matita/matita/lib/formal_topology/subsets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/categories.ma".
  16 include "basics/core_notation/singl_1.ma".
  17 include "basics/core_notation/subset_1.ma".
  18 (*
  19 record powerset_carrier (A: objs1 SET) : Type[1] ≝ { mem_operator: A ⇒_1 CPROP }.
  20 interpretation "powerset low" 'powerset A = (powerset_carrier A).
  21 notation "hvbox(a break ∈. b)" non associative with precedence 45 for @{ 'mem_low $a $b }.
  22 interpretation "memlow" 'mem_low a S = (fun11 ?? (mem_operator ? S) a).
  23
  24 definition subseteq_operator: ∀A: objs1 SET. Ω^A → Ω^A → CProp[0] ≝
  25  λA:objs1 SET.λU,V.∀a:A. a ∈. U → a ∈. V.
  26
  27 theorem transitive_subseteq_operator: ∀A. transitive2 ? (subseteq_operator A).
  28  intros 6; intros 2;
  29  apply s1; apply s;
  30  assumption.
  31 qed.
  32
  33 definition powerset_setoid1: SET → SET1.
  34  intros (T);
  35  constructor 1;
  36   [ apply (powerset_carrier T)
  37   | constructor 1;
  38      [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V ∧ subseteq_operator ? V U)
  39      | simplify; intros; split; intros 2; assumption
  40      | simplify; intros (x y H); cases H; split; assumption
  41      | simplify; intros (x y z H H1); cases H; cases H1; split;
  42        apply transitive_subseteq_operator; [1,4: apply y ]
  43        assumption ]]
  44 qed.
  45
  46 interpretation "powerset" 'powerset A = (powerset_setoid1 A).
  47
  48 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x =
  49  (mk_powerset_carrier ? (mk_unary_morphism1 ? CPROP x ?)).
  50
  51 definition mem: ∀A. A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
  52  intros;
  53  constructor 1;
  54   [ apply (λx,S. mem_operator ? S x)
  55   | intros 5;
  56     cases b; clear b; cases b'; clear b'; simplify; intros;
  57     apply (trans1 ????? (prop11 ?? u ?? e));
  58     cases e1; whd in s s1;
  59     split; intro;
  60      [ apply s; assumption
  61      | apply s1; assumption]]
  62 qed.
  63
  64 interpretation "mem" 'mem a S = (fun21 ??? (mem ?) a S).
  65
  66 definition subseteq: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
  67  intros;
  68  constructor 1;
  69   [ apply (λU,V. subseteq_operator ? U V)
  70   | intros;
  71     cases e; cases e1;
  72     split; intros 1;
  73     [ apply (transitive_subseteq_operator ????? s2);
  74       apply (transitive_subseteq_operator ???? s1 s4)
  75     | apply (transitive_subseteq_operator ????? s3);
  76       apply (transitive_subseteq_operator ???? s s4) ]]
  77 qed.
  78
  79 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (fun21 ??? (subseteq ?) U V).
  80
  81 theorem subseteq_refl: ∀A.∀S:Ω^A.S ⊆ S.
  82  intros 4; assumption.
  83 qed.
  84
  85 theorem subseteq_trans: ∀A.∀S1,S2,S3: Ω^A. S1 ⊆ S2 → S2 ⊆ S3 → S1 ⊆ S3.
  86  intros; apply transitive_subseteq_operator; [apply S2] assumption.
  87 qed.
  88
  89 definition overlaps: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 CPROP.
  90  intros;
  91  constructor 1;
  92   [ apply (λA:objs1 SET.λU,V:Ω^A.(exT2 ? (λx:A.x ∈ U) (λx:A.x ∈ V) : CProp[0]))
  93   | intros;
  94     constructor 1; intro; cases e2; exists; [1,4: apply w]
  95      [ apply (. #‡e^-1); assumption
  96      | apply (. #‡e1^-1); assumption
  97      | apply (. #‡e); assumption;
  98      | apply (. #‡e1); assumption]]
  99 qed.
 100
 101 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (fun21 ??? (overlaps ?) U V).
 102
 103 definition intersects: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
 104  intros;
 105  constructor 1;
 106   [ apply rule (λU,V. {x | x ∈ U ∧ x ∈ V });
 107     intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1;
 108   | intros;
 109     split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
 110     [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
 111     | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
 112 qed.
 113
 114 interpretation "intersects" 'intersects U V = (fun21 ??? (intersects ?) U V).
 115
 116 definition union: ∀A. Ω^A × Ω^A ⇒_1 Ω^A.
 117  intros;
 118  constructor 1;
 119   [ apply (λU,V. {x | x ∈ U ∨ x ∈ V });
 120     intros; simplify; apply (.= (e‡#)‡(e‡#)); apply refl1
 121   | intros;
 122     split; intros 2; simplify in f ⊢ %;
 123     [ apply (. (#‡e^-1)‡(#‡e1^-1)); assumption
 124     | apply (. (#‡e)‡(#‡e1)); assumption]]
 125 qed.
 126
 127 interpretation "union" 'union U V = (fun21 ??? (union ?) U V).
 128
 129 (* qua non riesco a mettere set *)
 130 definition singleton: ∀A:setoid. A ⇒_1 Ω^A.
 131  intros; constructor 1;
 132   [ apply (λa:A.{b | a =_0 b}); unfold setoid1_of_setoid; simplify;
 133     intros; simplify;
 134     split; intro;
 135     apply (.= e1);
 136      [ apply e | apply (e^-1) ]
 137   | unfold setoid1_of_setoid; simplify;
 138     intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; apply trans;
 139      [ apply a |4: apply a'] try assumption; apply sym; assumption]
 140 qed.
 141
 142 interpretation "singleton" 'singl a = (fun11 ?? (singleton ?) a).
 143 notation > "{ term 19 a : S }" with precedence 90 for @{fun11 ?? (singleton $S) $a}.
 144
 145 definition big_intersects: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
 146  intros; constructor 1;
 147   [ intro; whd; whd in I;
 148     apply ({x | ∀i:I. x ∈ c i});
 149     simplify; intros; split; intros; [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. e‡#); ]
 150     apply f;
 151   | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; intro;
 152      [ apply (. (#‡(e i)^-1)); apply f;
 153      | apply (. (#‡e i)); apply f]]
 154 qed.
 155
 156 definition big_union: ∀A:SET.∀I:SET.(I ⇒_2 Ω^A) ⇒_2 Ω^A.
 157  intros; constructor 1;
 158   [ intro; whd; whd in A; whd in I;
 159     apply ({x | ∃i:I. x ∈ c i });
 160     simplify; intros; split; intros; cases e1; clear e1; exists; [1,3:apply w]
 161     [ apply (. (e^-1‡#)); | apply (. (e‡#)); ]
 162     apply x;
 163   | intros; split; intros 2; simplify in f ⊢ %; cases f; clear f; exists; [1,3:apply w]
 164      [ apply (. (#‡(e w)^-1)); apply x;
 165      | apply (. (#‡e w)); apply x]]
 166 qed.
 167
 168 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (\emsp) term 90 p)"
 169 non associative with precedence 55 for @{ 'bigcup $p }.
 170 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋃) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 171 non associative with precedence 55 for @{ 'bigcup_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 172 notation > "hovbox(⋃ f)" non associative with precedence 65 for @{ 'bigcup $f }.
 173
 174 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (\emsp) term 90 p)"
 175 non associative with precedence 55 for @{ 'bigcap $p }.
 176 notation < "hovbox(mstyle scriptlevel 1 scriptsizemultiplier 1.7 (⋂) \below (ident i ∈  I) break term 90 p)"
 177 non associative with precedence 55 for @{ 'bigcap_mk (λ${ident i}:$I.$p) }.
 178 notation > "hovbox(⋂ f)" non associative with precedence 65 for @{ 'bigcap $f }.
 179
 180 interpretation "bigcup" 'bigcup f = (fun12 ?? (big_union ??) f).
 181 interpretation "bigcap" 'bigcap f = (fun12 ?? (big_intersects ??) f).
 182 interpretation "bigcup mk" 'bigcup_mk f = (fun12 ?? (big_union ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
 183 interpretation "bigcap mk" 'bigcap_mk f = (fun12 ?? (big_intersects ??) (mk_unary_morphism2 ?? f ?)).
 184 *)