matita/matita/lib/formal_topology/o-concrete_spaces.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/core_notation/fintersects_2.ma".
  16 include "basics/core_notation/downarrow_1.ma".
  17 include "formal_topology/o-basic_pairs.ma".
  18 include "formal_topology/o-saturations.ma".
  19 (*
  20 definition A : ∀b:OBP. unary_morphism1 (Oform b) (Oform b).
  21 intros; constructor 1;
  22  [ apply (λx.□⎽b (Ext⎽b x));
  23  | intros; apply  (†(†e));]
  24 qed.
  25
  26 lemma down_p : ∀S:SET1.∀I:SET.∀u:S ⇒_1 S.∀c:arrows2 SET1 I S.∀a:I.∀a':I.a =_1 a'→u (c a) =_1 u (c a').
  27 intros; apply (†(†e));
  28 qed.
  29
  30 record Oconcrete_space : Type[2] ≝
  31  { Obp:> OBP;
  32    (*distr : is_distributive (form bp);*)
  33    Odownarrow: unary_morphism1 (Oform Obp) (Oform Obp);
  34    Odownarrow_is_sat: is_o_saturation ? Odownarrow;
  35    Oconverges: ∀q1,q2.
  36      (Ext⎽Obp q1 ∧ (Ext⎽Obp q2)) = (Ext⎽Obp ((Odownarrow q1) ∧ (Odownarrow q2)));
  37    Oall_covered: Ext⎽Obp (oa_one (Oform Obp)) = oa_one (Oconcr Obp);
  38    Oil2: ∀I:SET.∀p:arrows2 SET1 I (Oform Obp).
  39      Odownarrow (∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? }) =
  40      ∨ { x ∈ I | Odownarrow (p x) | down_p ???? };
  41    Oil1: ∀q.Odownarrow (A ? q) = A ? q
  42  }.
  43
  44 interpretation "o-concrete space downarrow" 'downarrow x =
  45   (fun11 ?? (Odownarrow ?) x).
  46
  47 definition Obinary_downarrow :
  48   ∀C:Oconcrete_space.binary_morphism1 (Oform C) (Oform C) (Oform C).
  49 intros; constructor 1;
  50 [ intros; apply (↓ c ∧ ↓ c1);
  51 | intros;
  52   alias symbol "prop2" = "prop21".
  53   alias symbol "prop1" = "prop11".
  54   apply ((†e)‡(†e1));]
  55 qed.
  56
  57 interpretation "concrete_space binary ↓" 'fintersects a b = (fun21 ? ? ? (Obinary_downarrow ?) a b).
  58
  59 record Oconvergent_relation_pair (CS1,CS2: Oconcrete_space) : Type[2] ≝
  60  { Orp:> arrows2 ? CS1 CS2;
  61    Orespects_converges:
  62     ∀b,c. eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (b ↓ c))) (Ext⎽CS1 (Orp\sub\f⎻ b ↓ Orp\sub\f⎻ c));
  63    Orespects_all_covered:
  64      eq1 ? (Orp\sub\c⎻ (Ext⎽CS2 (oa_one (Oform CS2))))
  65            (Ext⎽CS1 (oa_one (Oform CS1)))
  66  }.
  67
  68 definition Oconvergent_relation_space_setoid: Oconcrete_space → Oconcrete_space → setoid2.
  69  intros (c c1);
  70  constructor 1;
  71   [ apply (Oconvergent_relation_pair c c1)
  72   | constructor 1;
  73      [ intros (c2 c3);
  74        apply (Orelation_pair_equality c c1 c2 c3);
  75      | intros 1; apply refl2;
  76      | intros 2; apply sym2;
  77      | intros 3; apply trans2]]
  78 qed.
  79
  80 definition Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid:
  81   ∀CS1,CS2.carr2 (Oconvergent_relation_space_setoid CS1 CS2) →
  82     Oconvergent_relation_pair CS1 CS2  ≝ λP,Q,c.c.
  83 coercion Oconvergent_relation_space_of_Oconvergent_relation_space_setoid.
  84
  85 definition Oconvergent_relation_space_composition:
  86  ∀o1,o2,o3: Oconcrete_space.
  87   binary_morphism2
  88    (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o2)
  89    (Oconvergent_relation_space_setoid o2 o3)
  90    (Oconvergent_relation_space_setoid o1 o3).
  91  intros; constructor 1;
  92      [ intros; whd in t t1 ⊢ %;
  93        constructor 1;
  94         [ apply (c1 ∘ c);
  95         | intros;
  96           change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (b↓c2))));
  97           alias symbol "trans" = "trans1".
  98           apply (.= († (Orespects_converges : ?)));
  99           apply (Orespects_converges ?? c (c1\sub\f⎻ b) (c1\sub\f⎻ c2));
 100         | change in ⊢ (? ? ? % ?) with (c\sub\c⎻ (c1\sub\c⎻ (Ext⎽o3 (oa_one (Oform o3)))));
 101           apply (.= (†(Orespects_all_covered :?)));
 102           apply rule (Orespects_all_covered ?? c);]
 103      | intros;
 104        change with (b ∘ a = b' ∘ a');
 105        change in e with (Orp ?? a = Orp ?? a');
 106        change in e1 with (Orp ?? b = Orp ?? b');
 107        apply (e‡e1);]
 108 qed.
 109
 110 definition OCSPA: category2.
 111  constructor 1;
 112   [ apply Oconcrete_space
 113   | apply Oconvergent_relation_space_setoid
 114   | intro; constructor 1;
 115      [ apply id2
 116      | intros; apply refl1;
 117      | apply refl1]
 118   | apply Oconvergent_relation_space_composition
 119   | intros; simplify; whd in a12 a23 a34;
 120     change with (a34 ∘ (a23 ∘ a12) = (a34 ∘ a23) ∘ a12);
 121     apply rule ASSOC;
 122   | intros; simplify;
 123     change with (a ∘ id2 OBP o1 = a);
 124     apply (id_neutral_right2 : ?);
 125   | intros; simplify;
 126     change with (id2 ? o2 ∘ a = a);
 127     apply (id_neutral_left2 : ?);]
 128 qed.
 129
 130 definition Oconcrete_space_of_OCSPA : objs2 OCSPA → Oconcrete_space ≝ λx.x.
 131 coercion Oconcrete_space_of_OCSPA.
 132
 133 definition Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA :
 134  ∀P,Q. arrows2 OCSPA P Q → Oconvergent_relation_space_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 135 coercion Oconvergent_relation_space_setoid_of_arrows2_OCSPA.
 136
 137 *)