matita/matita/lib/formal_topology/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "basics/core_notation/comprehension_2.ma".
  16 include "formal_topology/subsets.ma".
  17 (*
  18 record binary_relation (A,B: SET) : Type[1] ≝
  19  { satisfy:> binary_morphism1 A B CPROP }.
  20
  21 notation < "hvbox (x \nbsp \natur term 90 r \nbsp y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  22 notation > "hvbox (x \natur term 90 r y)"  with precedence 45 for @{'satisfy $r $x $y}.
  23 interpretation "relation applied" 'satisfy r x y = (fun21 ??? (satisfy ?? r) x y).
  24
  25 definition binary_relation_setoid: SET → SET → setoid1.
  26  intros (A B);
  27  constructor 1;
  28   [ apply (binary_relation A B)
  29   | constructor 1;
  30      [ apply (λA,B.λr,r': binary_relation A B. ∀x,y. r x y ↔ r' x y)
  31      | simplify; intros 3; split; intro; assumption
  32      | simplify; intros 5; split; intro;
  33        [ apply (fi ?? (f ??)) | apply (if ?? (f ??))] assumption
  34      | simplify;  intros 7; split; intro;
  35         [ apply (if ?? (f1 ??)) | apply (fi ?? (f ??)) ]
  36         [ apply (if ?? (f ??)) | apply (fi ?? (f1 ??)) ]
  37        assumption]]
  38 qed.
  39
  40 definition binary_relation_of_binary_relation_setoid :
  41   ∀A,B.binary_relation_setoid A B → binary_relation A B ≝ λA,B,c.c.
  42 coercion binary_relation_of_binary_relation_setoid.
  43
  44 definition composition:
  45  ∀A,B,C.
  46   (binary_relation_setoid A B) × (binary_relation_setoid B C) ⇒_1 (binary_relation_setoid A C).
  47  intros;
  48  constructor 1;
  49   [ intros (R12 R23);
  50     constructor 1;
  51     constructor 1;
  52      [ apply (λs1:A.λs3:C.∃s2:B. s1 ♮R12 s2 ∧ s2 ♮R23 s3);
  53      | intros;
  54        split; intro; cases e2 (w H3); clear e2; exists; [1,3: apply w ]
  55         [ apply (. (e^-1‡#)‡(#‡e1^-1)); assumption
  56         | apply (. (e‡#)‡(#‡e1)); assumption]]
  57   | intros 8; split; intro H2; simplify in H2 ⊢ %;
  58     cases H2 (w H3); clear H2; exists [1,3: apply w] cases H3 (H2 H4); clear H3;
  59     [ lapply (if ?? (e x w) H2) | lapply (fi ?? (e x w) H2) ]
  60     [ lapply (if ?? (e1 w y) H4)| lapply (fi ?? (e1 w y) H4) ]
  61     exists; try assumption;
  62     split; assumption]
  63 qed.
  64
  65 definition REL: category1.
  66  constructor 1;
  67   [ apply setoid
  68   | intros (T T1); apply (binary_relation_setoid T T1)
  69   | intros; constructor 1;
  70     constructor 1; unfold setoid1_of_setoid; simplify;
  71      [ (* changes required to avoid universe inconsistency *)
  72        change with (carr o → carr o → CProp); intros; apply (eq ? c c1)
  73      | intros; split; intro; change in a a' b b' with (carr o);
  74        change in e with (eq ? a a'); change in e1 with (eq ? b b');
  75         [ apply (.= (e ^ -1));
  76           apply (.= e2);
  77           apply e1
  78         | apply (.= e);
  79           apply (.= e2);
  80           apply (e1 ^ -1)]]
  81   | apply composition
  82   | intros 9;
  83     split; intro;
  84     cases f (w H); clear f; cases H; clear H;
  85     [cases f (w1 H); clear f | cases f1 (w1 H); clear f1]
  86     cases H; clear H;
  87     exists; try assumption;
  88     split; try assumption;
  89     exists; try assumption;
  90     split; assumption
  91   |6,7: intros 5; unfold composition; simplify; split; intro;
  92         unfold setoid1_of_setoid in x y; simplify in x y;
  93         [1,3: cases e (w H1); clear e; cases H1; clear H1; unfold;
  94           [ apply (. (e : eq1 ? x w)‡#); assumption
  95           | apply (. #‡(e : eq1 ? w y)^-1); assumption]
  96         |2,4: exists; try assumption; split;
  97           (* change required to avoid universe inconsistency *)
  98           change in x with (carr o1); change in y with (carr o2);
  99           first [apply refl | assumption]]]
 100 qed.
 101
 102 definition setoid_of_REL : objs1 REL → setoid ≝ λx.x.
 103 coercion setoid_of_REL.
 104
 105 definition binary_relation_setoid_of_arrow1_REL :
 106   ∀P,Q. arrows1 REL P Q → binary_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 107 coercion binary_relation_setoid_of_arrow1_REL.
 108
 109
 110 notation > "B ⇒_\r1 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
 111 notation "B ⇒\sub (\r 1) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows1_REL $B $C}.
 112 interpretation "'arrows1_REL" 'arrows1_REL A B = (arrows1 REL A B).
 113 notation > "B ⇒_\r2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_REL $B $C}.
 114 notation "B ⇒\sub (\r 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_REL $B $C}.
 115 interpretation "'arrows2_REL" 'arrows2_REL A B = (arrows2 (category2_of_category1 REL) A B).
 116
 117
 118 definition full_subset: ∀s:REL. Ω^s.
 119  apply (λs.{x | True});
 120  intros; simplify; split; intro; assumption.
 121 qed.
 122
 123 coercion full_subset.
 124
 125 definition comprehension: ∀b:REL. (b ⇒_1. CPROP) → Ω^b.
 126  apply (λb:REL. λP: b ⇒_1 CPROP. {x | P x});
 127  intros; simplify;
 128  apply (.= †e); apply refl1.
 129 qed.
 130
 131 interpretation "subset comprehension" 'comprehension s p =
 132  (comprehension s (mk_unary_morphism1 ?? p ?)).
 133
 134 definition ext: ∀X,S:REL. (X ⇒_\r1 S) × S ⇒_1 (Ω^X).
 135  intros (X S); constructor 1;
 136   [ apply (λr:X ⇒_\r1 S.λf:S.{x ∈ X | x ♮r f}); intros; simplify; apply (.= (e‡#)); apply refl1
 137   | intros; simplify; split; intros; simplify;
 138      [ change with (∀x. x ♮a b → x ♮a' b'); intros;
 139        apply (. (#‡e1^-1)); whd in e; apply (if ?? (e ??)); assumption
 140      | change with (∀x. x ♮a' b' → x ♮a b); intros;
 141        apply (. (#‡e1)); whd in e; apply (fi ?? (e ??));assumption]]
 142 qed.
 143
 144 definition extS: ∀X,S:REL. ∀r:X ⇒_\r1 S. Ω^S ⇒_1 Ω^X.
 145  (* ∃ is not yet a morphism apply (λX,S,r,F.{x ∈ X | ∃a. a ∈ F ∧ x ♮r a});*)
 146  intros (X S r); constructor 1;
 147   [ intro F; constructor 1; constructor 1;
 148     [ apply (λx. x ∈ X ∧ ∃a:S. a ∈ F ∧ x ♮r a);
 149     | intros; split; intro; cases f (H1 H2); clear f; split;
 150        [ apply (. (e^-1‡#)); assumption
 151        |3: apply (. (e‡#)); assumption
 152        |2,4: cases H2 (w H3); exists; [1,3: apply w]
 153          [ apply (. (#‡(e^-1‡#))); assumption
 154          | apply (. (#‡(e‡#))); assumption]]]
 155   | intros; split; simplify; intros; cases f; cases e1; split;
 156      [1,3: assumption
 157      |2,4: exists; [1,3: apply w]
 158       [ apply (. (#‡e^-1)‡#); assumption
 159       | apply (. (#‡e)‡#); assumption]]]
 160 qed.
 161 (*
 162 lemma equalset_extS_id_X_X: ∀o:REL.∀X.extS ?? (id1 ? o) X = X.
 163  intros;
 164  unfold extS; simplify;
 165  split; simplify;
 166   [ intros 2; change with (a ∈ X);
 167     cases f; clear f;
 168     cases H; clear H;
 169     cases x; clear x;
 170     change in f2 with (eq1 ? a w);
 171     apply (. (f2\sup -1‡#));
 172     assumption
 173   | intros 2; change in f with (a ∈ X);
 174     split;
 175      [ whd; exact I
 176      | exists; [ apply a ]
 177        split;
 178         [ assumption
 179         | change with (a = a); apply refl]]]
 180 qed.
 181
 182 lemma extS_com: ∀o1,o2,o3,c1,c2,S. extS o1 o3 (c2 ∘ c1) S = extS o1 o2 c1 (extS o2 o3 c2 S).
 183  intros; unfold extS; simplify; split; intros; simplify; intros;
 184   [ cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 185     cases H3 (H4 H5); cases H5 (w1 H6); clear H3 H5; cases H6 (H7 H8); clear H6;
 186     exists; [apply w1] split [2: assumption] constructor 1; [assumption]
 187     exists; [apply w] split; assumption
 188   | cases f (H1 H2); cases H2 (w H3); clear f H2; split; [assumption]
 189     cases H3 (H4 H5); cases H4 (w1 H6); clear H3 H4; cases H6 (w2 H7); clear H6;
 190     cases H7; clear H7; exists; [apply w2] split; [assumption] exists [apply w] split;
 191     assumption]
 192 qed.
 193 *)
 194
 195 (* the same as ⋄ for a basic pair *)
 196 definition image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) ⇒_2 (Ω^U ⇒_2 Ω^V).
 197  intros; constructor 1;
 198  [ intro r; constructor 1;
 199    [ apply (λS: Ω^U. {y | ∃x:U. x ♮r y ∧ x ∈ S });
 200      intros; simplify; split; intro; cases e1; exists [1,3: apply w]
 201      [ apply (. (#‡e^-1)‡#); assumption
 202      | apply (. (#‡e)‡#); assumption]
 203    | intros; split;
 204      [ intro y; simplify; intro yA; cases yA; exists; [ apply w ];
 205        apply (. #‡(#‡e^-1)); assumption;
 206      | intro y; simplify; intro yA; cases yA; exists; [ apply w ];
 207        apply (. #‡(#‡e)); assumption;]]
 208  | simplify; intros; intro y; simplify; split; simplify; intros (b H); cases H;
 209    exists; [1,3: apply w]; cases x; split; try assumption;
 210    [ apply (if ?? (e ??)); | apply (fi ?? (e ??)); ] assumption;]
 211 qed.
 212
 213 (* the same as □ for a basic pair *)
 214 definition minus_star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) ⇒_2 (Ω^U ⇒_2 Ω^V).
 215  intros; constructor 1; intros;
 216   [ constructor 1;
 217     [ apply (λS: Ω^U. {y | ∀x:U. x ♮c y → x ∈ S});
 218       intros; simplify; split; intros; apply f;
 219       [ apply (. #‡e); | apply (. #‡e ^ -1)] assumption;
 220     | intros; split; intro; simplify; intros;
 221       [ apply (. #‡e^-1);| apply (. #‡e); ] apply f; assumption;]
 222   | intros; intro; simplify; split; simplify; intros; apply f;
 223     [ apply (. (e x a2)); assumption | apply (. (e^-1 x a2)); assumption]]
 224 qed.
 225
 226 (* the same as Rest for a basic pair *)
 227 definition star_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) ⇒_2 (Ω^V ⇒_2 Ω^U).
 228  intros; constructor 1;
 229   [ intro r; constructor 1;
 230     [ apply (λS: Ω \sup V. {x | ∀y:V. x ♮r y → y ∈ S});
 231       intros; simplify; split; intros; apply f;
 232       [ apply (. e ‡#);| apply (. e^ -1‡#);] assumption;
 233     | intros; split; simplify; intros;
 234       [ apply (. #‡e^-1);| apply (. #‡e); ] apply f; assumption;]
 235   | intros; intro; simplify; split; simplify; intros; apply f;
 236     [ apply (. e a2 y); | apply (. e^-1 a2 y)] assumption;]
 237 qed.
 238
 239 (* the same as Ext for a basic pair *)
 240 definition minus_image: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) ⇒_2 (Ω^V ⇒_2 Ω^U).
 241  intros; constructor 1;
 242   [ intro r; constructor 1;
 243     [ apply (λS: Ω^V. {x | ∃y:V. x ♮r y ∧ y ∈ S }).
 244       intros; simplify; split; intros; cases e1; cases x; exists; [1,3: apply w]
 245       split; try assumption; [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. (e‡#));] assumption;
 246     | intros; simplify; split; simplify; intros; cases e1; cases x;
 247       exists [1,3: apply w] split; try assumption;
 248       [ apply (. (#‡e^-1)); | apply (. (#‡e));] assumption]
 249   | intros; intro; simplify; split; simplify; intros; cases e1; exists [1,3: apply w]
 250     cases x; split; try assumption;
 251     [ apply (. e^-1 a2 w); | apply (. e a2 w)] assumption;]
 252 qed.
 253
 254 definition foo : ∀o1,o2:REL.carr1 (o1 ⇒_\r1 o2) → carr2 (setoid2_of_setoid1 (o1 ⇒_\r1 o2)) ≝ λo1,o2,x.x.
 255
 256 interpretation "relation f⎻*" 'OR_f_minus_star r = (fun12 ?? (minus_star_image ? ?) (foo ?? r)).
 257 interpretation "relation f⎻" 'OR_f_minus r = (fun12 ?? (minus_image ? ?) (foo ?? r)).
 258 interpretation "relation f*" 'OR_f_star r = (fun12 ?? (star_image ? ?) (foo ?? r)).
 259
 260 definition image_coercion: ∀U,V:REL. (U ⇒_\r1 V) → Ω^U ⇒_2 Ω^V.
 261 intros (U V r Us); apply (image U V r); qed.
 262 coercion image_coercion.
 263
 264 (* minus_image is the same as ext *)
 265
 266 theorem image_id: ∀o. (id1 REL o : carr2 (Ω^o ⇒_2 Ω^o)) =_1 (id2 SET1 Ω^o).
 267  intros; unfold image_coercion; unfold image; simplify;
 268  whd in match (?:carr2 ?);
 269   intro U; simplify; split; simplify; intros;
 270   [ change with (a ∈ U);
 271     cases e; cases x; change in e1 with (w =_1 a); apply (. e1^-1‡#); assumption
 272   | change in f with (a ∈ U);
 273     exists; [apply a] split; [ change with (a = a); apply refl1 | assumption]]
 274 qed.
 275
 276 theorem minus_star_image_id: ∀o:REL.
 277   ((id1 REL o)⎻* : carr2 (Ω^o ⇒_2 Ω^o)) =_1 (id2 SET1 Ω^o).
 278  intros; unfold minus_star_image; simplify; intro U; simplify;
 279  split; simplify; intros;
 280   [ change with (a ∈ U); apply f; change with (a=a); apply refl1
 281   | change in f1 with (eq1 ? x a); apply (. f1‡#); apply f]
 282 qed.
 283
 284 alias symbol "compose" (instance 5) = "category2 composition".
 285 alias symbol "compose" (instance 4) = "category1 composition".
 286 theorem image_comp: ∀A,B,C.∀r:B ⇒_\r1 C.∀s:A ⇒_\r1 B.
 287   ((r ∘ s) : carr2 (Ω^A ⇒_2 Ω^C)) =_1 r ∘ s.
 288  intros; intro U; split; intro x; (unfold image; unfold SET1; simplify);
 289  intro H; cases H;
 290  cases x1; [cases f|cases f1]; exists; [1,3: apply w1] cases x2; split; try assumption;
 291    exists; try assumption; split; assumption;
 292 qed.
 293
 294 theorem minus_star_image_comp:
 295  ∀A,B,C.∀r:B ⇒_\r1 C.∀s:A ⇒_\r1 B.
 296   minus_star_image A C (r ∘ s) =_1 minus_star_image B C r ∘ (minus_star_image A B s).
 297  intros; unfold minus_star_image; intro X; simplify; split; simplify; intros;
 298  [ whd; intros; simplify; whd; intros; apply f; exists; try assumption; split; assumption;
 299  | cases f1; cases x1; apply f; assumption]
 300 qed.
 301
 302
 303 (*
 304 (*CSC: unused! *)
 305 theorem ext_comp:
 306  ∀o1,o2,o3: REL.
 307   ∀a: arrows1 ? o1 o2.
 308    ∀b: arrows1 ? o2 o3.
 309     ∀x. ext ?? (b∘a) x = extS ?? a (ext ?? b x).
 310  intros;
 311  unfold ext; unfold extS; simplify; split; intro; simplify; intros;
 312  cases f; clear f; split; try assumption;
 313   [ cases f2; clear f2; cases x1; clear x1; exists; [apply w] split;
 314      [1: split] assumption;
 315   | cases H; clear H; cases x1; clear x1; exists [apply w]; split;
 316      [2: cases f] assumption]
 317 qed.
 318 *)
 319
 320 axiom daemon : False.
 321
 322 theorem extS_singleton:
 323  ∀o1,o2.∀a.∀x.extS o1 o2 a {(x)} = ext o1 o2 a x.
 324  intros; unfold extS; unfold ext; unfold singleton; simplify;
 325  split; intros 2; simplify; simplify in f;
 326  [ cases f; cases e; cases x1; change in f2 with (x =_1 w); apply (. #‡f2); assumption;
 327  | split; try apply I; exists [apply x] split; try assumption; change with (x = x); apply rule #;] qed.
 328 *)