matita/matita/lib/lambda/terms/relocating_substitution.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "lambda/terms/relocation.ma".
  16
  17 (* RELOCATING SUBSTITUTION **************************************************)
  18
  19 (* Policy: depth (level) metavariables: d, e (as for lift) *)
  20 let rec dsubst N d M on M ≝ match M with
  21 [ VRef i   ⇒ tri … i d (#i) (↑[i] N) (#(i-1))
  22 | Abst A   ⇒ 𝛌. (dsubst N (d+1) A)
  23 | Appl B A ⇒ @ (dsubst N d B). (dsubst N d A)
  24 ].
  25
  26 interpretation "relocating substitution"
  27    'DSubst N d M = (dsubst N d M).
  28
  29 lemma dsubst_vref_lt: ∀i,d,N. i < d → [d ↙ N] #i = #i.
  30 normalize /2 width=1/
  31 qed.
  32
  33 lemma dsubst_vref_eq: ∀i,N. [i ↙ N] #i = ↑[i]N.
  34 normalize //
  35 qed.
  36
  37 lemma dsubst_vref_gt: ∀i,d,N. d < i → [d ↙ N] #i = #(i-1).
  38 normalize /2 width=1/
  39 qed.
  40
  41 theorem dsubst_lift_le: ∀h,N,M,d1,d2. d2 ≤ d1 →
  42                         [d2 ↙ ↑[d1 - d2, h] N] ↑[d1 + 1, h] M = ↑[d1, h] [d2 ↙ N] M.
  43 #h #N #M elim M -M
  44 [ #i #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_eq_or_gt i d2) #Hid2
  45   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 #Hid1
  46     >(dsubst_vref_lt … Hid2) >(lift_vref_lt … Hid1) >lift_vref_lt /2 width=1/
  47   | destruct >dsubst_vref_eq >lift_vref_lt /2 width=1/
  48   | >(dsubst_vref_gt … Hid2) -Hd21 elim (lt_or_ge (i-1) d1) #Hi1d1
  49     [ >(lift_vref_lt … Hi1d1) >lift_vref_lt /2 width=1/
  50     | lapply (ltn_to_ltO … Hid2) #Hi
  51       >(lift_vref_ge … Hi1d1) >lift_vref_ge /2 width=1/ -Hi1d1 >plus_minus // /3 width=1/
  52     ]
  53   ]
  54 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd21
  55   lapply (IHA (d1+1) (d2+1) ?) -IHA /2 width=1/
  56 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd21
  57   >IHB -IHB // >IHA -IHA //
  58 ]
  59 qed.
  60
  61 theorem dsubst_lift_be: ∀h,N,M,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h →
  62                         [d2 ↙ N] ↑[d1, h + 1] M = ↑[d1, h] M.
  63 #h #N #M elim M -M
  64 [ #i #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
  65   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
  66     >(lift_vref_lt … Hid1) >(lift_vref_lt … Hid1) /2 width=1/
  67   | lapply (transitive_le … (i+h) Hd21 ?) -Hd12 -Hd21 /2 width=1/ #Hd2
  68     >(lift_vref_ge … Hid1) >(lift_vref_ge … Hid1) -Hid1
  69     >dsubst_vref_gt // /2 width=1/
  70   ]
  71 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
  72   >IHA -IHA // /2 width=1/
  73 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
  74   >IHB -IHB // >IHA -IHA //
  75 ]
  76 qed.
  77
  78 theorem dsubst_lift_ge: ∀h,N,M,d1,d2. d1 + h ≤ d2 →
  79                         [d2 ↙ N] ↑[d1, h] M = ↑[d1, h] [d2 - h ↙ N] M.
  80 #h #N #M elim M -M
  81 [ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i (d2-h)) #Hid2h
  82   [ >(dsubst_vref_lt … Hid2h) elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
  83     [ lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+h) Hid1 ?) -Hid2h // #Hid1h
  84       lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1h Hd12) -Hid1h -Hd12 #Hid2
  85       >(lift_vref_lt … Hid1) -Hid1 /2 width=1/
  86     | >(lift_vref_ge … Hid1) -Hid1 -Hd12 /3 width=1/
  87     ]
  88   | destruct elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #Hhd2
  89     >dsubst_vref_eq >lift_vref_ge // >lift_lift_be // <plus_minus_m_m //
  90   | elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #_
  91     lapply (le_to_lt_to_lt … Hd12 Hid2h) -Hd12 #Hid1
  92     lapply (ltn_to_ltO … Hid2h) #Hi
  93     >(dsubst_vref_gt … Hid2h)
  94     >lift_vref_ge /2 width=1/ >lift_vref_ge /2 width=1/ -Hid1
  95     >dsubst_vref_gt /2 width=1/ -Hid2h >plus_minus //
  96   ]
  97 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12
  98   elim (le_inv_plus_l … Hd12) #_ #Hhd2
  99   >IHA -IHA /2 width=1/ <plus_minus //
 100 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12
 101   >IHB -IHB // >IHA -IHA //
 102 ]
 103 qed.
 104
 105 theorem dsubst_dsubst_ge: ∀N1,N2,M,d1,d2. d1 ≤ d2 →
 106                           [d2 ↙ N2] [d1 ↙ N1] M = [d1 ↙ [d2 - d1 ↙ N2] N1] [d2 + 1 ↙ N2] M.
 107 #N1 #N2 #M elim M -M
 108 [ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i d1) #Hid1
 109   [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
 110     >(dsubst_vref_lt … Hid1) >(dsubst_vref_lt … Hid2) >dsubst_vref_lt /2 width=1/
 111   | destruct >dsubst_vref_eq >dsubst_vref_lt /2 width=1/
 112   | >(dsubst_vref_gt … Hid1) elim (lt_or_eq_or_gt i (d2+1)) #Hid2
 113     [ lapply (ltn_to_ltO … Hid1) #Hi
 114       >(dsubst_vref_lt … Hid2) >dsubst_vref_lt /2 width=1/
 115     | destruct /2 width=1/
 116     | lapply (le_to_lt_to_lt (d1+1) … Hid2) -Hid1 /2 width=1/ -Hd12 #Hid1
 117       >(dsubst_vref_gt … Hid2) >dsubst_vref_gt /2 width=1/
 118       >dsubst_vref_gt // /2 width=1/
 119     ]
 120   ]
 121 | normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12
 122   lapply (IHA (d1+1) (d2+1) ?) -IHA /2 width=1/
 123 | normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12
 124   >IHB -IHB // >IHA -IHA //
 125 ]
 126 qed.
 127
 128 theorem dsubst_dsubst_lt: ∀N1,N2,M,d1,d2. d2 < d1 →
 129                           [d2 ↙ [d1 - d2 -1 ↙ N1] N2] [d1 ↙ N1] M = [d1 - 1 ↙ N1] [d2 ↙ N2] M.
 130 #N1 #N2 #M #d1 #d2 #Hd21
 131 lapply (ltn_to_ltO … Hd21) #Hd1
 132 >dsubst_dsubst_ge in ⊢ (???%); /2 width=1/ <plus_minus_m_m //
 133 qed.
 134
 135 definition dsubstable_dx: predicate (relation term) ≝ λR.
 136                           ∀N,M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ↙ N] M1) ([d ↙ N] M2).
 137
 138 definition dsubstable: predicate (relation term) ≝ λR.
 139                        ∀N1,N2. R N1 N2 → ∀M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ↙ N1] M1) ([d ↙ N2] M2).
 140
 141 lemma star_dsubstable_dx: ∀R. dsubstable_dx R → dsubstable_dx (star … R).
 142 #R #HR #N #M1 #M2 #H elim H -M2 // /3 width=3/
 143 qed.
 144
 145 lemma lstar_dsubstable_dx: ∀S,R. (∀a. dsubstable_dx (R a)) →
 146                            ∀l. dsubstable_dx (lstar S … R l).
 147 #S #R #HR #l #N #M1 #M2 #H
 148 @(lstar_ind_l … l M1 H) -l -M1 // /3 width=3/
 149 qed.
 150
 151 lemma star_dsubstable: ∀R. reflexive ? R →
 152                        dsubstable R → dsubstable (star … R).
 153 #R #H1R #H2 #N1 #N2 #H elim H -N2 /3 width=1/ /3 width=5/
 154 qed.