matita/matita/lib/formal_topology/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/cprop_connectives.ma".
  16
  17 inductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝
  18     refl: eq A x x.
  19
  20 notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
  21 for @{ 'eqID $a $b }.
  22
  23 notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
  24 for @{ 'eqID ? $a $b }.
  25
  26 interpretation "ID eq" 'eqID x y = (eq ? x y).
  27
  28 record equivalence_relation (A:Type[0]) : Type[1] ≝
  29  { eq_rel:2> A → A → CProp[0];
  30    refl: reflexive ? eq_rel;
  31    sym: symmetric ? eq_rel;
  32    trans: transitive ? eq_rel
  33  }.
  34
  35 record setoid : Type[1] ≝
  36  { carr:> Type[0];
  37    eq: equivalence_relation carr
  38  }.
  39
  40 record equivalence_relation1 (A:Type[1]) : Type[2] ≝
  41  { eq_rel1:2> A → A → CProp[1];
  42    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  43    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  44    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  45  }.
  46
  47 record setoid1: Type[2] ≝
  48  { carr1:> Type[1];
  49    eq1: equivalence_relation1 carr1
  50  }.
  51
  52 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  53  #s
  54   @mk_setoid1
  55   [ @(carr s)
  56   | @mk_equivalence_relation1
  57     [ @(eq_rel s)
  58       @(eq s)
  59     | @(refl s)
  60     | @(sym s)
  61     | @(trans s)]]
  62 qed.
  63
  64 coercion setoid1_of_setoid.
  65 (*
  66 prefer coercion Type_OF_setoid.
  67 *)
  68 record equivalence_relation2 (A:Type[2]) : Type[3] ≝
  69  { eq_rel2:2> A → A → CProp[2];
  70    refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
  71    sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
  72    trans2: transitive2 ? eq_rel2
  73  }.
  74
  75 record setoid2: Type[3] ≝
  76  { carr2:> Type[2];
  77    eq2: equivalence_relation2 carr2
  78  }.
  79
  80 definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
  81  #s
  82   @mk_setoid2
  83   [ @(carr1 s)
  84   | @mk_equivalence_relation2
  85     [ @(eq_rel1 s)
  86       @(eq1 s)
  87     | @(refl1 s)
  88     | @(sym1 s)
  89     | @(trans1 s)]]
  90 qed.
  91
  92 coercion setoid2_of_setoid1.
  93 (*
  94 prefer coercion Type_OF_setoid2.
  95 prefer coercion Type_OF_setoid.
  96 prefer coercion Type_OF_setoid1.
  97 (* we prefer 0 < 1 < 2 *)
  98 *)
  99 record equivalence_relation3 (A:Type[3]) : Type[4] ≝
 100  { eq_rel3:2> A → A → CProp[3];
 101    refl3: reflexive3 ? eq_rel3;
 102    sym3: symmetric3 ? eq_rel3;
 103    trans3: transitive3 ? eq_rel3
 104  }.
 105
 106 record setoid3: Type[4] ≝
 107  { carr3:> Type[3];
 108    eq3: equivalence_relation3 carr3
 109  }.
 110
 111 interpretation "setoid3 eq" 'eq t x y = (eq_rel3 ? (eq3 t) x y).
 112 interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
 113 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
 114 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
 115
 116 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
 117 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
 118 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
 119 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
 120 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
 121 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
 122 notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
 123 for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
 124 notation > "hvbox(a break =_3 b)" non associative with precedence 45
 125 for @{ eq_rel3 ? (eq3 ?) $a $b }.
 126
 127 interpretation "setoid3 symmetry" 'invert r = (sym3 ???? r).
 128 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
 129 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
 130 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
 131 notation ".= r" with precedence 55 for @{'trans $r}.
 132 interpretation "trans3" 'trans r = (trans3 ????? r).
 133 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
 134 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
 135 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
 136
 137 record unary_morphism (A,B: setoid) : Type[0] ≝
 138  { fun1:(*1>*) A → B;
 139    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
 140  }.
 141
 142 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
 143  { fun11:1> A → B;
 144    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
 145  }.
 146
 147 record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type[2] ≝
 148  { fun12:1> A → B;
 149    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
 150  }.
 151
 152 record unary_morphism3 (A,B: setoid3) : Type[3] ≝
 153  { fun13:1> A → B;
 154    prop13: ∀a,a'. eq3 ? a a' → eq3 ? (fun13 a) (fun13 a')
 155  }.
 156
 157 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type[0] ≝
 158  { fun2:2> A → B → C;
 159    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
 160  }.
 161
 162 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type[1] ≝
 163  { fun21:2> A → B → C;
 164    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
 165  }.
 166
 167 record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type[2] ≝
 168  { fun22:2> A → B → C;
 169    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
 170  }.
 171
 172 record binary_morphism3 (A,B,C:setoid3) : Type[3] ≝
 173  { fun23:2> A → B → C;
 174    prop23: ∀a,a',b,b'. eq3 ? a a' → eq3 ? b b' → eq3 ? (fun23 a b) (fun23 a' b')
 175  }.
 176
 177 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 178 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
 179 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 180 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
 181 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
 182 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
 183 interpretation "prop13" 'prop1 c = (prop13 ????? c).
 184 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
 185 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
 186 interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
 187 interpretation "prop23" 'prop2 l r = (prop23 ???????? l r).
 188 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
 189 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
 190 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).
 191 interpretation "refl3" 'refl = (refl3 ???).
 192
 193 notation > "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
 194 notation > "A × term 74 B ⇒_1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 195 notation > "A × term 74 B ⇒_2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 196 notation > "A × term 74 B ⇒_3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 197 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 198 notation > "B ⇒_1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 199 notation > "B ⇒_2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 200 notation > "B ⇒_2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 201
 202 notation "A × term 74 B ⇒\sub 1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 203 notation "A × term 74 B ⇒\sub 2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 204 notation "A × term 74 B ⇒\sub 3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 205 notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 206 notation "B ⇒\sub 2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 207 notation "B ⇒\sub 1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 208 notation "B ⇒\sub 2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 209
 210 interpretation "'binary_morphism0" 'binary_morphism0 A B C = (binary_morphism A B C).
 211 interpretation "'arrows2_SET1 low" 'arrows2_SET1 A B = (unary_morphism2 A B).
 212 interpretation "'arrows2_SET1low" 'arrows2_SET1low A B = (unary_morphism2 A B).
 213 interpretation "'binary_morphism1" 'binary_morphism1 A B C = (binary_morphism1 A B C).
 214 interpretation "'binary_morphism2" 'binary_morphism2 A B C = (binary_morphism2 A B C).
 215 interpretation "'binary_morphism3" 'binary_morphism3 A B C = (binary_morphism3 A B C).
 216 interpretation "'arrows1_SET low" 'arrows1_SET A B = (unary_morphism1 A B).
 217 interpretation "'arrows1_SETlow" 'arrows1_SETlow A B = (unary_morphism1 A B).
 218
 219
 220 definition unary_morphism2_of_unary_morphism1:
 221   ∀S,T:setoid1.unary_morphism1 S T → unary_morphism2 (setoid2_of_setoid1 S) T.
 222  #S #T #u
 223  @mk_unary_morphism2
 224   [ @(fun11 ?? u)
 225   | @(prop11 ?? u) ]
 226 qed.
 227
 228 definition CPROP: setoid1.
 229  @mk_setoid1
 230   [ @CProp[0]
 231   | @mk_equivalence_relation1
 232      [ @Iff
 233      | #x @mk_Iff #x1 assumption
 234      | #x #y #i cases i #f #f1 @mk_Iff assumption
 235      | #x #y #z #i1 #i cases i cases i1 #f #f1 #f2 #f3 @mk_Iff #x1
 236        [ @(f2 (f x1)) | @(f1 (f3 x1))]]]
 237 qed.
 238
 239 definition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp[0] ≝ λx.x.
 240 coercion CProp0_of_CPROP.
 241
 242 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 243 definition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
 244  #A #B #e #b @(fi ?? e) assumption.
 245 qed.
 246
 247 notation ". r" with precedence 55 for @{'fi $r}.
 248 interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
 249
 250 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 251  @mk_binary_morphism1
 252   [ @And
 253   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #a1 cases a1 #a2 #b1 @Conj
 254      [ @(if ?? e a2)
 255      | @(if ?? e1 b1)
 256      | @(fi ?? e a2)
 257      | @(fi ?? e1 b1)]]
 258 qed.
 259
 260 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ??? and_morphism a b).
 261
 262 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 263  @mk_binary_morphism1
 264   [ @Or
 265   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #o cases o #a1 [1,3: @Left |2,4: @Right]
 266      [ @(if ?? e a1)
 267      | @(fi ?? e a1)
 268      | @(if ?? e1 a1)
 269      | @(fi ?? e1 a1)]]
 270 qed.
 271
 272 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ??? or_morphism a b).
 273
 274 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 275  @mk_binary_morphism1
 276   [ @(λA,B. A → B)
 277   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #f #a1
 278      [ @(if ?? e1) @f @(fi ?? e) assumption
 279      | @(fi ?? e1) @f @(if ?? e) assumption]]
 280 qed.
 281 (*
 282 notation > "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ comp ??? $a $b }.
 283 *)
 284 record category : Type[1] ≝ {
 285    objs:> Type[0];
 286    arrows: objs → objs → setoid;
 287    id: ∀o:objs. arrows o o;
 288    comp: ∀o1,o2,o3. (arrows o1 o2) × (arrows o2 o3) ⇒ (arrows o1 o3);
 289    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4.∀a12:arrows o1 ?.∀a23:arrows o2 ?.∀a34:arrows o3 o4.
 290    comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_0 comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 291    id_neutral_left : ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a =_0 a;
 292    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) =_0 a
 293 }.
 294 (*
 295 notation "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ 'compose $a $b }.
 296 *)
 297 record category1 : Type[2] ≝
 298  { objs1:> Type[1];
 299    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 300    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 301    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 302    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 303     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_1 comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 304    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a =_1 a;
 305    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) =_1 a
 306  }.
 307
 308 record category2 : Type[3] ≝
 309  { objs2:> Type[2];
 310    arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
 311    id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
 312    comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
 313    comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 314     comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_2 comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
 315    id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a =_2 a;
 316    id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) =_2 a
 317  }.
 318
 319 record category3 : Type[4] ≝
 320  { objs3:> Type[3];
 321    arrows3: objs3 → objs3 → setoid3;
 322    id3: ∀o:objs3. arrows3 o o;
 323    comp3: ∀o1,o2,o3. binary_morphism3 (arrows3 o1 o2) (arrows3 o2 o3) (arrows3 o1 o3);
 324    comp_assoc3: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 325     comp3 o1 o3 o4 (comp3 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_3 comp3 o1 o2 o4 a12 (comp3 o2 o3 o4 a23 a34);
 326    id_neutral_right3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? (id3 o1) a =_3 a;
 327    id_neutral_left3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? a (id3 o2) =_3 a
 328  }.
 329
 330 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 331
 332 interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ??? (comp2 ????) y x).
 333 interpretation "category2 assoc" 'assoc = (comp_assoc2 ????????).
 334 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ??? (comp1 ????) y x).
 335 interpretation "category1 assoc" 'assoc = (comp_assoc1 ????????).
 336 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ??? (comp ????) y x).
 337 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
 338
 339 definition category2_of_category1: category1 → category2.
 340  #c
 341  @mk_category2
 342   [ @(objs1 c)
 343   | #o #o1 @(setoid2_of_setoid1 (arrows1 c o o1))
 344   | @(id1 c)
 345   | #o1 #o2 #o3
 346     @mk_binary_morphism2
 347      [ #c1 #c2 @(comp1 c o1 o2 o3 c1 c2)
 348      | #a #a' #b #b' #e #e1 @(e‡e1) ]
 349   | #o1 #o2 #o3 #o4 #a12 #a23 #a34 @comp_assoc1
 350   | #o1 #o2 #a @id_neutral_right1
 351   | #o1 #o2 #a @id_neutral_left1 ]
 352 qed.
 353 (*coercion category2_of_category1.*)
 354
 355 record functor2 (C1: category2) (C2: category2) : Type[3] ≝
 356  { map_objs2:1> C1 → C2;
 357    map_arrows2: ∀S,T. unary_morphism2 (arrows2 ? S T) (arrows2 ? (map_objs2 S) (map_objs2 T));
 358    respects_id2: ∀o:C1. map_arrows2 ?? (id2 ? o) = id2 ? (map_objs2 o);
 359    respects_comp2:
 360      ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows2 ? o1 o2.∀f2:arrows2 ? o2 o3.
 361      map_arrows2 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows2 ?? f2 ∘ map_arrows2 ?? f1}.
 362
 363 notation > "F⎽⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 364 notation "F\sub⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 365 interpretation "map_arrows2" 'map_arrows2 F x = (fun12 ?? (map_arrows2 ?? F ??) x).
 366 (* BEGIN HERE
 367 definition functor2_setoid: category2 → category2 → setoid3.
 368  #C1 #C2
 369  @mk_setoid3
 370   [ @(functor2 C1 C2)
 371   | @mk_equivalence_relation3
 372      [ #f #g
 373        @(∀c:C1. cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? (f c) (g c));
 374      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1);
 375      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con; @H;
 376      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con;
 377         [2: @H; | skip | @H1;]]]
 378 qed.
 379
 380 definition functor2_of_functor2_setoid: ∀S,T. functor2_setoid S T → functor2 S T ≝ λS,T,x.x.
 381 coercion functor2_of_functor2_setoid.
 382
 383 definition CAT2: category3.
 384  constructor 1;
 385   [ @category2;
 386   | @functor2_setoid;
 387   | intros; constructor 1;
 388      [ @(λx.x);
 389      | intros; constructor 1;
 390         [ @(λx.x);
 391         | intros; assumption;]
 392      | intros; @rule #;
 393      | intros; @rule #; ]
 394   | intros; constructor 1;
 395      [ intros; constructor 1;
 396         [ intros; @(c1 (c o));
 397         | intros; constructor 1;
 398            [ intro; @(map_arrows2 ?? c1 ?? (map_arrows2 ?? c ?? c2));
 399            | intros; @(††e); ]
 400         | intros; simplify;
 401           @(.= †(respects_id2 : ?));
 402           @(respects_id2 : ?);
 403         | intros; simplify;
 404           @(.= †(respects_comp2 : ?));
 405           @(respects_comp2 : ?); ]
 406         | intros; intro; simplify;
 407           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e ?));
 408           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e1 ?));
 409           constructor 1; ]
 410         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 411         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 412         | intros; intro; simplify; constructor 1; ]
 413 qed.
 414
 415 definition category2_of_objs3_CAT2: objs3 CAT2 → category2 ≝ λx.x.
 416 coercion category2_of_objs3_CAT2.
 417
 418 definition functor2_setoid_of_arrows3_CAT2: ∀S,T. arrows3 CAT2 S T → functor2_setoid S T ≝ λS,T,x.x.
 419 coercion functor2_setoid_of_arrows3_CAT2.
 420
 421 notation > "B ⇒_\c3 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 422 notation "B ⇒\sub (\c 3) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 423 interpretation "'arrows3_CAT" 'arrows3_CAT A B = (arrows3 CAT2 A B).
 424
 425 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
 426  intros;
 427  constructor 1;
 428   [ @(unary_morphism s s1);
 429   | constructor 1;
 430      [ intros (f g); @(∀a:s. eq ? (f a) (g a));
 431      | intros 1; simplify; intros; @refl;
 432      | simplify; intros; @sym; @f;
 433      | simplify; intros; @trans; [2: @f; | skip | @f1]]]
 434 qed.
 435
 436 definition SET: category1.
 437  constructor 1;
 438   [ @setoid;
 439   | @rule (λS,T:setoid.setoid1_of_setoid (unary_morphism_setoid S T));
 440   | intros; constructor 1; [ @(λx:carr o.x); | intros; assumption ]
 441   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 442      @(† (†e));]
 443   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 444     @trans; [ @(b (a' a1)); | l@(prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
 445      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 446   | intros; whd; intros; simplify; @refl;
 447   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 448   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 449   ]
 450 qed.
 451
 452 definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid ≝ λx.x.
 453 coercion setoid_of_SET.
 454
 455 definition unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET:
 456   ∀P,Q.arrows1 SET P Q → unary_morphism_setoid P Q  ≝ λP,Q,x.x.
 457 coercion unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET.
 458
 459 interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_SET A B = (arrows1 SET A B).
 460
 461 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
 462  intros;
 463  constructor 1;
 464   [ @(unary_morphism1 s s1);
 465   | constructor 1;
 466      [ intros (f g);
 467        alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 468        @(∀a: carr1 s. f a = g a);
 469      | intros 1; simplify; intros; @refl1;
 470      | simplify; intros; @sym1; @f;
 471      | simplify; intros; @trans1; [2: @f; | skip | @f1]]]
 472 qed.
 473
 474 definition unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1 :
 475   ∀S,T. unary_morphism1_setoid1 S T → unary_morphism1 S T ≝ λP,Q,x.x.
 476 coercion unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1.
 477
 478 definition SET1: objs3 CAT2.
 479  constructor 1;
 480   [ @setoid1;
 481   | @rule (λS,T.setoid2_of_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 S T));
 482   | intros; constructor 1; [ @(λx.x); | intros; assumption ]
 483   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 484      @(† (†e));]
 485   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 486     @trans1; [ @(b (a' a1)); | l@(prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
 487      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 488   | intros; whd; intros; simplify; @refl1;
 489   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 490   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 491   ]
 492 qed.
 493
 494 interpretation "'arrows2_SET1" 'arrows2_SET1 A B = (arrows2 SET1 A B).
 495
 496 definition setoid1_of_SET1: objs2 SET1 → setoid1 ≝ λx.x.
 497 coercion setoid1_of_SET1.
 498
 499 definition unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1:
 500   ∀P,Q.arrows2 SET1 P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q ≝ λP,Q,x.x.
 501 coercion unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1.
 502
 503 variant objs2_of_category1: objs1 SET → objs2 SET1 ≝ setoid1_of_setoid.
 504 coercion objs2_of_category1.
 505
 506 prefer coercion Type_OF_setoid. (* we prefer the lower carrier projection *)
 507 prefer coercion Type_OF_objs1.
 508
 509 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp[2] exists".
 510 definition full2 ≝
 511   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 512     ∀o1,o2:A.∀f.∃g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ g =_2 f.
 513 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp exists".
 514
 515 definition faithful2 ≝
 516   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 517     ∀o1,o2:A.∀f,g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ f =_2 F⎽⇒ g → f =_2 g.
 518
 519
 520 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 521 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 522
 523 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 524 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 525
 526 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 527 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 528 *)