matita/matita/lib/formal_topology/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/cprop_connectives.ma".
  16 include "basics/core_notation/compose_2.ma".
  17
  18 inductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝
  19     refl: eq A x x.
  20
  21 notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
  22 for @{ 'eqID $a $b }.
  23
  24 notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
  25 for @{ 'eqID ? $a $b }.
  26
  27 interpretation "ID eq" 'eqID x y = (eq ? x y).
  28
  29 record equivalence_relation (A:Type[0]) : Type[1] ≝
  30  { eq_rel:2> A → A → CProp[0];
  31    refl: reflexive ? eq_rel;
  32    sym: symmetric ? eq_rel;
  33    trans: transitive ? eq_rel
  34  }.
  35
  36 record setoid : Type[1] ≝
  37  { carr:> Type[0];
  38    eq: equivalence_relation carr
  39  }.
  40
  41 record equivalence_relation1 (A:Type[1]) : Type[2] ≝
  42  { eq_rel1:2> A → A → CProp[1];
  43    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  44    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  45    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  46  }.
  47
  48 record setoid1: Type[2] ≝
  49  { carr1:> Type[1];
  50    eq1: equivalence_relation1 carr1
  51  }.
  52
  53 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  54  #s
  55   @mk_setoid1
  56   [ @(carr s)
  57   | @mk_equivalence_relation1
  58     [ @(eq_rel s)
  59       @(eq s)
  60     | @(refl s)
  61     | @(sym s)
  62     | @(trans s)]]
  63 qed.
  64
  65 coercion setoid1_of_setoid.
  66 (*
  67 prefer coercion Type_OF_setoid.
  68 *)
  69 record equivalence_relation2 (A:Type[2]) : Type[3] ≝
  70  { eq_rel2:2> A → A → CProp[2];
  71    refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
  72    sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
  73    trans2: transitive2 ? eq_rel2
  74  }.
  75
  76 record setoid2: Type[3] ≝
  77  { carr2:> Type[2];
  78    eq2: equivalence_relation2 carr2
  79  }.
  80
  81 definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
  82  #s
  83   @mk_setoid2
  84   [ @(carr1 s)
  85   | @mk_equivalence_relation2
  86     [ @(eq_rel1 s)
  87       @(eq1 s)
  88     | @(refl1 s)
  89     | @(sym1 s)
  90     | @(trans1 s)]]
  91 qed.
  92
  93 coercion setoid2_of_setoid1.
  94 (*
  95 prefer coercion Type_OF_setoid2.
  96 prefer coercion Type_OF_setoid.
  97 prefer coercion Type_OF_setoid1.
  98 (* we prefer 0 < 1 < 2 *)
  99 *)
 100 record equivalence_relation3 (A:Type[3]) : Type[4] ≝
 101  { eq_rel3:2> A → A → CProp[3];
 102    refl3: reflexive3 ? eq_rel3;
 103    sym3: symmetric3 ? eq_rel3;
 104    trans3: transitive3 ? eq_rel3
 105  }.
 106
 107 record setoid3: Type[4] ≝
 108  { carr3:> Type[3];
 109    eq3: equivalence_relation3 carr3
 110  }.
 111
 112 interpretation "setoid3 eq" 'eq t x y = (eq_rel3 ? (eq3 t) x y).
 113 interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
 114 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
 115 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
 116
 117 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
 118 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
 119 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
 120 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
 121 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
 122 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
 123 notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
 124 for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
 125 notation > "hvbox(a break =_3 b)" non associative with precedence 45
 126 for @{ eq_rel3 ? (eq3 ?) $a $b }.
 127
 128 interpretation "setoid3 symmetry" 'invert r = (sym3 ???? r).
 129 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
 130 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
 131 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
 132 notation ".= r" with precedence 55 for @{'trans $r}.
 133 interpretation "trans3" 'trans r = (trans3 ????? r).
 134 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
 135 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
 136 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
 137
 138 record unary_morphism (A,B: setoid) : Type[0] ≝
 139  { fun1:(*1>*) A → B;
 140    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
 141  }.
 142
 143 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
 144  { fun11:1> A → B;
 145    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
 146  }.
 147
 148 record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type[2] ≝
 149  { fun12:1> A → B;
 150    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
 151  }.
 152
 153 record unary_morphism3 (A,B: setoid3) : Type[3] ≝
 154  { fun13:1> A → B;
 155    prop13: ∀a,a'. eq3 ? a a' → eq3 ? (fun13 a) (fun13 a')
 156  }.
 157
 158 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type[0] ≝
 159  { fun2:2> A → B → C;
 160    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
 161  }.
 162
 163 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type[1] ≝
 164  { fun21:2> A → B → C;
 165    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
 166  }.
 167
 168 record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type[2] ≝
 169  { fun22:2> A → B → C;
 170    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
 171  }.
 172
 173 record binary_morphism3 (A,B,C:setoid3) : Type[3] ≝
 174  { fun23:2> A → B → C;
 175    prop23: ∀a,a',b,b'. eq3 ? a a' → eq3 ? b b' → eq3 ? (fun23 a b) (fun23 a' b')
 176  }.
 177
 178 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 179 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
 180 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 181 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
 182 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
 183 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
 184 interpretation "prop13" 'prop1 c = (prop13 ????? c).
 185 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
 186 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
 187 interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
 188 interpretation "prop23" 'prop2 l r = (prop23 ???????? l r).
 189 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
 190 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
 191 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).
 192 interpretation "refl3" 'refl = (refl3 ???).
 193
 194 notation > "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
 195 notation > "A × term 74 B ⇒_1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 196 notation > "A × term 74 B ⇒_2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 197 notation > "A × term 74 B ⇒_3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 198 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 199 notation > "B ⇒_1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 200 notation > "B ⇒_2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 201 notation > "B ⇒_2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 202
 203 notation "A × term 74 B ⇒\sub 1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 204 notation "A × term 74 B ⇒\sub 2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 205 notation "A × term 74 B ⇒\sub 3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 206 notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 207 notation "B ⇒\sub 2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 208 notation "B ⇒\sub 1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 209 notation "B ⇒\sub 2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 210
 211 interpretation "'binary_morphism0" 'binary_morphism0 A B C = (binary_morphism A B C).
 212 interpretation "'arrows2_SET1 low" 'arrows2_SET1 A B = (unary_morphism2 A B).
 213 interpretation "'arrows2_SET1low" 'arrows2_SET1low A B = (unary_morphism2 A B).
 214 interpretation "'binary_morphism1" 'binary_morphism1 A B C = (binary_morphism1 A B C).
 215 interpretation "'binary_morphism2" 'binary_morphism2 A B C = (binary_morphism2 A B C).
 216 interpretation "'binary_morphism3" 'binary_morphism3 A B C = (binary_morphism3 A B C).
 217 interpretation "'arrows1_SET low" 'arrows1_SET A B = (unary_morphism1 A B).
 218 interpretation "'arrows1_SETlow" 'arrows1_SETlow A B = (unary_morphism1 A B).
 219
 220
 221 definition unary_morphism2_of_unary_morphism1:
 222   ∀S,T:setoid1.unary_morphism1 S T → unary_morphism2 (setoid2_of_setoid1 S) T.
 223  #S #T #u
 224  @mk_unary_morphism2
 225   [ @(fun11 ?? u)
 226   | @(prop11 ?? u) ]
 227 qed.
 228
 229 definition CPROP: setoid1.
 230  @mk_setoid1
 231   [ @CProp[0]
 232   | @mk_equivalence_relation1
 233      [ @Iff
 234      | #x @mk_Iff #x1 assumption
 235      | #x #y #i cases i #f #f1 @mk_Iff assumption
 236      | #x #y #z #i1 #i cases i cases i1 #f #f1 #f2 #f3 @mk_Iff #x1
 237        [ @(f2 (f x1)) | @(f1 (f3 x1))]]]
 238 qed.
 239
 240 definition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp[0] ≝ λx.x.
 241 coercion CProp0_of_CPROP.
 242
 243 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 244 definition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
 245  #A #B #e #b @(fi ?? e) assumption.
 246 qed.
 247
 248 notation ". r" with precedence 55 for @{'fi $r}.
 249 interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
 250
 251 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 252  @mk_binary_morphism1
 253   [ @And
 254   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #a1 cases a1 #a2 #b1 @Conj
 255      [ @(if ?? e a2)
 256      | @(if ?? e1 b1)
 257      | @(fi ?? e a2)
 258      | @(fi ?? e1 b1)]]
 259 qed.
 260
 261 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ??? and_morphism a b).
 262
 263 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 264  @mk_binary_morphism1
 265   [ @Or
 266   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #o cases o #a1 [1,3: @Left |2,4: @Right]
 267      [ @(if ?? e a1)
 268      | @(fi ?? e a1)
 269      | @(if ?? e1 a1)
 270      | @(fi ?? e1 a1)]]
 271 qed.
 272
 273 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ??? or_morphism a b).
 274
 275 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 276  @mk_binary_morphism1
 277   [ @(λA,B. A → B)
 278   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #f #a1
 279      [ @(if ?? e1) @f @(fi ?? e) assumption
 280      | @(fi ?? e1) @f @(if ?? e) assumption]]
 281 qed.
 282 (*
 283 notation > "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ comp ??? $a $b }.
 284 *)
 285 record category : Type[1] ≝ {
 286    objs:> Type[0];
 287    arrows: objs → objs → setoid;
 288    id: ∀o:objs. arrows o o;
 289    comp: ∀o1,o2,o3. (arrows o1 o2) × (arrows o2 o3) ⇒ (arrows o1 o3);
 290    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4.∀a12:arrows o1 ?.∀a23:arrows o2 ?.∀a34:arrows o3 o4.
 291    comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_0 comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 292    id_neutral_left : ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a =_0 a;
 293    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) =_0 a
 294 }.
 295 (*
 296 notation "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ 'compose $a $b }.
 297 *)
 298 record category1 : Type[2] ≝
 299  { objs1:> Type[1];
 300    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 301    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 302    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 303    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 304     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_1 comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 305    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a =_1 a;
 306    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) =_1 a
 307  }.
 308
 309 record category2 : Type[3] ≝
 310  { objs2:> Type[2];
 311    arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
 312    id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
 313    comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
 314    comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 315     comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_2 comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
 316    id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a =_2 a;
 317    id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) =_2 a
 318  }.
 319
 320 record category3 : Type[4] ≝
 321  { objs3:> Type[3];
 322    arrows3: objs3 → objs3 → setoid3;
 323    id3: ∀o:objs3. arrows3 o o;
 324    comp3: ∀o1,o2,o3. binary_morphism3 (arrows3 o1 o2) (arrows3 o2 o3) (arrows3 o1 o3);
 325    comp_assoc3: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 326     comp3 o1 o3 o4 (comp3 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_3 comp3 o1 o2 o4 a12 (comp3 o2 o3 o4 a23 a34);
 327    id_neutral_right3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? (id3 o1) a =_3 a;
 328    id_neutral_left3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? a (id3 o2) =_3 a
 329  }.
 330
 331 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 332
 333 interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ??? (comp2 ????) y x).
 334 interpretation "category2 assoc" 'assoc = (comp_assoc2 ????????).
 335 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ??? (comp1 ????) y x).
 336 interpretation "category1 assoc" 'assoc = (comp_assoc1 ????????).
 337 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ??? (comp ????) y x).
 338 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
 339
 340 definition category2_of_category1: category1 → category2.
 341  #c
 342  @mk_category2
 343   [ @(objs1 c)
 344   | #o #o1 @(setoid2_of_setoid1 (arrows1 c o o1))
 345   | @(id1 c)
 346   | #o1 #o2 #o3
 347     @mk_binary_morphism2
 348      [ #c1 #c2 @(comp1 c o1 o2 o3 c1 c2)
 349      | #a #a' #b #b' #e #e1 @(e‡e1) ]
 350   | #o1 #o2 #o3 #o4 #a12 #a23 #a34 @comp_assoc1
 351   | #o1 #o2 #a @id_neutral_right1
 352   | #o1 #o2 #a @id_neutral_left1 ]
 353 qed.
 354 (*coercion category2_of_category1.*)
 355
 356 record functor2 (C1: category2) (C2: category2) : Type[3] ≝
 357  { map_objs2:1> C1 → C2;
 358    map_arrows2: ∀S,T. unary_morphism2 (arrows2 ? S T) (arrows2 ? (map_objs2 S) (map_objs2 T));
 359    respects_id2: ∀o:C1. map_arrows2 ?? (id2 ? o) = id2 ? (map_objs2 o);
 360    respects_comp2:
 361      ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows2 ? o1 o2.∀f2:arrows2 ? o2 o3.
 362      map_arrows2 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows2 ?? f2 ∘ map_arrows2 ?? f1}.
 363
 364 notation > "F⎽⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 365 notation "F\sub⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 366 interpretation "map_arrows2" 'map_arrows2 F x = (fun12 ?? (map_arrows2 ?? F ??) x).
 367 (* BEGIN HERE
 368 definition functor2_setoid: category2 → category2 → setoid3.
 369  #C1 #C2
 370  @mk_setoid3
 371   [ @(functor2 C1 C2)
 372   | @mk_equivalence_relation3
 373      [ #f #g
 374        @(∀c:C1. cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? (f c) (g c));
 375      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1);
 376      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con; @H;
 377      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con;
 378         [2: @H; | skip | @H1;]]]
 379 qed.
 380
 381 definition functor2_of_functor2_setoid: ∀S,T. functor2_setoid S T → functor2 S T ≝ λS,T,x.x.
 382 coercion functor2_of_functor2_setoid.
 383
 384 definition CAT2: category3.
 385  constructor 1;
 386   [ @category2;
 387   | @functor2_setoid;
 388   | intros; constructor 1;
 389      [ @(λx.x);
 390      | intros; constructor 1;
 391         [ @(λx.x);
 392         | intros; assumption;]
 393      | intros; @rule #;
 394      | intros; @rule #; ]
 395   | intros; constructor 1;
 396      [ intros; constructor 1;
 397         [ intros; @(c1 (c o));
 398         | intros; constructor 1;
 399            [ intro; @(map_arrows2 ?? c1 ?? (map_arrows2 ?? c ?? c2));
 400            | intros; @(††e); ]
 401         | intros; simplify;
 402           @(.= †(respects_id2 : ?));
 403           @(respects_id2 : ?);
 404         | intros; simplify;
 405           @(.= †(respects_comp2 : ?));
 406           @(respects_comp2 : ?); ]
 407         | intros; intro; simplify;
 408           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e ?));
 409           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e1 ?));
 410           constructor 1; ]
 411         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 412         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 413         | intros; intro; simplify; constructor 1; ]
 414 qed.
 415
 416 definition category2_of_objs3_CAT2: objs3 CAT2 → category2 ≝ λx.x.
 417 coercion category2_of_objs3_CAT2.
 418
 419 definition functor2_setoid_of_arrows3_CAT2: ∀S,T. arrows3 CAT2 S T → functor2_setoid S T ≝ λS,T,x.x.
 420 coercion functor2_setoid_of_arrows3_CAT2.
 421
 422 notation > "B ⇒_\c3 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 423 notation "B ⇒\sub (\c 3) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 424 interpretation "'arrows3_CAT" 'arrows3_CAT A B = (arrows3 CAT2 A B).
 425
 426 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
 427  intros;
 428  constructor 1;
 429   [ @(unary_morphism s s1);
 430   | constructor 1;
 431      [ intros (f g); @(∀a:s. eq ? (f a) (g a));
 432      | intros 1; simplify; intros; @refl;
 433      | simplify; intros; @sym; @f;
 434      | simplify; intros; @trans; [2: @f; | skip | @f1]]]
 435 qed.
 436
 437 definition SET: category1.
 438  constructor 1;
 439   [ @setoid;
 440   | @rule (λS,T:setoid.setoid1_of_setoid (unary_morphism_setoid S T));
 441   | intros; constructor 1; [ @(λx:carr o.x); | intros; assumption ]
 442   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 443      @(† (†e));]
 444   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 445     @trans; [ @(b (a' a1)); | l@(prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
 446      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 447   | intros; whd; intros; simplify; @refl;
 448   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 449   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 450   ]
 451 qed.
 452
 453 definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid ≝ λx.x.
 454 coercion setoid_of_SET.
 455
 456 definition unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET:
 457   ∀P,Q.arrows1 SET P Q → unary_morphism_setoid P Q  ≝ λP,Q,x.x.
 458 coercion unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET.
 459
 460 interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_SET A B = (arrows1 SET A B).
 461
 462 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
 463  intros;
 464  constructor 1;
 465   [ @(unary_morphism1 s s1);
 466   | constructor 1;
 467      [ intros (f g);
 468        alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 469        @(∀a: carr1 s. f a = g a);
 470      | intros 1; simplify; intros; @refl1;
 471      | simplify; intros; @sym1; @f;
 472      | simplify; intros; @trans1; [2: @f; | skip | @f1]]]
 473 qed.
 474
 475 definition unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1 :
 476   ∀S,T. unary_morphism1_setoid1 S T → unary_morphism1 S T ≝ λP,Q,x.x.
 477 coercion unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1.
 478
 479 definition SET1: objs3 CAT2.
 480  constructor 1;
 481   [ @setoid1;
 482   | @rule (λS,T.setoid2_of_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 S T));
 483   | intros; constructor 1; [ @(λx.x); | intros; assumption ]
 484   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 485      @(† (†e));]
 486   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 487     @trans1; [ @(b (a' a1)); | l@(prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
 488      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 489   | intros; whd; intros; simplify; @refl1;
 490   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 491   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 492   ]
 493 qed.
 494
 495 interpretation "'arrows2_SET1" 'arrows2_SET1 A B = (arrows2 SET1 A B).
 496
 497 definition setoid1_of_SET1: objs2 SET1 → setoid1 ≝ λx.x.
 498 coercion setoid1_of_SET1.
 499
 500 definition unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1:
 501   ∀P,Q.arrows2 SET1 P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q ≝ λP,Q,x.x.
 502 coercion unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1.
 503
 504 variant objs2_of_category1: objs1 SET → objs2 SET1 ≝ setoid1_of_setoid.
 505 coercion objs2_of_category1.
 506
 507 prefer coercion Type_OF_setoid. (* we prefer the lower carrier projection *)
 508 prefer coercion Type_OF_objs1.
 509
 510 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp[2] exists".
 511 definition full2 ≝
 512   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 513     ∀o1,o2:A.∀f.∃g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ g =_2 f.
 514 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp exists".
 515
 516 definition faithful2 ≝
 517   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 518     ∀o1,o2:A.∀f,g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ f =_2 F⎽⇒ g → f =_2 g.
 519
 520
 521 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 522 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 523
 524 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 525 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 526
 527 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 528 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 529 *)