matita/matita/lib/formal_topology/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/cprop_connectives.ma".
  16 include "basics/core_notation/compose_2.ma".
  17 include "basics/core_notation/invert_1.ma".
  18
  19 inductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝
  20     refl: eq A x x.
  21
  22 notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
  23 for @{ 'eqID $a $b }.
  24
  25 notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
  26 for @{ 'eqID ? $a $b }.
  27
  28 interpretation "ID eq" 'eqID x y = (eq ? x y).
  29
  30 record equivalence_relation (A:Type[0]) : Type[1] ≝
  31  { eq_rel:2> A → A → CProp[0];
  32    refl: reflexive ? eq_rel;
  33    sym: symmetric ? eq_rel;
  34    trans: transitive ? eq_rel
  35  }.
  36
  37 record setoid : Type[1] ≝
  38  { carr:> Type[0];
  39    eq: equivalence_relation carr
  40  }.
  41
  42 record equivalence_relation1 (A:Type[1]) : Type[2] ≝
  43  { eq_rel1:2> A → A → CProp[1];
  44    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  45    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  46    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  47  }.
  48
  49 record setoid1: Type[2] ≝
  50  { carr1:> Type[1];
  51    eq1: equivalence_relation1 carr1
  52  }.
  53
  54 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  55  #s
  56   @mk_setoid1
  57   [ @(carr s)
  58   | @mk_equivalence_relation1
  59     [ @(eq_rel s)
  60       @(eq s)
  61     | @(refl s)
  62     | @(sym s)
  63     | @(trans s)]]
  64 qed.
  65
  66 coercion setoid1_of_setoid.
  67 (*
  68 prefer coercion Type_OF_setoid.
  69 *)
  70 record equivalence_relation2 (A:Type[2]) : Type[3] ≝
  71  { eq_rel2:2> A → A → CProp[2];
  72    refl2: reflexive2 ? eq_rel2;
  73    sym2: symmetric2 ? eq_rel2;
  74    trans2: transitive2 ? eq_rel2
  75  }.
  76
  77 record setoid2: Type[3] ≝
  78  { carr2:> Type[2];
  79    eq2: equivalence_relation2 carr2
  80  }.
  81
  82 definition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
  83  #s
  84   @mk_setoid2
  85   [ @(carr1 s)
  86   | @mk_equivalence_relation2
  87     [ @(eq_rel1 s)
  88       @(eq1 s)
  89     | @(refl1 s)
  90     | @(sym1 s)
  91     | @(trans1 s)]]
  92 qed.
  93
  94 coercion setoid2_of_setoid1.
  95 (*
  96 prefer coercion Type_OF_setoid2.
  97 prefer coercion Type_OF_setoid.
  98 prefer coercion Type_OF_setoid1.
  99 (* we prefer 0 < 1 < 2 *)
 100 *)
 101 record equivalence_relation3 (A:Type[3]) : Type[4] ≝
 102  { eq_rel3:2> A → A → CProp[3];
 103    refl3: reflexive3 ? eq_rel3;
 104    sym3: symmetric3 ? eq_rel3;
 105    trans3: transitive3 ? eq_rel3
 106  }.
 107
 108 record setoid3: Type[4] ≝
 109  { carr3:> Type[3];
 110    eq3: equivalence_relation3 carr3
 111  }.
 112
 113 interpretation "setoid3 eq" 'eq t x y = (eq_rel3 ? (eq3 t) x y).
 114 interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
 115 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
 116 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
 117
 118 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
 119 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
 120 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
 121 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
 122 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
 123 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
 124 notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
 125 for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
 126 notation > "hvbox(a break =_3 b)" non associative with precedence 45
 127 for @{ eq_rel3 ? (eq3 ?) $a $b }.
 128
 129 interpretation "setoid3 symmetry" 'invert r = (sym3 ???? r).
 130 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
 131 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
 132 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
 133 notation ".= r" with precedence 55 for @{'trans $r}.
 134 interpretation "trans3" 'trans r = (trans3 ????? r).
 135 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
 136 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
 137 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
 138
 139 record unary_morphism (A,B: setoid) : Type[0] ≝
 140  { fun1:(*1>*) A → B;
 141    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
 142  }.
 143
 144 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
 145  { fun11:1> A → B;
 146    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
 147  }.
 148
 149 record unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type[2] ≝
 150  { fun12:1> A → B;
 151    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
 152  }.
 153
 154 record unary_morphism3 (A,B: setoid3) : Type[3] ≝
 155  { fun13:1> A → B;
 156    prop13: ∀a,a'. eq3 ? a a' → eq3 ? (fun13 a) (fun13 a')
 157  }.
 158
 159 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type[0] ≝
 160  { fun2:2> A → B → C;
 161    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
 162  }.
 163
 164 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type[1] ≝
 165  { fun21:2> A → B → C;
 166    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
 167  }.
 168
 169 record binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type[2] ≝
 170  { fun22:2> A → B → C;
 171    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
 172  }.
 173
 174 record binary_morphism3 (A,B,C:setoid3) : Type[3] ≝
 175  { fun23:2> A → B → C;
 176    prop23: ∀a,a',b,b'. eq3 ? a a' → eq3 ? b b' → eq3 ? (fun23 a b) (fun23 a' b')
 177  }.
 178
 179 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 180 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
 181 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 182 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
 183 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
 184 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
 185 interpretation "prop13" 'prop1 c = (prop13 ????? c).
 186 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
 187 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
 188 interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
 189 interpretation "prop23" 'prop2 l r = (prop23 ???????? l r).
 190 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
 191 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
 192 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).
 193 interpretation "refl3" 'refl = (refl3 ???).
 194
 195 notation > "A × term 74 B ⇒ term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism0 $A $B $C}.
 196 notation > "A × term 74 B ⇒_1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 197 notation > "A × term 74 B ⇒_2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 198 notation > "A × term 74 B ⇒_3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 199 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 200 notation > "B ⇒_1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 201 notation > "B ⇒_2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 202 notation > "B ⇒_2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 203
 204 notation "A × term 74 B ⇒\sub 1 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism1 $A $B $C}.
 205 notation "A × term 74 B ⇒\sub 2 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism2 $A $B $C}.
 206 notation "A × term 74 B ⇒\sub 3 term 19 C" non associative with precedence 72 for @{'binary_morphism3 $A $B $C}.
 207 notation "B ⇒\sub 1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SET $B $C}.
 208 notation "B ⇒\sub 2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1 $B $C}.
 209 notation "B ⇒\sub 1. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_SETlow $B $C}.
 210 notation "B ⇒\sub 2. C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_SET1low $B $C}.
 211
 212 interpretation "'binary_morphism0" 'binary_morphism0 A B C = (binary_morphism A B C).
 213 interpretation "'arrows2_SET1 low" 'arrows2_SET1 A B = (unary_morphism2 A B).
 214 interpretation "'arrows2_SET1low" 'arrows2_SET1low A B = (unary_morphism2 A B).
 215 interpretation "'binary_morphism1" 'binary_morphism1 A B C = (binary_morphism1 A B C).
 216 interpretation "'binary_morphism2" 'binary_morphism2 A B C = (binary_morphism2 A B C).
 217 interpretation "'binary_morphism3" 'binary_morphism3 A B C = (binary_morphism3 A B C).
 218 interpretation "'arrows1_SET low" 'arrows1_SET A B = (unary_morphism1 A B).
 219 interpretation "'arrows1_SETlow" 'arrows1_SETlow A B = (unary_morphism1 A B).
 220
 221
 222 definition unary_morphism2_of_unary_morphism1:
 223   ∀S,T:setoid1.unary_morphism1 S T → unary_morphism2 (setoid2_of_setoid1 S) T.
 224  #S #T #u
 225  @mk_unary_morphism2
 226   [ @(fun11 ?? u)
 227   | @(prop11 ?? u) ]
 228 qed.
 229
 230 definition CPROP: setoid1.
 231  @mk_setoid1
 232   [ @CProp[0]
 233   | @mk_equivalence_relation1
 234      [ @Iff
 235      | #x @mk_Iff #x1 assumption
 236      | #x #y #i cases i #f #f1 @mk_Iff assumption
 237      | #x #y #z #i1 #i cases i cases i1 #f #f1 #f2 #f3 @mk_Iff #x1
 238        [ @(f2 (f x1)) | @(f1 (f3 x1))]]]
 239 qed.
 240
 241 definition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp[0] ≝ λx.x.
 242 coercion CProp0_of_CPROP.
 243
 244 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 245 definition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
 246  #A #B #e #b @(fi ?? e) assumption.
 247 qed.
 248
 249 notation ". r" with precedence 55 for @{'fi $r}.
 250 interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
 251
 252 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 253  @mk_binary_morphism1
 254   [ @And
 255   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #a1 cases a1 #a2 #b1 @Conj
 256      [ @(if ?? e a2)
 257      | @(if ?? e1 b1)
 258      | @(fi ?? e a2)
 259      | @(fi ?? e1 b1)]]
 260 qed.
 261
 262 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun21 ??? and_morphism a b).
 263
 264 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 265  @mk_binary_morphism1
 266   [ @Or
 267   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #o cases o #a1 [1,3: @Left |2,4: @Right]
 268      [ @(if ?? e a1)
 269      | @(fi ?? e a1)
 270      | @(if ?? e1 a1)
 271      | @(fi ?? e1 a1)]]
 272 qed.
 273
 274 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun21 ??? or_morphism a b).
 275
 276 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 277  @mk_binary_morphism1
 278   [ @(λA,B. A → B)
 279   | #a #a' #b #b' #e #e1 @mk_Iff #f #a1
 280      [ @(if ?? e1) @f @(fi ?? e) assumption
 281      | @(fi ?? e1) @f @(if ?? e) assumption]]
 282 qed.
 283 (*
 284 notation > "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ comp ??? $a $b }.
 285 *)
 286 record category : Type[1] ≝ {
 287    objs:> Type[0];
 288    arrows: objs → objs → setoid;
 289    id: ∀o:objs. arrows o o;
 290    comp: ∀o1,o2,o3. (arrows o1 o2) × (arrows o2 o3) ⇒ (arrows o1 o3);
 291    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4.∀a12:arrows o1 ?.∀a23:arrows o2 ?.∀a34:arrows o3 o4.
 292    comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_0 comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 293    id_neutral_left : ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a =_0 a;
 294    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) =_0 a
 295 }.
 296 (*
 297 notation "hvbox(a break ∘ b)" left associative with precedence 60 for @{ 'compose $a $b }.
 298 *)
 299 record category1 : Type[2] ≝
 300  { objs1:> Type[1];
 301    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 302    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 303    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 304    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 305     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_1 comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 306    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a =_1 a;
 307    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) =_1 a
 308  }.
 309
 310 record category2 : Type[3] ≝
 311  { objs2:> Type[2];
 312    arrows2: objs2 → objs2 → setoid2;
 313    id2: ∀o:objs2. arrows2 o o;
 314    comp2: ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (arrows2 o1 o2) (arrows2 o2 o3) (arrows2 o1 o3);
 315    comp_assoc2: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 316     comp2 o1 o3 o4 (comp2 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_2 comp2 o1 o2 o4 a12 (comp2 o2 o3 o4 a23 a34);
 317    id_neutral_right2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? (id2 o1) a =_2 a;
 318    id_neutral_left2: ∀o1,o2. ∀a: arrows2 o1 o2. comp2 ??? a (id2 o2) =_2 a
 319  }.
 320
 321 record category3 : Type[4] ≝
 322  { objs3:> Type[3];
 323    arrows3: objs3 → objs3 → setoid3;
 324    id3: ∀o:objs3. arrows3 o o;
 325    comp3: ∀o1,o2,o3. binary_morphism3 (arrows3 o1 o2) (arrows3 o2 o3) (arrows3 o1 o3);
 326    comp_assoc3: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 327     comp3 o1 o3 o4 (comp3 o1 o2 o3 a12 a23) a34 =_3 comp3 o1 o2 o4 a12 (comp3 o2 o3 o4 a23 a34);
 328    id_neutral_right3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? (id3 o1) a =_3 a;
 329    id_neutral_left3: ∀o1,o2. ∀a: arrows3 o1 o2. comp3 ??? a (id3 o2) =_3 a
 330  }.
 331
 332 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 333
 334 interpretation "category2 composition" 'compose x y = (fun22 ??? (comp2 ????) y x).
 335 interpretation "category2 assoc" 'assoc = (comp_assoc2 ????????).
 336 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun21 ??? (comp1 ????) y x).
 337 interpretation "category1 assoc" 'assoc = (comp_assoc1 ????????).
 338 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun2 ??? (comp ????) y x).
 339 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
 340
 341 definition category2_of_category1: category1 → category2.
 342  #c
 343  @mk_category2
 344   [ @(objs1 c)
 345   | #o #o1 @(setoid2_of_setoid1 (arrows1 c o o1))
 346   | @(id1 c)
 347   | #o1 #o2 #o3
 348     @mk_binary_morphism2
 349      [ #c1 #c2 @(comp1 c o1 o2 o3 c1 c2)
 350      | #a #a' #b #b' #e #e1 @(e‡e1) ]
 351   | #o1 #o2 #o3 #o4 #a12 #a23 #a34 @comp_assoc1
 352   | #o1 #o2 #a @id_neutral_right1
 353   | #o1 #o2 #a @id_neutral_left1 ]
 354 qed.
 355 (*coercion category2_of_category1.*)
 356
 357 record functor2 (C1: category2) (C2: category2) : Type[3] ≝
 358  { map_objs2:1> C1 → C2;
 359    map_arrows2: ∀S,T. unary_morphism2 (arrows2 ? S T) (arrows2 ? (map_objs2 S) (map_objs2 T));
 360    respects_id2: ∀o:C1. map_arrows2 ?? (id2 ? o) = id2 ? (map_objs2 o);
 361    respects_comp2:
 362      ∀o1,o2,o3.∀f1:arrows2 ? o1 o2.∀f2:arrows2 ? o2 o3.
 363      map_arrows2 ?? (f2 ∘ f1) = map_arrows2 ?? f2 ∘ map_arrows2 ?? f1}.
 364
 365 notation > "F⎽⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 366 notation "F\sub⇒ x" left associative with precedence 65 for @{'map_arrows2 $F $x}.
 367 interpretation "map_arrows2" 'map_arrows2 F x = (fun12 ?? (map_arrows2 ?? F ??) x).
 368 (* BEGIN HERE
 369 definition functor2_setoid: category2 → category2 → setoid3.
 370  #C1 #C2
 371  @mk_setoid3
 372   [ @(functor2 C1 C2)
 373   | @mk_equivalence_relation3
 374      [ #f #g
 375        @(∀c:C1. cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? (f c) (g c));
 376      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1);
 377      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con; @H;
 378      | simplify; intros; @cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con;
 379         [2: @H; | skip | @H1;]]]
 380 qed.
 381
 382 definition functor2_of_functor2_setoid: ∀S,T. functor2_setoid S T → functor2 S T ≝ λS,T,x.x.
 383 coercion functor2_of_functor2_setoid.
 384
 385 definition CAT2: category3.
 386  constructor 1;
 387   [ @category2;
 388   | @functor2_setoid;
 389   | intros; constructor 1;
 390      [ @(λx.x);
 391      | intros; constructor 1;
 392         [ @(λx.x);
 393         | intros; assumption;]
 394      | intros; @rule #;
 395      | intros; @rule #; ]
 396   | intros; constructor 1;
 397      [ intros; constructor 1;
 398         [ intros; @(c1 (c o));
 399         | intros; constructor 1;
 400            [ intro; @(map_arrows2 ?? c1 ?? (map_arrows2 ?? c ?? c2));
 401            | intros; @(††e); ]
 402         | intros; simplify;
 403           @(.= †(respects_id2 : ?));
 404           @(respects_id2 : ?);
 405         | intros; simplify;
 406           @(.= †(respects_comp2 : ?));
 407           @(respects_comp2 : ?); ]
 408         | intros; intro; simplify;
 409           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e ?));
 410           @(cic:/matita/logic/equality/eq_ind.con ????? (e1 ?));
 411           constructor 1; ]
 412         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 413         | intros; intro; simplify; constructor 1;
 414         | intros; intro; simplify; constructor 1; ]
 415 qed.
 416
 417 definition category2_of_objs3_CAT2: objs3 CAT2 → category2 ≝ λx.x.
 418 coercion category2_of_objs3_CAT2.
 419
 420 definition functor2_setoid_of_arrows3_CAT2: ∀S,T. arrows3 CAT2 S T → functor2_setoid S T ≝ λS,T,x.x.
 421 coercion functor2_setoid_of_arrows3_CAT2.
 422
 423 notation > "B ⇒_\c3 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 424 notation "B ⇒\sub (\c 3) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows3_CAT $B $C}.
 425 interpretation "'arrows3_CAT" 'arrows3_CAT A B = (arrows3 CAT2 A B).
 426
 427 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
 428  intros;
 429  constructor 1;
 430   [ @(unary_morphism s s1);
 431   | constructor 1;
 432      [ intros (f g); @(∀a:s. eq ? (f a) (g a));
 433      | intros 1; simplify; intros; @refl;
 434      | simplify; intros; @sym; @f;
 435      | simplify; intros; @trans; [2: @f; | skip | @f1]]]
 436 qed.
 437
 438 definition SET: category1.
 439  constructor 1;
 440   [ @setoid;
 441   | @rule (λS,T:setoid.setoid1_of_setoid (unary_morphism_setoid S T));
 442   | intros; constructor 1; [ @(λx:carr o.x); | intros; assumption ]
 443   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 444      @(† (†e));]
 445   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 446     @trans; [ @(b (a' a1)); | l@(prop1 ?? b (a a1) (a' a1));
 447      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 448   | intros; whd; intros; simplify; @refl;
 449   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 450   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl;
 451   ]
 452 qed.
 453
 454 definition setoid_of_SET: objs1 SET → setoid ≝ λx.x.
 455 coercion setoid_of_SET.
 456
 457 definition unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET:
 458   ∀P,Q.arrows1 SET P Q → unary_morphism_setoid P Q  ≝ λP,Q,x.x.
 459 coercion unary_morphism_setoid_of_arrows1_SET.
 460
 461 interpretation "'arrows1_SET" 'arrows1_SET A B = (arrows1 SET A B).
 462
 463 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
 464  intros;
 465  constructor 1;
 466   [ @(unary_morphism1 s s1);
 467   | constructor 1;
 468      [ intros (f g);
 469        alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
 470        @(∀a: carr1 s. f a = g a);
 471      | intros 1; simplify; intros; @refl1;
 472      | simplify; intros; @sym1; @f;
 473      | simplify; intros; @trans1; [2: @f; | skip | @f1]]]
 474 qed.
 475
 476 definition unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1 :
 477   ∀S,T. unary_morphism1_setoid1 S T → unary_morphism1 S T ≝ λP,Q,x.x.
 478 coercion unary_morphism1_of_unary_morphism1_setoid1.
 479
 480 definition SET1: objs3 CAT2.
 481  constructor 1;
 482   [ @setoid1;
 483   | @rule (λS,T.setoid2_of_setoid1 (unary_morphism1_setoid1 S T));
 484   | intros; constructor 1; [ @(λx.x); | intros; assumption ]
 485   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ @(λx. c1 (c x)); | intros;
 486      @(† (†e));]
 487   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 488     @trans1; [ @(b (a' a1)); | l@(prop11 ?? b (a a1) (a' a1));
 489      [ @Hletin | @(e a1); ]  | @e1; ]]
 490   | intros; whd; intros; simplify; @refl1;
 491   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 492   | intros; simplify; whd; intros; simplify; @refl1;
 493   ]
 494 qed.
 495
 496 interpretation "'arrows2_SET1" 'arrows2_SET1 A B = (arrows2 SET1 A B).
 497
 498 definition setoid1_of_SET1: objs2 SET1 → setoid1 ≝ λx.x.
 499 coercion setoid1_of_SET1.
 500
 501 definition unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1:
 502   ∀P,Q.arrows2 SET1 P Q → unary_morphism1_setoid1 P Q ≝ λP,Q,x.x.
 503 coercion unary_morphism1_setoid1_of_arrows2_SET1.
 504
 505 variant objs2_of_category1: objs1 SET → objs2 SET1 ≝ setoid1_of_setoid.
 506 coercion objs2_of_category1.
 507
 508 prefer coercion Type_OF_setoid. (* we prefer the lower carrier projection *)
 509 prefer coercion Type_OF_objs1.
 510
 511 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp[2] exists".
 512 definition full2 ≝
 513   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 514     ∀o1,o2:A.∀f.∃g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ g =_2 f.
 515 alias symbol "exists" (instance 1) = "CProp exists".
 516
 517 definition faithful2 ≝
 518   λA,B:CAT2.λF:carr3 (arrows3 CAT2 A B).
 519     ∀o1,o2:A.∀f,g:arrows2 A o1 o2.F⎽⇒ f =_2 F⎽⇒ g → f =_2 g.
 520
 521
 522 notation "r \sup *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 523 notation > "r *" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_star $r}.
 524
 525 notation "r \sup (⎻* )" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 526 notation > "r⎻*" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus_star $r}.
 527
 528 notation "r \sup ⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 529 notation > "r⎻" non associative with precedence 90 for @{'OR_f_minus $r}.
 530 *)