matita/matita/lib/formal_topology/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/core_notation/fintersects_2.ma".
  16 include "formal_topology/o-algebra.ma".
  17 include "formal_topology/notation.ma".
  18 (*
  19 record Obasic_pair: Type[2] ≝ {
  20    Oconcr: OA; Oform: OA; Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
  21 }.
  22
  23 (* FIX *)
  24 interpretation "o-basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
  25 interpretation "o-basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
  26
  27 record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type[2] ≝ {
  28    Oconcr_rel: (Oconcr BP1) ⇒_\o2 (Oconcr BP2); Oform_rel: (Oform BP1) ⇒_\o2 (Oform BP2);
  29    Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel =_2 Oform_rel ∘ ⊩
  30 }.
  31
  32 (* FIX *)
  33 interpretation "o-concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel ?? r).
  34 interpretation "o-formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel ?? r).
  35
  36 definition Orelation_pair_equality:
  37  ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
  38  intros;
  39  constructor 1;
  40   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  41   | simplify;
  42     intros;
  43     apply refl2;
  44   | simplify;
  45     intros 2;
  46     apply sym2;
  47   | simplify;
  48     intros 3;
  49     apply trans2;
  50   ]
  51 qed.
  52
  53 (* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
  54 definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
  55  intros;
  56  constructor 1;
  57   [ apply (Orelation_pair o o1)
  58   | apply Orelation_pair_equality
  59   ]
  60 qed.
  61
  62 definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid:
  63   ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  64 coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
  65
  66 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r =_2 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_2 r'\sub\f ∘ ⊩.
  67  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  68  apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
  69  apply (.= H);
  70  apply (.= (Ocommute ?? r'));
  71  apply refl2;
  72 qed.
  73
  74
  75 definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
  76  intro;
  77  constructor 1;
  78   [1,2: apply id2;
  79   | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
  80     lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
  81     apply (.= H);
  82     apply (H1^-1);]
  83 qed.
  84
  85 lemma Orelation_pair_composition:
  86  ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
  87  Orelation_pair_setoid o1 o2 → Orelation_pair_setoid o2 o3→Orelation_pair_setoid o1 o3.
  88 intros 3 (o1 o2 o3);
  89    intros (r r1);
  90     constructor 1;
  91      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  92      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  93      | lapply (Ocommute ?? r) as H;
  94        lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
  95        apply rule (.= ASSOC);
  96        apply (.= #‡H1);
  97        apply rule (.= ASSOC ^ -1);
  98        apply (.= H‡#);
  99        apply rule ASSOC]
 100 qed.
 101
 102
 103 lemma Orelation_pair_composition_is_morphism:
 104   ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
 105   Πa,a':Orelation_pair_setoid o1 o2.Πb,b':Orelation_pair_setoid o2 o3.
 106    a=a' →b=b' →
 107       Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a b
 108       = Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
 109 intros;
 110     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 111     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 112     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 113     apply rule (.= ASSOC);
 114     apply (.= #‡e1);
 115     apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
 116     apply rule (.= ASSOC^-1);
 117     apply (.= e‡#);
 118     apply rule (.= ASSOC);
 119     apply (.= #‡(Ocommute ?? b')^-1);
 120     apply rule (ASSOC^-1);
 121 qed.
 122
 123 definition Orelation_pair_composition_morphism:
 124  ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
 125 intros; constructor 1;
 126 [ apply Orelation_pair_composition;
 127 | apply Orelation_pair_composition_is_morphism;]
 128 qed.
 129
 130 lemma Orelation_pair_composition_morphism_assoc:
 131 ∀o1,o2,o3,o4:Obasic_pair
 132    .Πa12:Orelation_pair_setoid o1 o2
 133     .Πa23:Orelation_pair_setoid o2 o3
 134      .Πa34:Orelation_pair_setoid o3 o4
 135       .Orelation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
 136        (Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
 137        =Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
 138         (Orelation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
 139    intros;
 140     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 141                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 142     apply rule (ASSOC‡#);
 143 qed.
 144
 145 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id:
 146 Πo1:Obasic_pair
 147 .Πo2:Obasic_pair
 148  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 149   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (Oid_relation_pair o1) a=a.
 150    intros;
 151     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 152     apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
 153 qed.
 154
 155 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
 156 Πo1:Obasic_pair
 157 .Πo2:Obasic_pair
 158  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 159   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (Oid_relation_pair o2)=a.
 160 intros;
 161     change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 162     apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);
 163 qed.
 164
 165 definition OBP: category2.
 166  constructor 1;
 167   [ apply Obasic_pair
 168   | apply Orelation_pair_setoid
 169   | apply Oid_relation_pair
 170   | apply Orelation_pair_composition_morphism
 171   | apply Orelation_pair_composition_morphism_assoc;
 172   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id;
 173   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
 174 qed.
 175
 176 definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
 177 coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
 178
 179 definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP:
 180   ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 181 coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
 182
 183 notation > "B ⇒_\obp2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBP $B $C}.
 184 notation "B ⇒\sub (\obp 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBP $B $C}.
 185 interpretation "'arrows2_OBP" 'arrows2_OBP A B = (arrows2 OBP A B).
 186
 187 (*
 188 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 189  intros; constructor 1;
 190   [ apply (ext ? ? (rel o));
 191   | intros;
 192     apply (.= #‡H);
 193     apply refl1]
 194 qed.
 195
 196 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 197  λo.extS ?? (rel o).
 198 *)
 199
 200 (*
 201 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 202  intros (o); constructor 1;
 203   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 204     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 205   | intros; split; simplify; intros;
 206      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 207      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 208 qed.
 209
 210 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersects ?) U V).
 211
 212 definition fintersectsS:
 213  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 214  intros (o); constructor 1;
 215   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 216     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 217   | intros; split; simplify; intros;
 218      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 219      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 220 qed.
 221
 222 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersectsS ?) U V).
 223 *)
 224
 225 (*
 226 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 227  intros (o); constructor 1;
 228   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 229   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 230      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 231      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 232 qed.
 233
 234 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr ?) ?? (relS ?) x y).
 235 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ??? (relS ?)).
 236 *)
 237
 238 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 239 notation > "□⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 240 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 ? ? (or_f_minus_star ? ?) (Orel x)).
 241
 242 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 243 notation > "◊⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 244 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 ? ? (or_f ? ?) (Orel x)).
 245
 246 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 247 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 248 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 ? ? (or_f_star ? ?) (Orel x)).
 249
 250 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 251 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 252 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 ? ? (or_f_minus ? ?) (Orel x)).
 253 *)