matita/matita/lib/binding/ln_concrete.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/lists/list.ma".
  16 include "basics/deqsets.ma".
  17 include "binding/names.ma".
  18 include "binding/fp.ma".
  19
  20 definition alpha : Nset ≝ X. check alpha
  21 notation "𝔸" non associative with precedence 90 for @{'alphabet}.
  22 interpretation "set of names" 'alphabet = alpha.
  23
  24 inductive tp : Type[0] ≝
  25 | top : tp
  26 | arr : tp → tp → tp.
  27 inductive pretm : Type[0] ≝
  28 | var : nat → pretm
  29 | par :  𝔸 → pretm
  30 | abs : tp → pretm → pretm
  31 | app : pretm → pretm → pretm.
  32
  33 let rec Nth T n (l:list T) on n ≝
  34   match l with
  35   [ nil ⇒ None ?
  36   | cons hd tl ⇒ match n with
  37     [ O ⇒ Some ? hd
  38     | S n0 ⇒ Nth T n0 tl ] ].
  39
  40 let rec vclose_tm_aux u x k ≝ match u with
  41   [ var n ⇒ if (leb k n) then var (S n) else u
  42   | par x0 ⇒ if (x0 == x) then (var k) else u
  43   | app v1 v2 ⇒ app (vclose_tm_aux v1 x k) (vclose_tm_aux v2 x k)
  44   | abs s v ⇒ abs s (vclose_tm_aux v x (S k)) ].
  45 definition vclose_tm ≝ λu,x.vclose_tm_aux u x O.
  46
  47 definition vopen_var ≝ λn,x,k.match eqb n k with
  48  [ true ⇒ par x
  49  | false ⇒ match leb n k with
  50    [ true ⇒ var n
  51    | false ⇒ var (pred n) ] ].
  52
  53 let rec vopen_tm_aux u x k ≝ match u with
  54   [ var n ⇒ vopen_var n x k
  55   | par x0 ⇒ u
  56   | app v1 v2 ⇒ app (vopen_tm_aux v1 x k) (vopen_tm_aux v2 x k)
  57   | abs s v ⇒ abs s (vopen_tm_aux v x (S k)) ].
  58 definition vopen_tm ≝ λu,x.vopen_tm_aux u x O.
  59
  60 let rec FV u ≝ match u with
  61   [ par x ⇒ [x]
  62   | app v1 v2 ⇒ FV v1@FV v2
  63   | abs s v ⇒ FV v
  64   | _ ⇒ [ ] ].
  65
  66 definition lam ≝ λx,s,u.abs s (vclose_tm u x).
  67
  68 let rec Pi_map_tm p u on u ≝ match u with
  69 [ par x ⇒ par (p x)
  70 | var _ ⇒ u
  71 | app v1 v2 ⇒ app (Pi_map_tm p v1) (Pi_map_tm p v2)
  72 | abs s v ⇒ abs s (Pi_map_tm p v) ].
  73
  74 interpretation "permutation of tm" 'middot p x = (Pi_map_tm p x).
  75
  76 notation "hvbox(u⌈x⌉)"
  77   with precedence 45
  78   for @{ 'open $u $x }.
  79
  80 (*
  81 notation "hvbox(u⌈x⌉)"
  82   with precedence 45
  83   for @{ 'open $u $x }.
  84 notation "❴ u ❵ x" non associative with precedence 90 for @{ 'open $u $x }.
  85 *)
  86 interpretation "ln term variable open" 'open u x = (vopen_tm u x).
  87 notation < "hvbox(ν x break . u)"
  88  with precedence 20
  89 for @{'nu $x $u }.
  90 notation > "ν list1 x sep , . term 19 u" with precedence 20
  91   for ${ fold right @{$u} rec acc @{'nu $x $acc)} }.
  92 interpretation "ln term variable close" 'nu x u = (vclose_tm u x).
  93
  94 let rec tm_height u ≝ match u with
  95 [ app v1 v2 ⇒ S (max (tm_height v1) (tm_height v2))
  96 | abs s v ⇒ S (tm_height v)
  97 | _ ⇒ O ].
  98
  99 theorem le_n_O_rect_Type0 : ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Type[0]. P O → P n.
 100 #n (cases n) // #a #abs cases (?:False) /2/ qed.
 101
 102 theorem nat_rect_Type0_1 : ∀n:nat.∀P:nat → Type[0].
 103 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 104 #n #P #H
 105 cut (∀q:nat. q ≤ n → P q) /2/
 106 (elim n)
 107  [#q #HleO (* applica male *)
 108     @(le_n_O_rect_Type0 ? HleO)
 109     @H #p #ltpO cases (?:False) /2/ (* 3 *)
 110  |#p #Hind #q #HleS
 111     @H #a #lta @Hind @le_S_S_to_le /2/
 112  ]
 113 qed.
 114
 115 lemma leb_false_to_lt : ∀n,m. leb n m = false → m < n.
 116 #n elim n
 117 [ #m normalize #H destruct(H)
 118 | #n0 #IH * // #m normalize #H @le_S_S @IH // ]
 119 qed.
 120
 121 lemma nominal_eta_aux : ∀x,u.x ∉ FV u → ∀k.vclose_tm_aux (vopen_tm_aux u x k) x k = u.
 122 #x #u elim u
 123 [ #n #_ #k normalize cases (decidable_eq_nat n k) #Hnk
 124   [ >Hnk >eqb_n_n whd in ⊢ (??%?); >(\b ?) //
 125   | >(not_eq_to_eqb_false … Hnk) normalize cases (true_or_false (leb n k)) #Hleb
 126     [ >Hleb normalize >(?:leb k n = false) //
 127       @lt_to_leb_false @not_eq_to_le_to_lt /2/
 128     | >Hleb normalize >(?:leb k (pred n) = true) normalize
 129       [ cases (leb_false_to_lt … Hleb) //
 130       | @le_to_leb_true cases (leb_false_to_lt … Hleb) normalize /2/ ] ] ]
 131 | #y normalize in ⊢ (%→?→?); #Hy whd in ⊢ (?→??%?); >(\bf ?) // @(not_to_not … Hy) //
 132 | #s #v #IH normalize #Hv #k >IH // @Hv
 133 | #v1 #v2 #IH1 #IH2 normalize #Hv1v2 #k
 134   >IH1 [ >IH2 // | @(not_to_not … Hv1v2) @in_list_to_in_list_append_l ]
 135   @(not_to_not … Hv1v2) @in_list_to_in_list_append_r ]
 136 qed.
 137
 138 corollary nominal_eta : ∀x,u.x ∉ FV u → (νx.u⌈x⌉) = u.
 139 #x #u #Hu @nominal_eta_aux //
 140 qed.
 141
 142 lemma eq_height_vopen_aux : ∀v,x,k.tm_height (vopen_tm_aux v x k) = tm_height v.
 143 #v #x elim v
 144 [ #n #k normalize cases (eqb n k) // cases (leb n k) //
 145 | #u #k %
 146 | #s #u #IH #k normalize >IH %
 147 | #u1 #u2 #IH1 #IH2 #k normalize >IH1 >IH2 % ]
 148 qed.
 149
 150 corollary eq_height_vopen : ∀v,x.tm_height (v⌈x⌉) = tm_height v.
 151 #v #x @eq_height_vopen_aux
 152 qed.
 153
 154 theorem pretm_ind_plus_aux :
 155  ∀P:pretm → Type[0].
 156    (∀x:𝔸.P (par x)) →
 157    (∀n:ℕ.P (var n)) →
 158    (∀v1,v2. P v1 → P v2 → P (app v1 v2)) →
 159    ∀C:list 𝔸.
 160    (∀x,s,v.x ∉ FV v → x ∉ C → P (v⌈x⌉) → P (lam x s (v⌈x⌉))) →
 161  ∀n,u.tm_height u ≤ n → P u.
 162 #P #Hpar #Hvar #Happ #C #Hlam #n change with ((λn.?) n); @(nat_rect_Type0_1 n ??)
 163 #m cases m
 164 [ #_ * /2/
 165   [ normalize #s #v #Hfalse cases (?:False) cases (not_le_Sn_O (tm_height v)) /2/
 166   | #v1 #v2 whd in ⊢ (?%?→?); #Hfalse cases (?:False) cases (not_le_Sn_O (S (max ??))) /2/ ] ]
 167 -m #m #IH * /2/
 168 [ #s #v whd in ⊢ (?%?→?); #Hv
 169   lapply (p_fresh … (C@FV v)) letin y ≝ (N_fresh … (C@FV v)) #Hy
 170   >(?:abs s v = lam y s (v⌈y⌉))
 171   [| whd in ⊢ (???%); >nominal_eta // @(not_to_not … Hy) @in_list_to_in_list_append_r ]
 172   @Hlam
 173   [ @(not_to_not … Hy) @in_list_to_in_list_append_r
 174   | @(not_to_not … Hy) @in_list_to_in_list_append_l ]
 175   @IH [| @Hv | >eq_height_vopen % ]
 176 | #v1 #v2 whd in ⊢ (?%?→?); #Hv @Happ
 177   [ @IH [| @Hv | // ] | @IH [| @Hv | // ] ] ]
 178 qed.
 179
 180 corollary pretm_ind_plus :
 181  ∀P:pretm → Type[0].
 182    (∀x:𝔸.P (par x)) →
 183    (∀n:ℕ.P (var n)) →
 184    (∀v1,v2. P v1 → P v2 → P (app v1 v2)) →
 185    ∀C:list 𝔸.
 186    (∀x,s,v.x ∉ FV v → x ∉ C → P (v⌈x⌉) → P (lam x s (v⌈x⌉))) →
 187  ∀u.P u.
 188 #P #Hpar #Hvar #Happ #C #Hlam #u @pretm_ind_plus_aux /2/
 189 qed.
 190
 191 (* maps a permutation to a list of terms *)
 192 definition Pi_map_list : (𝔸 → 𝔸) → list 𝔸 → list 𝔸 ≝ map 𝔸 𝔸 .
 193
 194 (* interpretation "permutation of name list" 'middot p x = (Pi_map_list p x).*)
 195
 196 (*
 197 inductive tm : pretm → Prop ≝
 198 | tm_par : ∀x:𝔸.tm (par x)
 199 | tm_app : ∀u,v.tm u → tm v → tm (app u v)
 200 | tm_lam : ∀x,s,u.tm u → tm (lam x s u).
 201
 202 inductive ctx_aux : nat → pretm → Prop ≝
 203 | ctx_var : ∀n,k.n < k → ctx_aux k (var n)
 204 | ctx_par : ∀x,k.ctx_aux k (par x)
 205 | ctx_app : ∀u,v,k.ctx_aux k u → ctx_aux k v → ctx_aux k (app u v)
 206 (* è sostituibile da ctx_lam ? *)
 207 | ctx_abs : ∀s,u.ctx_aux (S k) u → ctx_aux k (abs s u).
 208 *)
 209
 210 inductive tm_or_ctx (k:nat) : pretm → Type[0] ≝
 211 | toc_var : ∀n.n < k → tm_or_ctx k (var n)
 212 | toc_par : ∀x.tm_or_ctx k (par x)
 213 | toc_app : ∀u,v.tm_or_ctx k u → tm_or_ctx k v → tm_or_ctx k (app u v)
 214 | toc_lam : ∀x,s,u.tm_or_ctx k u → tm_or_ctx k (lam x s u).
 215
 216 definition tm ≝ λt.tm_or_ctx O t.
 217 definition ctx ≝ λt.tm_or_ctx 1 t.
 218
 219 record TM : Type[0] ≝ {
 220   pretm_of_TM :> pretm;
 221   tm_of_TM : tm pretm_of_TM
 222 }.
 223
 224 record CTX : Type[0] ≝ {
 225   pretm_of_CTX :> pretm;
 226   ctx_of_CTX : ctx pretm_of_CTX
 227 }.
 228
 229 inductive tm2 : pretm → Type[0] ≝
 230 | tm_par : ∀x.tm2 (par x)
 231 | tm_app : ∀u,v.tm2 u → tm2 v → tm2 (app u v)
 232 | tm_lam : ∀x,s,u.x ∉ FV u → (∀y.y ∉ FV u → tm2 (u⌈y⌉)) → tm2 (lam x s (u⌈x⌉)).
 233
 234 (*
 235 inductive tm' : pretm → Prop ≝
 236 | tm_par : ∀x.tm' (par x)
 237 | tm_app : ∀u,v.tm' u → tm' v → tm' (app u v)
 238 | tm_lam : ∀x,s,u,C.x ∉ FV u → x ∉ C → (∀y.y ∉ FV u → tm' (❴u❵y)) → tm' (lam x s (❴u❵x)).
 239 *)
 240
 241 axiom swap_inj : ∀N.∀z1,z2,x,y.swap N z1 z2 x = swap N z1 z2 y → x = y.
 242
 243 lemma pi_vclose_tm :
 244   ∀z1,z2,x,u.swap 𝔸 z1 z2·(νx.u) = (ν swap ? z1 z2 x.swap 𝔸 z1 z2 · u).
 245 #z1 #z2 #x #u
 246 change with (vclose_tm_aux ???) in match (vclose_tm ??);
 247 change with (vclose_tm_aux ???) in ⊢ (???%); lapply O elim u
 248 [3:whd in ⊢ (?→?→(?→ ??%%)→?→??%%); //
 249 |4:whd in ⊢ (?→?→(?→??%%)→(?→??%%)→?→??%%); //
 250 | #n #k whd in ⊢ (??(??%)%); cases (leb k n) normalize %
 251 | #x0 #k cases (true_or_false (x0==z1)) #H1 >H1 whd in ⊢ (??%%);
 252   [ cases (true_or_false (x0==x)) #H2 >H2 whd in ⊢ (??(??%)%);
 253     [ <(\P H2) >H1 whd in ⊢ (??(??%)%); >(\b ?) // >(\b ?) //
 254     | >H2 whd in match (swap ????); >H1
 255       whd in match (if false then var k else ?);
 256       whd in match (if true then z2 else ?); >(\bf ?)
 257       [ >(\P H1) >swap_left %
 258       | <(swap_inv ? z1 z2 z2) in ⊢ (?(??%?)); % #H3
 259         lapply (swap_inj … H3) >swap_right #H4 <H4 in H2; >H1 #H destruct (H) ]
 260     ]
 261   | >(?:(swap ? z1 z2 x0 == swap ? z1 z2 x) = (x0 == x))
 262     [| cases (true_or_false (x0==x)) #H2 >H2
 263       [ >(\P H2) @(\b ?) %
 264       | @(\bf ?) % #H >(swap_inj … H) in H2; >(\b ?) // #H0 destruct (H0) ] ]
 265     cases (true_or_false (x0==x)) #H2 >H2 whd in ⊢ (??(??%)%);
 266     [ <(\P H2) >H1 >(\b (refl ??)) %
 267     | >H1 >H2 % ]
 268     ]
 269   ]
 270 qed.
 271
 272 lemma pi_vopen_tm :
 273   ∀z1,z2,x,u.swap 𝔸 z1 z2·(u⌈x⌉) = (swap 𝔸 z1 z2 · u⌈swap 𝔸 z1 z2 x⌉).
 274 #z1 #z2 #x #u
 275 change with (vopen_tm_aux ???) in match (vopen_tm ??);
 276 change with (vopen_tm_aux ???) in ⊢ (???%); lapply O elim u //
 277 [2: #s #v whd in ⊢ ((?→??%%)→?→??%%); //
 278 |3: #v1 #v2 whd in ⊢ ((?→??%%)→(?→??%%)→?→??%%); /2/ ]
 279 #n #k whd in ⊢ (??(??%)%); cases (true_or_false (eqb n k)) #H1 >H1 //
 280 cases (true_or_false (leb n k)) #H2 >H2 normalize //
 281 qed.
 282
 283 lemma pi_lam :
 284   ∀z1,z2,x,s,u.swap 𝔸 z1 z2 · lam x s u = lam (swap 𝔸 z1 z2 x) s (swap 𝔸 z1 z2 · u).
 285 #z1 #z2 #x #s #u whd in ⊢ (???%); <(pi_vclose_tm …) %
 286 qed.
 287
 288 lemma eqv_FV : ∀z1,z2,u.FV (swap 𝔸 z1 z2 · u) = Pi_map_list (swap 𝔸 z1 z2) (FV u).
 289 #z1 #z2 #u elim u //
 290 [ #s #v #H @H
 291 | #v1 #v2 whd in ⊢ (??%%→??%%→??%%); #H1 #H2 >H1 >H2
 292   whd in ⊢ (???(????%)); /2/ ]
 293 qed.
 294
 295 lemma swap_inv_tm : ∀z1,z2,u.swap 𝔸 z1 z2 · (swap 𝔸 z1 z2 · u) = u.
 296 #z1 #z2 #u elim u
 297 [1: #n %
 298 |3: #s #v whd in ⊢ (?→??%%); //
 299 |4: #v1 #v2 #Hv1 #Hv2 whd in ⊢ (??%%); // ]
 300 #x whd in ⊢ (??%?); >swap_inv %
 301 qed.
 302
 303 lemma eqv_in_list : ∀x,l,z1,z2.x ∈ l → swap 𝔸 z1 z2 x ∈ Pi_map_list (swap 𝔸 z1 z2) l.
 304 #x #l #z1 #z2 #Hin elim Hin
 305 [ #x0 #l0 %
 306 | #x1 #x2 #l0 #Hin #IH %2 @IH ]
 307 qed.
 308
 309 lemma eqv_tm2 : ∀u.tm2 u → ∀z1,z2.tm2 ((swap ? z1 z2)·u).
 310 #u #Hu #z1 #z2 letin p ≝ (swap ? z1 z2) elim Hu /2/
 311 #x #s #v #Hx #Hv #IH >pi_lam >pi_vopen_tm %3
 312 [ @(not_to_not … Hx) -Hx #Hx
 313   <(swap_inv ? z1 z2 x) <(swap_inv_tm z1 z2 v) >eqv_FV @eqv_in_list //
 314 | #y #Hy <(swap_inv ? z1 z2 y)
 315   <pi_vopen_tm @IH @(not_to_not … Hy) -Hy #Hy <(swap_inv ? z1 z2 y)
 316   >eqv_FV @eqv_in_list //
 317 ]
 318 qed.
 319
 320 lemma vclose_vopen_aux : ∀x,u,k.vopen_tm_aux (vclose_tm_aux u x k) x k = u.
 321 #x #u elim u [1,3,4:normalize //]
 322 [ #n #k cases (true_or_false (leb k n)) #H >H whd in ⊢ (??%?);
 323   [ cases (true_or_false (eqb (S n) k)) #H1 >H1
 324     [ <(eqb_true_to_eq … H1) in H; #H lapply (leb_true_to_le … H) -H #H
 325       cases (le_to_not_lt … H) -H #H cases (H ?) %
 326     | whd in ⊢ (??%?); >lt_to_leb_false // @le_S_S /2/ ]
 327   | cases (true_or_false (eqb n k)) #H1 >H1 normalize
 328     [ >(eqb_true_to_eq … H1) in H; #H lapply (leb_false_to_not_le … H) -H
 329       * #H cases (H ?) %
 330     | >le_to_leb_true // @not_lt_to_le % #H2 >le_to_leb_true in H;
 331       [ #H destruct (H) | /2/ ]
 332     ]
 333   ]
 334 | #x0 #k whd in ⊢ (??(?%??)?); cases (true_or_false (x0==x))
 335   #H1 >H1 normalize // >(\P H1) >eqb_n_n % ]
 336 qed.
 337
 338 lemma vclose_vopen : ∀x,u.((νx.u)⌈x⌉) = u. #x #u @vclose_vopen_aux
 339 qed.
 340
 341 (*
 342 theorem tm_to_tm : ∀t.tm' t → tm t.
 343 #t #H elim H
 344 *)
 345
 346 lemma in_list_singleton : ∀T.∀t1,t2:T.t1 ∈ [t2] → t1 = t2.
 347 #T #t1 #t2 #H @(in_list_inv_ind ??? H) /2/
 348 qed.
 349
 350 lemma fresh_vclose_tm_aux : ∀u,x,k.x ∉ FV (vclose_tm_aux u x k).
 351 #u #x elim u //
 352 [ #n #k normalize cases (leb k n) normalize //
 353 | #x0 #k whd in ⊢ (?(???(?%))); cases (true_or_false (x0==x)) #H >H normalize //
 354   lapply (\Pf H) @not_to_not #Hin >(in_list_singleton ??? Hin) %
 355 | #v1 #v2 #IH1 #IH2 #k normalize % #Hin cases (in_list_append_to_or_in_list ???? Hin) -Hin #Hin
 356   [ cases (IH1 k) -IH1 #IH1 @IH1 @Hin | cases (IH2 k) -IH2 #IH2 @IH2 @Hin ]
 357 qed.
 358
 359 lemma fresh_vclose_tm : ∀u,x.x ∉ FV (νx.u). //
 360 qed.
 361
 362 lemma fresh_swap_tm : ∀z1,z2,u.z1 ∉ FV u → z2 ∉ FV u → swap 𝔸 z1 z2 · u = u.
 363 #z1 #z2 #u elim u
 364 [2: normalize in ⊢ (?→%→%→?); #x #Hz1 #Hz2 whd in ⊢ (??%?); >swap_other //
 365   [ @(not_to_not … Hz2) | @(not_to_not … Hz1) ] //
 366 |1: //
 367 | #s #v #IH normalize #Hz1 #Hz2 >IH // [@Hz2|@Hz1]
 368 | #v1 #v2 #IH1 #IH2 normalize #Hz1 #Hz2
 369   >IH1 [| @(not_to_not … Hz2) @in_list_to_in_list_append_l | @(not_to_not … Hz1) @in_list_to_in_list_append_l ]
 370   >IH2 // [@(not_to_not … Hz2) @in_list_to_in_list_append_r | @(not_to_not … Hz1) @in_list_to_in_list_append_r ]
 371 ]
 372 qed.
 373
 374 theorem tm_to_tm2 : ∀u.tm u → tm2 u.
 375 #t #Ht elim Ht
 376 [ #n #Hn cases (not_le_Sn_O n) #Hfalse cases (Hfalse Hn)
 377 | @tm_par
 378 | #u #v #Hu #Hv @tm_app
 379 | #x #s #u #Hu #IHu <(vclose_vopen x u) @tm_lam
 380   [ @fresh_vclose_tm
 381   | #y #Hy <(fresh_swap_tm x y (νx.u)) /2/ @fresh_vclose_tm ]
 382 ]
 383 qed.
 384
 385 theorem tm2_to_tm : ∀u.tm2 u → tm u.
 386 #u #pu elim pu /2/ #x #s #v #Hx #Hv #IH %4 @IH //
 387 qed.
 388
 389 definition PAR ≝ λx.mk_TM (par x) ?. // qed.
 390 definition APP ≝ λu,v:TM.mk_TM (app u v) ?./2/ qed.
 391 definition LAM ≝ λx,s.λu:TM.mk_TM (lam x s u) ?./2/ qed.
 392
 393 axiom vopen_tm_down : ∀u,x,k.tm_or_ctx (S k) u → tm_or_ctx k (u⌈x⌉).
 394 (* needs true_plus_false
 395
 396 #u #x #k #Hu elim Hu
 397 [ #n #Hn normalize cases (true_or_false (eqb n O)) #H >H [%2]
 398   normalize >(?: leb n O = false) [|cases n in H; // >eqb_n_n #H destruct (H) ]
 399   normalize lapply Hn cases n in H; normalize [ #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 400   #n0 #_ #Hn0 % @le_S_S_to_le //
 401 | #x0 %2
 402 | #v1 #v2 #Hv1 #Hv2 #IH1 #IH2 %3 //
 403 | #x0 #s #v #Hv #IH normalize @daemon
 404 ]
 405 qed.
 406 *)
 407
 408 definition vopen_TM ≝ λu:CTX.λx.mk_TM (u⌈x⌉) (vopen_tm_down …). @ctx_of_CTX qed.
 409
 410 axiom vclose_tm_up : ∀u,x,k.tm_or_ctx k u → tm_or_ctx (S k) (νx.u).
 411
 412 definition vclose_TM ≝ λu:TM.λx.mk_CTX (νx.u) (vclose_tm_up …). @tm_of_TM qed.
 413
 414 interpretation "ln wf term variable open" 'open u x = (vopen_TM u x).
 415 interpretation "ln wf term variable close" 'nu x u = (vclose_TM u x).
 416
 417 theorem tm_alpha : ∀x,y,s,u.x ∉ FV u → y ∉ FV u → lam x s (u⌈x⌉) = lam y s (u⌈y⌉).
 418 #x #y #s #u #Hx #Hy whd in ⊢ (??%%); @eq_f >nominal_eta // >nominal_eta //
 419 qed.
 420
 421 theorem TM_ind_plus :
 422 (* non si può dare il principio in modo dipendente (almeno utilizzando tm2)
 423    la "prova" purtroppo è in Type e non si può garantire che sia esattamente
 424    quella che ci aspetteremmo
 425  *)
 426  ∀P:pretm → Type[0].
 427    (∀x:𝔸.P (PAR x)) →
 428    (∀v1,v2:TM.P v1 → P v2 → P (APP v1 v2)) →
 429    ∀C:list 𝔸.
 430    (∀x,s.∀v:CTX.x ∉ FV v → x ∉ C →
 431      (∀y.y ∉ FV v → P (v⌈y⌉)) → P (LAM x s (v⌈x⌉))) →
 432  ∀u:TM.P u.
 433 #P #Hpar #Happ #C #Hlam * #u #pu elim (tm_to_tm2 u pu) //
 434 [ #v1 #v2 #pv1 #pv2 #IH1 #IH2 @(Happ (mk_TM …) (mk_TM …)) /2/
 435 | #x #s #v #Hx #pv #IH
 436   lapply (p_fresh … (C@FV v)) letin x0 ≝ (N_fresh … (C@FV v)) #Hx0
 437   >(?:lam x s (v⌈x⌉) = lam x0 s (v⌈x0⌉))
 438   [|@tm_alpha // @(not_to_not … Hx0) @in_list_to_in_list_append_r ]
 439   @(Hlam x0 s (mk_CTX v ?) ??)
 440   [ <(nominal_eta … Hx) @vclose_tm_up @tm2_to_tm @pv //
 441   | @(not_to_not … Hx0) @in_list_to_in_list_append_r
 442   | @(not_to_not … Hx0) @in_list_to_in_list_append_l
 443   | @IH ]
 444 ]
 445 qed.
 446
 447 notation
 448 "hvbox('nominal' u 'return' out 'with'
 449        [ 'xpar' ident x ⇒ f1
 450        | 'xapp' ident v1 ident v2 ident recv1 ident recv2 ⇒ f2
 451        | 'xlam' ❨ident y # C❩ ident s ident w ident py1 ident py2 ident recw ⇒ f3 ])"
 452 with precedence 48
 453 for @{ TM_ind_plus $out (λ${ident x}:?.$f1)
 454        (λ${ident v1}:?.λ${ident v2}:?.λ${ident recv1}:?.λ${ident recv2}:?.$f2)
 455        $C (λ${ident y}:?.λ${ident s}:?.λ${ident w}:?.λ${ident py1}:?.λ${ident py2}:?.λ${ident recw}:?.$f3)
 456        $u }.
 457
 458 (* include "basics/jmeq.ma".*)
 459
 460 definition subst ≝ (λu:TM.λx,v.
 461   nominal u return (λ_.TM) with
 462   [ xpar x0 ⇒ match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ]
 463   | xapp v1 v2 recv1 recv2 ⇒ APP recv1 recv2
 464   | xlam ❨y # x::FV v❩ s w py1 py2 recw ⇒ LAM y s (recw y py1) ]).
 465
 466 lemma fasfd : ∀s,v. pretm_of_TM (subst (LAM O s (PAR 1)) O v) = pretm_of_TM (LAM O s (PAR 1)).
 467 #s #v normalize in ⊢ (??%?);
 468
 469
 470 theorem tm2_ind_plus :
 471 (* non si può dare il principio in modo dipendente (almeno utilizzando tm2) *)
 472  ∀P:pretm → Type[0].
 473    (∀x:𝔸.P (par x)) →
 474    (∀v1,v2.tm2 v1 → tm2 v2 → P v1 → P v2 → P (app v1 v2)) →
 475    ∀C:list 𝔸.
 476    (∀x,s,v.x ∉ FV v → x ∉ C → (∀y.y ∉ FV v → tm2 (v⌈y⌉)) →
 477      (∀y.y ∉ FV v → P (v⌈y⌉)) → P (lam x s (v⌈x⌉))) →
 478  ∀u.tm2 u → P u.
 479 #P #Hpar #Happ #C #Hlam #u #pu elim pu /2/
 480 #x #s #v #px #pv #IH
 481 lapply (p_fresh … (C@FV v)) letin y ≝ (N_fresh … (C@FV v)) #Hy
 482 >(?:lam x s (v⌈x⌉) = lam y s (v⌈y⌉)) [| @tm_alpha // @(not_to_not … Hy) @in_list_to_in_list_append_r ]
 483 @Hlam /2/ lapply Hy -Hy @not_to_not #Hy
 484 [ @in_list_to_in_list_append_r @Hy | @in_list_to_in_list_append_l @Hy ]
 485 qed.
 486
 487 definition check_tm ≝
 488   λu.pretm_ind_plus ? (λ_.true) (λ_.false)
 489     (λv1,v2,r1,r2.r1 ∧ r2) [ ] (λx,s,v,pv1,pv2,rv.rv) u.
 490
 491 (*
 492 lemma check_tm_complete : ∀u.tm u → check_tm u = true.
 493 #u #pu @(tm2_ind_plus … [ ] … (tm_to_tm2 ? pu)) //
 494 [ #v1 #v2 #pv1 #pv2 #IH1 #IH2
 495 | #x #s #v #Hx1 #Hx2 #Hv #IH
 496 *)
 497
 498 notation
 499 "hvbox('nominal' u 'return' out 'with'
 500        [ 'xpar' ident x ⇒ f1
 501        | 'xapp' ident v1 ident v2 ident pv1 ident pv2 ident recv1 ident recv2 ⇒ f2
 502        | 'xlam' ❨ident y # C❩ ident s ident w ident py1 ident py2 ident pw ident recw ⇒ f3 ])"
 503 with precedence 48
 504 for @{ tm2_ind_plus $out (λ${ident x}:?.$f1)
 505        (λ${ident v1}:?.λ${ident v2}:?.λ${ident pv1}:?.λ${ident pv2}:?.λ${ident recv1}:?.λ${ident recv2}:?.$f2)
 506        $C (λ${ident y}:?.λ${ident s}:?.λ${ident w}:?.λ${ident py1}:?.λ${ident py2}:?.λ${ident pw}:?.λ${ident recw}:?.$f3)
 507        ? (tm_to_tm2 ? $u) }.
 508 (* notation
 509 "hvbox('nominal' u 'with'
 510        [ 'xlam' ident x # C ident s ident w ⇒ f3 ])"
 511 with precedence 48
 512 for @{ tm2_ind_plus ???
 513  $C (λ${ident x}:?.λ${ident s}:?.λ${ident w}:?.λ${ident py1}:?.λ${ident py2}:?.
 514      λ${ident pw}:?.λ${ident recw}:?.$f3) $u (tm_to_tm2 ??) }.
 515 *)
 516
 517
 518 definition subst ≝ (λu.λpu:tm u.λx,v.
 519   nominal pu return (λ_.pretm) with
 520   [ xpar x0 ⇒ match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ]
 521   | xapp v1 v2 pv1 pv2 recv1 recv2 ⇒ app recv1 recv2
 522   | xlam ❨y # x::FV v❩ s w py1 py2 pw recw ⇒ lam y s (recw y py1) ]).
 523
 524 lemma fasfd : ∀x,s,u,p1,v. subst (lam x s u) p1 x v = lam x s u.
 525 #x #s #u #p1 #v
 526
 527
 528 definition subst ≝ λu.λpu:tm u.λx,y.
 529   tm2_ind_plus ?
 530   (* par x0 *)              (λx0.match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ])
 531   (* app v1 v2 *)           (λv1,v2,pv1,pv2,recv1,recv2.app recv1 recv2)
 532   (* lam y#(x::FV v) s w *) (x::FV v) (λy,s,w,py1,py2,pw,recw.lam y s (recw y py1))
 533   u (tm_to_tm2 … pu).
 534 check subst
 535 definition subst ≝ λu.λpu:tm u.λx,v.
 536   nominal u with
 537   [ xlam y # (x::FV v) s w ^ ? ].
 538
 539 (*
 540 notation > "Λ ident x. ident T [ident x] ↦ P"
 541   with precedence 48 for @{'foo (λ${ident x}.λ${ident T}.$P)}.
 542
 543 notation < "Λ ident x. ident T [ident x] ↦ P"
 544   with precedence 48 for @{'foo (λ${ident x}:$Q.λ${ident T}:$R.$P)}.
 545 *)
 546
 547 (*
 548 notation
 549 "hvbox('nominal' u 'with'
 550        [ 'xpar' ident x ⇒ f1
 551        | 'xapp' ident v1 ident v2  ⇒ f2
 552        | 'xlam' ident x # C s w ⇒ f3 ])"
 553 with precedence 48
 554 for @{ tm2_ind_plus ? (λ${ident x}:$Tx.$f1)
 555  (λ${ident v1}:$Tv1.λ${ident v2}:$Tv2.λ${ident pv1}:$Tpv1.λ${ident pv2}:$Tpv2.λ${ident recv1}:$Trv1.λ${ident recv2}:$Trv2.$f2)
 556  $C (λ${ident x}:$Tx.λ${ident s}:$Ts.λ${ident w}:$Tw.λ${ident py1}:$Tpy1.λ${ident py2}:$Tpy2.λ${ident pw}:$Tpw.λ${ident recw}:$Trw.$f3) $u (tm_to_tm2 ??) }.
 557 *)
 558
 559 (*
 560 notation
 561 "hvbox('nominal' u 'with'
 562        [ 'xpar' ident x ^ f1
 563        | 'xapp' ident v1 ident v2 ^ f2 ])"
 564 (*       | 'xlam' ident x # C s w ^ f3 ]) *)
 565 with precedence 48
 566 for @{ tm2_ind_plus ? (λ${ident x}:$Tx.$f1)
 567  (λ${ident v1}:$Tv1.λ${ident v2}:$Tv2.λ${ident pv1}:$Tpv1.λ${ident pv2}:$Tpv2.λ${ident recv1}:$Trv1.λ${ident recv2}:$Trv2.$f2)
 568  $C (λ${ident x}:$Tx.λ${ident s}:$Ts.λ${ident w}:$Tw.λ${ident py1}:$Tpy1.λ${ident py2}:$Tpy2.λ${ident pw}:$Tpw.λ${ident recw}:$Trw.$f3) $u (tm_to_tm2 ??) }.
 569 *)
 570 notation
 571 "hvbox('nominal' u 'with'
 572        [ 'xpar' ident x ^ f1
 573        | 'xapp' ident v1 ident v2 ^ f2 ])"
 574 with precedence 48
 575 for @{ tm2_ind_plus ? (λ${ident x}:?.$f1)
 576  (λ${ident v1}:$Tv1.λ${ident v2}:$Tv2.λ${ident pv1}:$Tpv1.λ${ident pv2}:$Tpv2.λ${ident recv1}:$Trv1.λ${ident recv2}:$Trv2.$f2)
 577  $C (λ${ident x}:?.λ${ident s}:$Ts.λ${ident w}:$Tw.λ${ident py1}:$Tpy1.λ${ident py2}:$Tpy2.λ${ident pw}:$Tpw.λ${ident recw}:$Trw.$f3) $u (tm_to_tm2 ??) }.
 578
 579
 580 definition subst ≝ λu.λpu:tm u.λx,v.
 581   nominal u with
 582   [ xpar x0 ^ match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ]
 583   | xapp v1 v2 ^ ? ].
 584   | xlam y # (x::FV v) s w ^ ? ].
 585
 586
 587   (* par x0 *)              (λx0.match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ])
 588   (* app v1 v2 *)           (λv1,v2,pv1,pv2,recv1,recv2.app recv1 recv2)
 589   (* lam y#(x::FV v) s w *) (x::FV v) (λy,s,w,py1,py2,pw,recw.lam y s (recw y py1))
 590   u (tm_to_tm2 … pu).
 591
 592
 593 *)
 594 definition subst ≝ λu.λpu:tm u.λx,v.
 595   tm2_ind_plus ?
 596   (* par x0 *)              (λx0.match x == x0 with [ true ⇒ v | false ⇒ u ])
 597   (* app v1 v2 *)           (λv1,v2,pv1,pv2,recv1,recv2.app recv1 recv2)
 598   (* lam y#(x::FV v) s w *) (x::FV v) (λy,s,w,py1,py2,pw,recw.lam y s (recw y py1))
 599   u (tm_to_tm2 … pu).
 600
 601 check subst
 602
 603
 604 axiom in_Env : 𝔸 × tp → Env → Prop.
 605 notation "X ◃ G" non associative with precedence 45 for @{'lefttriangle $X $G}.
 606 interpretation "Env membership" 'lefttriangle x l = (in_Env x l).
 607
 608
 609
 610 inductive judg : list tp → tm → tp → Prop ≝
 611 | t_var : ∀g,n,t.Nth ? n g = Some ? t → judg g (var n) t
 612 | t_app : ∀g,m,n,t,u.judg g m (arr t u) → judg g n t → judg g (app m n) u
 613 | t_abs : ∀g,t,m,u.judg (t::g) m u → judg g (abs t m) (arr t u).
 614
 615 definition Env := list (𝔸 × tp).
 616
 617 axiom vclose_env : Env → list tp.
 618 axiom vclose_tm : Env → tm → tm.
 619 axiom Lam : 𝔸 → tp → tm → tm.
 620 definition Judg ≝ λG,M,T.judg (vclose_env G) (vclose_tm G M) T.
 621 definition dom ≝ λG:Env.map ?? (fst ??) G.
 622
 623 definition sctx ≝ 𝔸 × tm.
 624 axiom swap_tm : 𝔸 → 𝔸 → tm → tm.
 625 definition sctx_app : sctx → 𝔸 → tm ≝ λM0,Y.let 〈X,M〉 ≝ M0 in swap_tm X Y M.
 626
 627 axiom in_list : ∀A:Type[0].A → list A → Prop.
 628 interpretation "list membership" 'mem x l = (in_list ? x l).
 629 interpretation "list non-membership" 'notmem x l = (Not (in_list ? x l)).
 630
 631 axiom in_Env : 𝔸 × tp → Env → Prop.
 632 notation "X ◃ G" non associative with precedence 45 for @{'lefttriangle $X $G}.
 633 interpretation "Env membership" 'lefttriangle x l = (in_Env x l).
 634
 635 let rec FV M ≝ match M with
 636   [ par X ⇒ [X]
 637   | app M1 M2 ⇒ FV M1@FV M2
 638   | abs T M0 ⇒ FV M0
 639   | _ ⇒ [ ] ].
 640
 641 (* axiom Lookup : 𝔸 → Env → option tp. *)
 642
 643 (* forma alto livello del judgment
 644    t_abs* : ∀G,T,X,M,U.
 645             (∀Y ∉ supp(M).Judg (〈Y,T〉::G) (M[Y]) U) →
 646             Judg G (Lam X T (M[X])) (arr T U) *)
 647
 648 (* prima dimostrare, poi perfezionare gli assiomi, poi dimostrarli *)
 649
 650 axiom Judg_ind : ∀P:Env → tm → tp → Prop.
 651   (∀X,G,T.〈X,T〉 ◃ G → P G (par X) T) →
 652   (∀G,M,N,T,U.
 653     Judg G M (arr T U) → Judg G N T →
 654     P G M (arr T U) → P G N T → P G (app M N) U) →
 655   (∀G,T1,T2,X,M1.
 656     (∀Y.Y ∉ (FV (Lam X T1 (sctx_app M1 X))) → Judg (〈Y,T1〉::G) (sctx_app M1 Y) T2) →
 657     (∀Y.Y ∉ (FV (Lam X T1 (sctx_app M1 X))) → P (〈Y,T1〉::G) (sctx_app M1 Y) T2) →
 658     P G (Lam X T1 (sctx_app M1 X)) (arr T1 T2)) →
 659   ∀G,M,T.Judg G M T → P G M T.
 660
 661 axiom t_par : ∀X,G,T.〈X,T〉 ◃ G → Judg G (par X) T.
 662 axiom t_app2 : ∀G,M,N,T,U.Judg G M (arr T U) → Judg G N T → Judg G (app M N) U.
 663 axiom t_Lam : ∀G,X,M,T,U.Judg (〈X,T〉::G) M U → Judg G (Lam X T M) (arr T U).
 664
 665 definition subenv ≝ λG1,G2.∀x.x ◃ G1 → x ◃ G2.
 666 interpretation "subenv" 'subseteq G1 G2 = (subenv G1 G2).
 667
 668 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 669
 670 theorem weakening : ∀G1,G2,M,T.G1 ⊆ G2 → Judg G1 M T → Judg G2 M T.
 671 #G1 #G2 #M #T #Hsub #HJ lapply Hsub lapply G2 -G2 change with (∀G2.?)
 672 @(Judg_ind … HJ)
 673 [ #X #G #T0 #Hin #G2 #Hsub @t_par @Hsub //
 674 | #G #M0 #N #T0 #U #HM0 #HN #IH1 #IH2 #G2 #Hsub @t_app2
 675   [| @IH1 // | @IH2 // ]
 676 | #G #T1 #T2 #X #M1 #HM1 #IH #G2 #Hsub @t_Lam @IH
 677   [ (* trivial property of Lam *) @daemon
 678   | (* trivial property of subenv *) @daemon ]
 679 ]
 680 qed.
 681
 682 (* Serve un tipo Tm per i termini localmente chiusi e i suoi principi di induzione e
 683    ricorsione *)