matita/matita/lib/formal_topology/basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/core_notation/fintersects_2.ma".
  16 include "formal_topology/relations.ma".
  17 include "formal_topology/notation.ma".
  18 (*
  19 record basic_pair: Type[1] ≝ {
  20    concr: REL; form: REL; rel: concr ⇒_\r1 form
  21 }.
  22
  23 interpretation "basic pair relation" 'Vdash2 x y c = (fun21 ??? (rel c) x y).
  24 interpretation "basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (rel c).
  25
  26 record relation_pair (BP1,BP2: basic_pair): Type[1] ≝ {
  27    concr_rel: (concr BP1) ⇒_\r1 (concr BP2); form_rel: (form BP1) ⇒_\r1 (form BP2);
  28    commute: comp1 REL ??? concr_rel (rel ?) =_1 form_rel ∘ ⊩
  29  }.
  30
  31 interpretation "concrete relation" 'concr_rel r = (concr_rel ?? r).
  32 interpretation "formal relation" 'form_rel r = (form_rel ?? r).
  33
  34 definition relation_pair_equality: ∀o1,o2. equivalence_relation1 (relation_pair o1 o2).
  35  intros; constructor 1; [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  36   | simplify; intros; apply refl1;
  37   | simplify; intros 2; apply sym1;
  38   | simplify; intros 3; apply trans1; ]
  39 qed.
  40
  41 definition relation_pair_setoid: basic_pair → basic_pair → setoid1.
  42  intros;
  43  constructor 1;
  44   [ apply (relation_pair b b1)
  45   | apply relation_pair_equality
  46   ]
  47 qed.
  48
  49 definition relation_pair_of_relation_pair_setoid :
  50   ∀P,Q. relation_pair_setoid P Q → relation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  51 coercion relation_pair_of_relation_pair_setoid.
  52
  53 alias symbol "compose" (instance 1) = "category1 composition".
  54 lemma eq_to_eq':
  55   ∀o1,o2.∀r,r':relation_pair_setoid o1 o2. r =_1 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_1 r'\sub\f ∘ ⊩.
  56  intros 5 (o1 o2 r r' H);
  57  apply (.= (commute ?? r)^-1);
  58  change in H with (⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  59  apply rule (.= H);
  60  apply (commute ?? r').
  61 qed.
  62
  63 definition id_relation_pair: ∀o:basic_pair. relation_pair o o.
  64  intro;
  65  constructor 1;
  66   [1,2: apply id1;
  67   | lapply (id_neutral_right1 ? (concr o) ? (⊩)) as H;
  68     lapply (id_neutral_left1 ?? (form o) (⊩)) as H1;
  69     apply (.= H);
  70     apply (H1^-1);]
  71 qed.
  72
  73 lemma relation_pair_composition:
  74   ∀o1,o2,o3: basic_pair.
  75   relation_pair_setoid o1 o2 → relation_pair_setoid o2 o3 → relation_pair_setoid o1 o3.
  76 intros 3 (o1 o2 o3);
  77   intros (r r1);
  78     constructor 1;
  79      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  80      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  81      | lapply (commute ?? r) as H;
  82        lapply (commute ?? r1) as H1;
  83        alias symbol "trans" = "trans1".
  84        alias symbol "assoc" = "category1 assoc".
  85        apply (.= ASSOC);
  86        apply (.= #‡H1);
  87        alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
  88        apply (.= ASSOC ^ -1);
  89        apply (.= H‡#);
  90        apply ASSOC]
  91 qed.
  92
  93 lemma relation_pair_composition_is_morphism:
  94   ∀o1,o2,o3: basic_pair.
  95   ∀a,a':relation_pair_setoid o1 o2.
  96   ∀b,b':relation_pair_setoid o2 o3.
  97    a=a' → b=b' →
  98     relation_pair_composition o1 o2 o3 a b
  99     = relation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
 100 intros 3 (o1 o2 o3);
 101     intros;
 102     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 103     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 104     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 105     apply (.= ASSOC);
 106     apply (.= #‡e1);
 107     apply (.= #‡(commute ?? b'));
 108     apply (.= ASSOC ^ -1);
 109     apply (.= e‡#);
 110     apply (.= ASSOC);
 111     apply (.= #‡(commute ?? b')^-1);
 112     apply (ASSOC ^ -1);
 113 qed.
 114
 115 definition relation_pair_composition_morphism:
 116  ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (relation_pair_setoid o1 o2) (relation_pair_setoid o2 o3) (relation_pair_setoid o1 o3).
 117  intros;
 118  constructor 1;
 119   [ apply relation_pair_composition;
 120   | apply relation_pair_composition_is_morphism;]
 121 qed.
 122
 123 lemma relation_pair_composition_morphism_assoc:
 124 Πo1:basic_pair
 125 .Πo2:basic_pair
 126  .Πo3:basic_pair
 127   .Πo4:basic_pair
 128    .Πa12:relation_pair_setoid o1 o2
 129     .Πa23:relation_pair_setoid o2 o3
 130      .Πa34:relation_pair_setoid o3 o4
 131       .relation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
 132        (relation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
 133        =relation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
 134         (relation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
 135    intros;
 136     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 137                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 138     alias symbol "refl" = "refl1".
 139     alias symbol "prop2" = "prop21".
 140     apply (ASSOC‡#);
 141 qed.
 142
 143 lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id:
 144   ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
 145   relation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (id_relation_pair o1) a=a.
 146    intros;
 147     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (id_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 148     apply ((id_neutral_right1 ????)‡#);
 149 qed.
 150
 151 lemma relation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
 152   ∀o1,o2:basic_pair.∀a:relation_pair_setoid o1 o2.
 153   relation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (id_relation_pair o2)=a.
 154   intros;
 155     change with (⊩ ∘ ((id_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 156     apply ((id_neutral_left1 ????)‡#);
 157 qed.
 158
 159 definition BP: category1.
 160  constructor 1;
 161   [ apply basic_pair
 162   | apply relation_pair_setoid
 163   | apply id_relation_pair
 164   | apply relation_pair_composition_morphism
 165   | apply relation_pair_composition_morphism_assoc;
 166   | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id;
 167   | apply relation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
 168 qed.
 169
 170 definition basic_pair_of_BP : objs1 BP → basic_pair ≝ λx.x.
 171 coercion basic_pair_of_BP.
 172
 173 definition relation_pair_setoid_of_arrows1_BP :
 174   ∀P,Q. arrows1 BP P Q → relation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 175 coercion relation_pair_setoid_of_arrows1_BP.
 176
 177 (*
 178 definition BPext: ∀o: BP. (form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
 179  intros; constructor 1;
 180   [ apply (ext ? ? (rel o));
 181   | intros;
 182     apply (.= #‡e);
 183     apply refl1]
 184 qed.
 185
 186 definition BPextS: ∀o: BP. Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(concr o).
 187  intros; constructor 1;
 188   [ apply (minus_image ?? (rel o));
 189   | intros; apply (#‡e); ]
 190 qed.
 191
 192 definition fintersects: ∀o: BP. (form o) × (form o) ⇒_1 Ω^(form o).
 193  intros (o); constructor 1;
 194   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 195     intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
 196   | intros; split; simplify; intros;
 197      [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
 198      | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
 199 qed.
 200
 201 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersects ?) U V).
 202
 203 definition fintersectsS:
 204  ∀o:BP. Ω^(form o) × Ω^(form o) ⇒_1 Ω^(form o).
 205  intros (o); constructor 1;
 206   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω^(form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 207     intros; simplify; apply (.= (†e)‡#); apply refl1
 208   | intros; split; simplify; intros;
 209      [ apply (. #‡((†e^-1)‡(†e1^-1))); assumption
 210      | apply (. #‡((†e)‡(†e1))); assumption]]
 211 qed.
 212
 213 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun21 ??? (fintersectsS ?) U V).
 214
 215 definition relS: ∀o: BP. (concr o) × Ω^(form o) ⇒_1 CPROP.
 216  intros (o); constructor 1;
 217   [ apply (λx:concr o.λS: Ω^(form o).∃y:form o.y ∈ S ∧ x ⊩⎽o y);
 218   | intros; split; intros; cases e2; exists [1,3: apply w]
 219      [ apply (. (#‡e1^-1)‡(e^-1‡#)); assumption
 220      | apply (. (#‡e1)‡(e‡#)); assumption]]
 221 qed.
 222
 223 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y c = (fun21 (concr ?) ?? (relS c) x y).
 224 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash c = (fun21 ??? (relS c)).
 225 *)
 226 *)