matita/matita/lib/lambda/terms/sequential_computation.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "lambda/terms/parallel_computation.ma".
  16
  17 (* SEQUENTIAL COMPUTATION (MULTISTEP) ***************************************)
  18
  19 definition sreds: relation term ≝ star … sred.
  20
  21 interpretation "sequential computation"
  22    'SeqRedStar M N = (sreds M N).
  23
  24 lemma sreds_refl: reflexive … sreds.
  25 //
  26 qed.
  27
  28 lemma sreds_step_sn: ∀M1,M. M1 ↦ M → ∀M2. M ↦* M2 → M1 ↦* M2.
  29 /2 width=3/
  30 qed-.
  31
  32 lemma sreds_step_dx: ∀M1,M. M1 ↦* M → ∀M2. M ↦ M2 → M1 ↦* M2.
  33 /2 width=3/
  34 qed-.
  35
  36 lemma sreds_step_rc: ∀M1,M2. M1 ↦ M2 → M1 ↦* M2.
  37 /2 width=1/
  38 qed.
  39
  40 lemma lsred_compatible_abst: compatible_abst sreds.
  41 /3 width=1/
  42 qed.
  43
  44 lemma sreds_compatible_sn: compatible_sn sreds.
  45 /3 width=1/
  46 qed.
  47
  48 lemma sreds_compatible_dx: compatible_dx sreds.
  49 /3 width=1/
  50 qed.
  51
  52 lemma sreds_compatible_appl: compatible_appl sreds.
  53 /3 width=3/
  54 qed.
  55
  56 lemma sreds_lift: liftable sreds.
  57 /2 width=1/
  58 qed.
  59
  60 lemma sreds_inv_lift: deliftable_sn sreds.
  61 /3 width=3 by star_deliftable_sn, sred_inv_lift/
  62 qed-.
  63
  64 lemma sreds_dsubst: dsubstable_dx sreds.
  65 /2 width=1/
  66 qed.
  67
  68 theorem sreds_trans: transitive … sreds.
  69 /2 width=3 by trans_star/
  70 qed-.
  71
  72 (* Note: the substitution should be unparentesized *)
  73 lemma sreds_compatible_beta: ∀B1,B2. B1 ↦* B2 → ∀A1,A2. A1 ↦* A2 →
  74                              @B1.𝛌.A1 ↦* ([↙B2] A2).
  75 #B1 #B2 #HB12 #A1 #A2 #HA12
  76 @(sreds_trans … (@B2.𝛌.A1)) /2 width=1/ -B1
  77 @(sreds_step_dx … (@B2.𝛌.A2)) // /3 width=1/
  78 qed.
  79
  80 theorem sreds_preds: ∀M1,M2. M1 ↦* M2 → M1 ⤇* M2.
  81 #M1 #M2 #H @(star_ind_l … M1 H) -M1 //
  82 #M1 #M #HM1 #_ #IHM2
  83 @(preds_step_sn … IHM2) -M2 /2 width=2/
  84 qed.
  85
  86 lemma pred_sreds: ∀M1,M2. M1 ⤇ M2 → M1 ↦* M2.
  87 #M1 #M2 #H elim H -M1 -M2 // /2 width=1/
  88 qed-.
  89
  90 theorem preds_sreds: ∀M1,M2. M1 ⤇* M2 → M1 ↦* M2.
  91 #M1 #M2 #H elim H -M2 //
  92 #M #M2 #_ #HM2 #HM1
  93 lapply (pred_sreds … HM2) -HM2 #HM2
  94 @(sreds_trans … HM1 … HM2)
  95 qed-.
  96
  97 theorem sreds_conf: ∀M0,M1. M0 ↦* M1 → ∀M2. M0 ↦* M2 →
  98                     ∃∃M. M1 ↦* M & M2 ↦* M.
  99 #M0 #M1 #HM01 #M2 #HM02
 100 lapply (sreds_preds … HM01) #HM01
 101 lapply (sreds_preds … HM02) #HM02
 102 elim (preds_conf … HM01 … HM02) -M0 #M #HM1 #HM2
 103 lapply (preds_sreds … HM1) -HM1
 104 lapply (preds_sreds … HM2) -HM2 /2 width=3/
 105 qed-.