matita/matita/lib/formal_topology/o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/core_notation/comprehension_2.ma".
  16 include "formal_topology/categories.ma".
  17 (*
  18 inductive bool : Type[0] := true : bool | false : bool.
  19
  20 lemma BOOL : objs1 SET.
  21 constructor 1; [apply bool] constructor 1;
  22 [ intros (x y); apply (match x with [ true ⇒ match y with [ true ⇒ True | _ ⇒ False] | false ⇒ match y with [ true ⇒ False | false ⇒ True ]]);
  23 | whd; simplify; intros; cases x; apply I;
  24 | whd; simplify; intros 2; cases x; cases y; simplify; intros; assumption;
  25 | whd; simplify; intros 3; cases x; cases y; cases z; simplify; intros;
  26   try assumption; apply I]
  27 qed.
  28
  29 lemma IF_THEN_ELSE_p :
  30   ∀S:setoid1.∀a,b:S.∀x,y:BOOL.x = y →
  31     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) x =
  32     (λm.match m with [ true ⇒ a | false ⇒ b ]) y.
  33 whd in ⊢ (?→?→?→%→?);
  34 intros; cases x in e; cases y; simplify; intros; try apply refl1; whd in e; cases e;
  35 qed.
  36
  37 interpretation "unary morphism comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  38   (mk_unary_morphism T ? P ?).
  39 interpretation "unary morphism1 comprehension with no proof" 'comprehension T P =
  40   (mk_unary_morphism1 T ? P ?).
  41
  42 notation > "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p | by })" with precedence 90
  43 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}. $p) $by}.
  44 notation < "hvbox({ ident i ∈ s | term 19 p })" with precedence 90
  45 for @{ 'comprehension_by $s (λ${ident i}:$_. $p) $by}.
  46
  47 interpretation "unary morphism comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  48   (mk_unary_morphism s ? f p).
  49 interpretation "unary morphism1 comprehension with proof" 'comprehension_by s \eta.f p =
  50   (mk_unary_morphism1 s ? f p).
  51
  52 (* per il set-indexing vedere capitolo BPTools (foundational tools), Sect. 0.3.4 complete
  53    lattices, Definizione 0.9 *)
  54 (* USARE L'ESISTENZIALE DEBOLE *)
  55
  56 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
  57 notation > "'If' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  58 notation < "'If' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  59 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
  60
  61 notation > "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{oa_leq $a $b}.
  62 notation > "a >< b" non associative with precedence 45 for @{oa_overlap $a $b}.
  63 notation > "⋁ p" non associative with precedence 45 for @{oa_join ? $p}.
  64 notation > "⋀ p" non associative with precedence 45 for @{oa_meet ? $p}.
  65 notation > "𝟙" non associative with precedence 90 for @{oa_one}.
  66 notation > "𝟘" non associative with precedence 90 for @{oa_zero}.
  67 record OAlgebra : Type[2] := {
  68   oa_P :> SET1;
  69   oa_leq : oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
  70   oa_overlap: oa_P × oa_P ⇒_1 CPROP;
  71   oa_meet: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
  72   oa_join: ∀I:SET.(I ⇒_2 oa_P) ⇒_2. oa_P;
  73   oa_one: oa_P;
  74   oa_zero: oa_P;
  75   oa_leq_refl: ∀a:oa_P. a ≤ a;
  76   oa_leq_antisym: ∀a,b:oa_P.a ≤ b → b ≤ a → a = b;
  77   oa_leq_trans: ∀a,b,c:oa_P.a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c;
  78   oa_overlap_sym: ∀a,b:oa_P.a >< b → b >< a;
  79   oa_meet_inf: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.p ≤ (⋀ p_i) = (∀i:I.p ≤ (p_i i));
  80   oa_join_sup: ∀I:SET.∀p_i:I ⇒_2 oa_P.∀p:oa_P.(⋁ p_i) ≤ p = (∀i:I.p_i i ≤ p);
  81   oa_zero_bot: ∀p:oa_P.𝟘 ≤ p;
  82   oa_one_top: ∀p:oa_P.p ≤ 𝟙;
  83   oa_overlap_preserves_meet_: ∀p,q:oa_P.p >< q →
  84         p >< (⋀ { x ∈ BOOL | If x then p else q | IF_THEN_ELSE_p oa_P p q });
  85   oa_join_split: ∀I:SET.∀p.∀q:I ⇒_2 oa_P.p >< (⋁ q) = (∃i:I.p >< (q i));
  86   (*oa_base : setoid;
  87   1) enum non e' il nome giusto perche' non e' suriettiva
  88   2) manca (vedere altro capitolo) la "suriettivita'" come immagine di insiemi di oa_base
  89   oa_enum : ums oa_base oa_P;
  90   oa_density: ∀p,q.(∀i.oa_overlap p (oa_enum i) → oa_overlap q (oa_enum i)) → oa_leq p q
  91   *)
  92   oa_density: ∀p,q.(∀r.p >< r → q >< r) → p ≤ q
  93 }.
  94
  95 notation "hvbox(a break ≤ b)" non associative with precedence 45 for @{ 'leq $a $b }.
  96
  97 interpretation "o-algebra leq" 'leq a b = (fun21 ??? (oa_leq ?) a b).
  98
  99 notation "hovbox(a mpadded width -150% (>)< b)" non associative with precedence 45
 100 for @{ 'overlap $a $b}.
 101 interpretation "o-algebra overlap" 'overlap a b = (fun21 ??? (oa_overlap ?) a b).
 102
 103 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 104 non associative with precedence 55 for @{ 'oa_meet $p }.
 105 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∧) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 106 non associative with precedence 55 for @{ 'oa_meet_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 107
 108 notation > "hovbox(∧ f)" non associative with precedence 65
 109 for @{ 'oa_meet $f }.
 110 interpretation "o-algebra meet" 'oa_meet f =
 111   (fun12 ?? (oa_meet ??) f).
 112 interpretation "o-algebra meet with explicit function" 'oa_meet_mk f =
 113   (fun12 ?? (oa_meet ??) (mk_unary_morphism1 ?? f ?)).
 114
 115 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 116 non associative with precedence 55 for @{ 'oa_join $p }.
 117 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 118 non associative with precedence 55 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 119
 120 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 65
 121 for @{ 'oa_join $f }.
 122 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 123   (fun12 ?? (oa_join ??) f).
 124 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 125   (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
 126
 127 definition binary_meet : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
 128 intros; split;
 129 [ intros (p q);
 130   apply (∧ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 131 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_meet O BOOL));
 132    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 133    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 134    | apply Hletin;]
 135   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 136 qed.
 137
 138 interpretation "o-algebra binary meet" 'and a b =
 139   (fun21 ??? (binary_meet ?) a b).
 140
 141 prefer coercion Type[1]_OF_OAlgebra.
 142
 143 definition binary_join : ∀O:OAlgebra. O × O ⇒_1 O.
 144 intros; split;
 145 [ intros (p q);
 146   apply (∨ { x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ p | false ⇒ q ] | IF_THEN_ELSE_p ? p q });
 147 | intros; lapply (prop12 ? O (oa_join O BOOL));
 148    [2: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a | false ⇒ b ] | IF_THEN_ELSE_p ? a b });
 149    |3: apply ({ x ∈ BOOL | match x with [ true ⇒ a' | false ⇒ b' ] | IF_THEN_ELSE_p ? a' b' });
 150    | apply Hletin;]
 151   intro x; simplify; cases x; simplify; assumption;]
 152 qed.
 153
 154 interpretation "o-algebra binary join" 'or a b =
 155   (fun21 ??? (binary_join ?) a b).
 156
 157 lemma oa_overlap_preservers_meet: ∀O:OAlgebra.∀p,q:O.p >< q → p >< (p ∧ q).
 158 intros;  lapply (oa_overlap_preserves_meet_ O p q f) as H; clear f;
 159 (** screenshot "screenoa". *)
 160 assumption;
 161 qed.
 162
 163 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (\emsp) \nbsp term 90 p)"
 164 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join $p }.
 165 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (∨) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 166 non associative with precedence 49 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 167 notation < "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 168 for @{ 'oa_join_mk (λ${ident i}:$_.match $i with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) }.
 169
 170 notation > "hovbox(∨ f)" non associative with precedence 64
 171 for @{ 'oa_join $f }.
 172 notation > "hovbox(a ∨ b)" left associative with precedence 49
 173 for @{ 'oa_join (mk_unary_morphism BOOL ? (λx__:bool.match x__ with [ true ⇒ $a | false ⇒ $b ]) (IF_THEN_ELSE_p ? $a $b)) }.
 174
 175 interpretation "o-algebra join" 'oa_join f =
 176   (fun12 ?? (oa_join ??) f).
 177 interpretation "o-algebra join with explicit function" 'oa_join_mk f =
 178   (fun12 ?? (oa_join ??) (mk_unary_morphism ?? f ?)).
 179
 180 record ORelation (P,Q : OAlgebra) : Type[2] ≝ {
 181   or_f_ : P ⇒_2 Q;
 182   or_f_minus_star_ : P ⇒_2 Q;
 183   or_f_star_ : Q ⇒_2 P;
 184   or_f_minus_ : Q ⇒_2 P;
 185   or_prop1_ : ∀p,q. (or_f_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_star_ q);
 186   or_prop2_ : ∀p,q. (or_f_minus_ p ≤ q) = (p ≤ or_f_minus_star_ q);
 187   or_prop3_ : ∀p,q. (or_f_ p >< q) = (p >< or_f_minus_ q)
 188 }.
 189
 190 definition ORelation_setoid : OAlgebra → OAlgebra → setoid2.
 191 intros (P Q);
 192 constructor 1;
 193 [ apply (ORelation P Q);
 194 | constructor 1;
 195    (* tenere solo una uguaglianza e usare la proposizione 9.9 per
 196       le altre (unicita' degli aggiunti e del simmetrico) *)
 197    [ apply (λp,q. And42
 198              (or_f_minus_star_ ?? p = or_f_minus_star_ ?? q)
 199              (or_f_minus_ ?? p = or_f_minus_ ?? q)
 200              (or_f_ ?? p = or_f_ ?? q)
 201              (or_f_star_ ?? p = or_f_star_ ?? q));
 202    | whd; simplify; intros; repeat split; intros; apply refl2;
 203    | whd; simplify; intros; cases a; clear a; split;
 204      intro a; apply sym1; generalize in match a;assumption;
 205    | whd; simplify; intros; cases a; cases a1; clear a a1; split; intro a;
 206      [ apply (.= (e a)); apply e4;
 207      | apply (.= (e1 a)); apply e5;
 208      | apply (.= (e2 a)); apply e6;
 209      | apply (.= (e3 a)); apply e7;]]]
 210 qed.
 211
 212 definition ORelation_of_ORelation_setoid :
 213   ∀P,Q.ORelation_setoid P Q → ORelation P Q ≝ λP,Q,x.x.
 214 coercion ORelation_of_ORelation_setoid.
 215
 216 definition or_f_minus_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
 217  intros; constructor 1;
 218   [ apply or_f_minus_star_;
 219   | intros; cases e; assumption]
 220 qed.
 221
 222 definition or_f: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (P ⇒_2 Q).
 223  intros; constructor 1;
 224   [ apply or_f_;
 225   | intros; cases e; assumption]
 226 qed.
 227
 228 definition or_f_minus: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
 229  intros; constructor 1;
 230   [ apply or_f_minus_;
 231   | intros; cases e; assumption]
 232 qed.
 233
 234 definition or_f_star: ∀P,Q:OAlgebra.(ORelation_setoid P Q) ⇒_2 (Q ⇒_2 P).
 235  intros; constructor 1;
 236   [ apply or_f_star_;
 237   | intros; cases e; assumption]
 238 qed.
 239
 240 lemma arrows1_of_ORelation_setoid : ∀P,Q. ORelation_setoid P Q → (P ⇒_2 Q).
 241 intros; apply (or_f ?? c);
 242 qed.
 243 coercion arrows1_of_ORelation_setoid.
 244
 245 interpretation "o-relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 ?? (or_f_minus_star ? ?) r).
 246 interpretation "o-relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 ?? (or_f_minus ? ?) r).
 247 interpretation "o-relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 ?? (or_f_star ? ?) r).
 248
 249 definition or_prop1 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 250    (F p ≤ q) =_1 (p ≤ F* q).
 251 intros; apply (or_prop1_ ?? F p q);
 252 qed.
 253
 254 definition or_prop2 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 255    (F⎻ p ≤ q) = (p ≤ F⎻* q).
 256 intros; apply (or_prop2_ ?? F p q);
 257 qed.
 258
 259 definition or_prop3 : ∀P,Q:OAlgebra.∀F:ORelation_setoid P Q.∀p,q.
 260    (F p >< q) = (p >< F⎻ q).
 261 intros; apply (or_prop3_ ?? F p q);
 262 qed.
 263
 264 definition ORelation_composition : ∀P,Q,R.
 265   (ORelation_setoid P Q) × (ORelation_setoid Q R) ⇒_2 (ORelation_setoid P R).
 266 intros;
 267 constructor 1;
 268 [ intros (F G);
 269   constructor 1;
 270   [ apply (G ∘ F);
 271   | apply rule (G⎻* ∘ F⎻* );
 272   | apply (F* ∘ G* );
 273   | apply (F⎻ ∘ G⎻);
 274   | intros;
 275     change with ((G (F p) ≤ q) = (p ≤ (F* (G* q))));
 276     apply (.= (or_prop1 :?));
 277     apply (or_prop1 :?);
 278   | intros;
 279     change with ((F⎻ (G⎻ p) ≤ q) = (p ≤ (G⎻* (F⎻* q))));
 280     apply (.= (or_prop2 :?));
 281     apply or_prop2 ;
 282   | intros; change with ((G (F (p)) >< q) = (p >< (F⎻ (G⎻ q))));
 283     apply (.= (or_prop3 :?));
 284     apply or_prop3;
 285   ]
 286 | intros; split; simplify;
 287    [3: unfold arrows1_of_ORelation_setoid; apply ((†e)‡(†e1));
 288    |1: apply ((†e)‡(†e1));
 289    |2,4: apply ((†e1)‡(†e));]]
 290 qed.
 291
 292 definition OA : category2.
 293 split;
 294 [ apply (OAlgebra);
 295 | intros; apply (ORelation_setoid o o1);
 296 | intro O; split;
 297   [1,2,3,4: apply id2;
 298   |5,6,7:intros; apply refl1;]
 299 | apply ORelation_composition;
 300 | intros (P Q R S F G H); split;
 301    [ change with (H⎻* ∘ G⎻* ∘ F⎻* = H⎻* ∘ (G⎻* ∘ F⎻* ));
 302      apply (comp_assoc2 ????? (F⎻* ) (G⎻* ) (H⎻* ));
 303    | apply ((comp_assoc2 ????? (H⎻) (G⎻) (F⎻))^-1);
 304    | apply ((comp_assoc2 ????? F G H)^-1);
 305    | apply ((comp_assoc2 ????? H* G* F* ));]
 306 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_left2;
 307 | intros; split; unfold ORelation_composition; simplify; apply id_neutral_right2;]
 308 qed.
 309
 310 definition OAlgebra_of_objs2_OA: objs2 OA → OAlgebra ≝ λx.x.
 311 coercion OAlgebra_of_objs2_OA.
 312
 313 definition ORelation_setoid_of_arrows2_OA:
 314   ∀P,Q. arrows2 OA P Q → ORelation_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 315 coercion ORelation_setoid_of_arrows2_OA.
 316
 317 prefer coercion Type_OF_objs2.
 318
 319 notation > "B ⇒_\o2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
 320 notation "B ⇒\sub (\o 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OA $B $C}.
 321 interpretation "'arrows2_OA" 'arrows2_OA A B = (arrows2 OA A B).
 322
 323 (* qui la notazione non va *)
 324 lemma leq_to_eq_join: ∀S:OA.∀p,q:S. p ≤ q → q = (binary_join ? p q).
 325  intros;
 326  apply oa_leq_antisym;
 327   [ apply oa_density; intros;
 328     apply oa_overlap_sym;
 329     unfold binary_join; simplify;
 330     apply (. (oa_join_split : ?));
 331     exists; [ apply false ]
 332     apply oa_overlap_sym;
 333     assumption
 334   | unfold binary_join; simplify;
 335     apply (. (oa_join_sup : ?)); intro;
 336     cases i; whd in ⊢ (? ? ? ? ? % ?);
 337      [ assumption | apply oa_leq_refl ]]
 338 qed.
 339
 340 lemma overlap_monotone_left: ∀S:OA.∀p,q,r:S. p ≤ q → p >< r → q >< r.
 341  intros;
 342  apply (. (leq_to_eq_join : ?)‡#);
 343   [ apply f;
 344   | skip
 345   | apply oa_overlap_sym;
 346     unfold binary_join; simplify;
 347     apply (. (oa_join_split : ?));
 348     exists [ apply true ]
 349     apply oa_overlap_sym;
 350     assumption; ]
 351 qed.
 352
 353 (* Part of proposition 9.9 *)
 354 lemma f_minus_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻ p ≤ R⎻ q.
 355  intros;
 356  apply (. (or_prop2 : ?));
 357  apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
 358 qed.
 359
 360 (* Part of proposition 9.9 *)
 361 lemma f_minus_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R⎻* p ≤ R⎻* q.
 362  intros;
 363  apply (. (or_prop2 : ?)^ -1);
 364  apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop2 : ?)); apply oa_leq_refl;]
 365 qed.
 366
 367 (* Part of proposition 9.9 *)
 368 lemma f_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R p ≤ R q.
 369  intros;
 370  apply (. (or_prop1 : ?));
 371  apply oa_leq_trans; [2: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)^ -1); apply oa_leq_refl;]
 372 qed.
 373
 374 (* Part of proposition 9.9 *)
 375 lemma f_star_image_monotone: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p,q. p ≤ q → R* p ≤ R* q.
 376  intros;
 377  apply (. (or_prop1 : ?)^ -1);
 378  apply oa_leq_trans; [3: apply f; | skip | apply (. (or_prop1 : ?)); apply oa_leq_refl;]
 379 qed.
 380
 381 lemma lemma_10_2_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R⎻* (R⎻ p).
 382  intros;
 383  apply (. (or_prop2 : ?)^-1);
 384  apply oa_leq_refl.
 385 qed.
 386
 387 lemma lemma_10_2_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* p) ≤ p.
 388  intros;
 389  apply (. (or_prop2 : ?));
 390  apply oa_leq_refl.
 391 qed.
 392
 393 lemma lemma_10_2_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. p ≤ R* (R p).
 394  intros;
 395  apply (. (or_prop1 : ?)^-1);
 396  apply oa_leq_refl.
 397 qed.
 398
 399 lemma lemma_10_2_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* p) ≤ p.
 400  intros;
 401  apply (. (or_prop1 : ?));
 402  apply oa_leq_refl.
 403 qed.
 404
 405 lemma lemma_10_3_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻ (R⎻* (R⎻ p)) = R⎻ p.
 406  intros; apply oa_leq_antisym;
 407   [ apply lemma_10_2_b;
 408   | apply f_minus_image_monotone;
 409     apply lemma_10_2_a; ]
 410 qed.
 411
 412 lemma lemma_10_3_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R* (R (R* p)) = R* p.
 413  intros; apply oa_leq_antisym;
 414   [ apply f_star_image_monotone;
 415     apply (lemma_10_2_d ?? R p);
 416   | apply lemma_10_2_c; ]
 417 qed.
 418
 419 lemma lemma_10_3_c: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R p)) = R p.
 420  intros; apply oa_leq_antisym;
 421   [ apply lemma_10_2_d;
 422   | apply f_image_monotone;
 423     apply (lemma_10_2_c ?? R p); ]
 424 qed.
 425
 426 lemma lemma_10_3_d: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* p)) = R⎻* p.
 427  intros; apply oa_leq_antisym;
 428   [ apply f_minus_star_image_monotone;
 429     apply (lemma_10_2_b ?? R p);
 430   | apply lemma_10_2_a; ]
 431 qed.
 432
 433 lemma lemma_10_4_a: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R⎻* (R⎻ (R⎻* (R⎻ p))) = R⎻* (R⎻ p).
 434  intros; apply (†(lemma_10_3_a ?? R p));
 435 qed.
 436
 437 lemma lemma_10_4_b: ∀S,T.∀R:arrows2 OA S T.∀p. R (R* (R (R* p))) = R (R* p).
 438 intros; unfold in ⊢ (? ? ? % %); apply (†(lemma_10_3_b ?? R p));
 439 qed.
 440
 441 lemma oa_overlap_sym': ∀o:OA.∀U,V:o. (U >< V) = (V >< U).
 442  intros; split; intro; apply oa_overlap_sym; assumption.
 443 qed.
 444 *)