA.λf.∀x,y,z.f (f x y) z = f x (f y z).
  81
  82 (* functions and relations *)
  83 definition monotonic : ∀A:Type[0].∀R:A→A→Prop.
  84 ∀f:A→A.Prop ≝
  85 λA.λR.λf.∀x,y:A.R x y → R (f x) (f y).
  86
  87 (* functions and functions *)
  88 definition distributive: ∀A:Type[0].∀f,g:A→A→A.Prop
  89 ≝ λA.λf,g.∀x,y,z:A. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
  90
  91 definition distributive2: ∀A,B:Type[0].∀f:A→B→B.∀g:B→B→B.Prop
  92 ≝ λA,B.λf,g.∀x:A.∀y,z:B. f x (g y z) = g (f x y) (f x z).
  93
  94 lemma injective_compose : ∀A,B,C,f,g.
  95 injective A B f → injective B C g → injective A C (λx.g (f x)).
  96 /3/; qed-.
  97
  98 (* extensional equality *)
  99
 100 (* moved inside sets.ma
 101 definition exteqP: ∀A:Type[0].∀P,Q:A→Prop.Prop ≝
 102 λA.λP,Q.∀a.iff (P a) (Q a). *)
 103
 104 definition exteqR: ∀A,B:Type[0].∀R,S:A→B→Prop.Prop ≝
 105 λA,B.λR,S.∀a.∀b.iff (R a b) (S a b).
 106
 107 definition exteqF: ∀A,B:Type[0].∀f,g:A→B.Prop ≝
 108 λA,B.λf,g.∀a.f a = g a.
 109
 110 (*
 111 notation " x \eqP y " non associative with precedence 45
 112 for @{'eqP A $x $y}.
 113
 114 interpretation "functional extentional equality"
 115 'eqP A x y = (exteqP A x y). *)
 116
 117 notation "x \eqR y" non associative with precedence 45
 118 for @{'eqR ? ? x y}.
 119
 120 interpretation "functional extentional equality"
 121 'eqR A B R S = (exteqR A B R S).
 122
 123 notation " f \eqF g " non associative with precedence 45
 124 for @{'eqF ? ? f g}.
 125
 126 interpretation "functional extentional equality"
 127 'eqF A B f g = (exteqF A B f g).
 128