matita/matita/lib/turing/universal/copy.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/marks.ma".
  14
  15 definition copy_step_subcase ≝
  16   λalpha,c,elseM.ifTM ? (test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  17     (seq (FinProd alpha FinBool) (adv_mark_r …)
  18       (seq ? (move_l …)
  19         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  20           (seq ? (write ? 〈c,false〉)
  21             (seq ? (move_r …)
  22               (seq ? (mark …)
  23                 (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  24     elseM tc_true.
  25
  26 definition R_copy_step_subcase ≝
  27   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
  28     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
  29     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
  30          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
  31     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
  32     (x = c ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
  33     (x ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
  34
  35 lemma sem_copy_step_subcase :
  36   ∀alpha,c,elseM,RelseM. Realize ? elseM RelseM →
  37   Realize ? (copy_step_subcase alpha c elseM) (R_copy_step_subcase alpha c RelseM).
  38 #alpha #c #elseM #RelseM #HelseM #intape
  39 cases (sem_if ? (test_char ? (λx. x == 〈c,true〉)) ?????? tc_true (sem_test_char ? (λx.x == 〈c,true〉))
  40         (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r alpha)
  41           (sem_seq ????? (sem_move_l …)
  42             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l … (is_marked alpha))
  43               (sem_seq ????? (sem_write ? 〈c,false〉)
  44                 (sem_seq ????? (sem_move_r …)
  45                   (sem_seq ????? (sem_mark …)
  46                     (sem_seq ????? (sem_move_r …) (sem_adv_to_mark_r … (is_marked alpha)))))))))
  47         HelseM intape)
  48 #k * #outc * #Hloop #HR %{k} %{outc} % [@Hloop] -Hloop
  49 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
  50 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * * #c0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hx #Hc #Hta
  51   * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #Htb cases (Htb (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) x) -Htb
  52   #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb #_ #_
  53   * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
  54   * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd cases (Htd … Htc) -Htd #_ #Htd cases (Htd (refl ??))
  55   -Htd #Htd lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ???) //
  56   [#x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) [ @Hl1marks | #Hsingle >(memb_single … Hsingle) % ]
  57   |whd in ⊢ (??%?); // ]
  58   -Htd #Htd #_
  59   * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
  60   * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf >reverse_append #Htf
  61   * #tg * whd in ⊢ (%→?); * #Htg #_ lapply (Htg … Htf) -Htf -Htg >reverse_single #Htg
  62   * #th * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hth lapply (Hth … Htg) -Htg -Hth
  63   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
  64   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  65     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  66     * * #_ #Houtc #_ lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
  67     #Houtc % >(\P Hc) in Hx; #Hx destruct (Hx) % // @Houtc
  68   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
  69     #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
  70     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
  71     * * #_ #Houtc lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
  72     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
  73       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
  74       |>(memb_single … Hx1) % ]
  75     | normalize >associative_append % ]
  76     #Houtc #_ % destruct (Hx) lapply (\P Hc) -Hc #Hc destruct (Hc) % //
  77     >Houtc >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
  78 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * #Hxc #Hta #Helse %2 %
  79   [| <Hta @Helse ]
  80   % #Hxc0 >Hxc0 in Hxc; #Hxc lapply (Hxc 〈c,true〉 (refl …)) #Hfalse
  81   cases (\Pf Hfalse) #Hfalse0 @Hfalse0 %
  82 ]
  83 qed.
  84
  85 (*
  86 if current = 0,tt
  87    then advance_mark_r;
  88         move_l;
  89         advance_to_mark_l;
  90         write(0,ff)
  91         move_r;
  92         mark;
  93         move_r;
  94         advance_to_mark_r;
  95 else if current = 1,tt
  96    then advance_mark_r;
  97         move_l;
  98         advance_to_mark_l;
  99         write(1,ff)
 100         move_r;
 101         mark;
 102         move_r;
 103         advance_to_mark_r;
 104 else if current = null
 105    then advance_mark_r;
 106         move_l;
 107         advance_to_mark_l
 108         adv_mark_r;
 109         move_r;
 110         advance_to_mark_r
 111 *)
 112
 113 definition nocopy_subcase ≝
 114   ifTM STape (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 115     (seq ? (adv_mark_r …)
 116       (seq ? (move_l …)
 117         (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 118           (seq ? (adv_mark_r …)
 119             (seq ? (move_r …) (adv_to_mark_r … (is_marked ?)))))))
 120     (nop ?) tc_true.
 121
 122 definition R_nocopy_subcase ≝
 123   λt1,t2.
 124     ∀a,l1,x0,a0,l2,x,l3.
 125     t1 = midtape STape (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2)
 126          〈x,true〉 (〈a,false〉::l3) →
 127     (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 128     (x = null ∧
 129      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 130     (x ≠ null ∧ t2 = t1).
 131
 132 lemma sem_nocopy_subcase : Realize ? nocopy_subcase R_nocopy_subcase.
 133 #intape
 134 cases (sem_if ? (test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉)) ?????? tc_true
 135         (sem_test_char ? (λx:STape.x == 〈null,true〉))
 136           (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 137             (sem_seq … (sem_move_l …)
 138               (sem_seq … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 139                 (sem_seq … (sem_adv_mark_r …)
 140                   (sem_seq … (sem_move_r …)
 141                     (sem_adv_to_mark_r … (is_marked ?))))))) (sem_nop ?) intape)
 142 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)  % [@Hloop] -Hloop
 143 #a #l1 #x0 #a0 #l2 #x #l3 #Hintape #Hl1marks cases HR -HR
 144 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * * #c * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc destruct (Hc) #Hx #Hta
 145   * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #Htb #_ cases (Htb (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) x) -Htb #Htb #_ lapply (Htb … Hta) -Hta -Htb #Htb
 146   * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc #Htc
 147   * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd cases (Htd … Htc) -Htd #_ #Htd cases (Htd (refl …)) -Htd #Htd #_
 148   lapply (Htd (l1@[〈a0,false〉]) 〈x0,true〉 l2 ? (refl …) ?)
 149   [#x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) [@Hl1marks| -Hx1 #Hx1 >(memb_single … Hx1) % ]
 150   |>associative_append % ] -Htd >reverse_append in ⊢ (???%→?); >associative_append in ⊢ (???%→?); #Htd
 151   * #te * whd in ⊢ (%→?); * #Hte cases (Hte l2 x0) -Hte #Hte #_ #_ lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd -Htc #Hte
 152   * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Hte -Htf
 153   generalize in match Hl1marks; -Hl1marks @(list_elim_left … l1)
 154   [ #Hl1marks #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 155     [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 156     * * #_ #Houtc lapply (Houtc [] ?? (refl ??) (refl ??) Hl1marks) -Houtc
 157     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) #_ % % [%] @Houtc
 158   | -l1 #c1 #l1 #_ #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 159     #Hth whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houtc cases (Houtc … Hth) -Houtc
 160     [ * >Hl1marks [ #Hfalse destruct (Hfalse) ] @memb_append_l2 @memb_hd ]
 161     * * #Hc1 #Houtc #_ lapply (Houtc (reverse ? l1@[〈x,false〉]) 〈a,true〉 l3 ? (refl ??) ?) -Houtc
 162     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1) -Hx1 #Hx1
 163       [@Hl1marks @memb_append_l1 <(reverse_reverse … l1) @memb_reverse @Hx1
 164       |>(memb_single … Hx1) % ]
 165     | normalize >associative_append % ]
 166     #Houtc lapply (\P Hx) -Hx #Hx destruct (Hx) % % [%] >Houtc
 167     >reverse_append >reverse_reverse >associative_append >associative_append % ]
 168 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); >Hintape * #Hxc
 169   cut (x ≠ null) [ % #Hx cases (\Pf (Hxc ? (refl …))) #Hfalse @Hfalse >Hx % ] -Hxc #Hxnull
 170   #Hta whd in ⊢ (%→?); #Houtc %2 % // <Hta @Houtc ]
 171 qed.
 172
 173 definition copy_step ≝
 174   ifTM ? (test_char STape (λc.bit_or_null (\fst c)))
 175   (single_finalTM ? (copy_step_subcase FSUnialpha (bit false)
 176     (copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) nocopy_subcase)))
 177   (nop ?)
 178   tc_true.
 179
 180 definition R_copy_step_true ≝
 181   λt1,t2.
 182     ∀ls,c,rs. t1 = midtape STape ls 〈c,true〉 rs →
 183     bit_or_null c = true ∧
 184     (∀a,l1,x0,a0,l2,l3.
 185      ls = (l1@〈a0,false〉::〈x0,true〉::l2) →
 186      rs = (〈a,false〉::l3) →
 187      no_marks l1 →
 188      ((∃x. c = bit x ∧
 189       t2 = midtape STape (〈bit x,false〉::l1@〈a0,true〉::〈bit x,false〉::l2) 〈a,true〉 l3) ∨
 190       (c = null ∧
 191       t2 = midtape ? (〈null,false〉::l1@〈a0,true〉::〈x0,false〉::l2) 〈a,true〉 l3))).
 192
 193 definition R_copy_step_false ≝
 194   λt1,t2.
 195    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 196    bit_or_null (\fst c) = false ∧ t2 = t1.
 197
 198 lemma sem_copy_step :
 199   accRealize ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))) R_copy_step_true R_copy_step_false.
 200 #intape
 201 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.bit_or_null (\fst c)))  …
 202     (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit false) …
 203        (sem_copy_step_subcase FSUnialpha (bit true) … (sem_nocopy_subcase …)))
 204           (sem_nop …))
 205 [ #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1 >Ht1 in H1;
 206   * * #c0 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hc #Ht3 % //
 207   #a #l1 #x0 #a0 #l2 #l3 #Hls #Hrs #Hl1marks >Hls in Ht3; >Hrs #Ht3
 208   cases (H2 … Ht3 ?)
 209   [ * #Hc' #Ht2 % %{false} % // <Hc' @Ht2
 210   | * #Hnotfalse whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 211     [ * #Hc' #Ht2 % %{true} % // <Hc' @Ht2
 212     |  * #Hnottrue whd in ⊢ (%→?); #Ht2 cases (Ht2 … Ht3 ?) -Ht2
 213       [ * #Hc' #Ht2 %2 <Hc' % // @Ht2
 214       | * #Hnotnull @False_ind
 215         generalize in match Hnotnull;generalize in match Hnottrue;generalize in match Hnotfalse;
 216         cases c in Hc; normalize
 217         [ * [ #_ #_ * #Hfalse #_ | #_ * #Hfalse #_ #_ ]
 218         | #_ #_ #_ * #Hfalse
 219         |*: #Hfalse destruct (Hfalse) ] @Hfalse %
 220       | @Hl1marks ]
 221     | @Hl1marks ]
 222   | @Hl1marks ]
 223 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #H1 #H2 #ls #c #rs #Ht1
 224   >Ht1 in H1; * #Hcur #Ht3 % // @Hcur % ]
 225 qed.
 226
 227 (*
 228 1) il primo carattere è marcato
 229 2) l'ultimo carattere è l'unico che può essere null, gli altri sono bit
 230 3) il terminatore non è né bit, né null
 231 *)
 232
 233 definition copy0 ≝ whileTM ? copy_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 234
 235 let rec merge_config (l1,l2:list STape) ≝
 236   match l1 with
 237   [ nil ⇒ nil ?
 238   | cons p1 l1' ⇒ match l2 with
 239     [ nil ⇒ nil ?
 240     | cons p2 l2' ⇒
 241            let 〈c1,b1〉 ≝ p1 in let 〈c2,b2〉 ≝ p2 in
 242            match c2 with
 243            [ null ⇒ p1
 244            | _ ⇒ p2 ] :: merge_config l1' l2' ] ].
 245
 246 lemma merge_config_append :
 247  ∀l1,l2,l3,l4.|l1| = |l2| →
 248  merge_config (l1@l3) (l2@l4) = merge_config l1 l2@merge_config l3 l4.
 249 #l1 #l2 #l3 #l4 #Hlen @(list_ind2 … Hlen)
 250 [normalize //
 251 | #t1 #t2 * #c1 #b1 * #c2 #b2 #IH whd in ⊢ (??%%); >IH % ]
 252 qed.
 253
 254 definition R_copy0 ≝ λt1,t2.
 255   ∀ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 256   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) →
 257   no_marks l1 → no_marks (l3@l4) → |l1| = |l4| →
 258   ∀l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] → only_bits_or_nulls l1' →
 259   ∀l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' → only_bits_or_nulls l4' →
 260   (c = comma ∧ t2 = t1) ∨
 261   (c ≠ comma ∧
 262     t2 = midtape ? (reverse ? l1'@l3@〈grid,true〉::
 263                   merge_config l4' (reverse ? l1')@ls)
 264      〈comma,true〉 rs).
 265
 266 lemma inj_append_singleton_l1 :
 267   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → l1 = l2.
 268 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 269 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct
 270 lapply (eq_f … (reverse ?) … e0) >reverse_reverse >reverse_reverse //
 271 qed.
 272
 273 lemma inj_append_singleton_l2 :
 274   ∀A.∀l1,l2:list A.∀a1,a2.l1@[a1] = l2@[a2] → a1 = a2.
 275 #A #l1 #l2 #a1 #a2 #H lapply (eq_f … (reverse ?) … H)
 276 >reverse_append >reverse_append normalize #H1 destruct %
 277 qed.
 278
 279 axiom daemon : ∀P:Prop.P.
 280
 281 lemma list_cases2_full :
 282   ∀T1,T2:Type[0].∀l1:list T1.∀l2:list T2.∀P:Prop.
 283   length ? l1 = length ? l2 →
 284   (l1 = [] → l2 = [] → P) →
 285   (∀hd1,hd2,tl1,tl2.l1 = hd1::tl1 → l2 = hd2::tl2 → P) → P.
 286 #T1 #T2 #l1 #l2 #P #Hl @(list_ind2 … Hl)
 287 [ #Pnil #Pcons @Pnil //
 288 | #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH1 #IH2 #Hp @Hp // ]
 289 qed.
 290
 291 lemma wsem_copy0 : WRealize ? copy0 R_copy0.
 292 #intape #k #outc #Hloop
 293 lapply (sem_while … sem_copy_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 294 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 295 [ whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 296   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 297   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits
 298   cases (Hleft … Htb) -Hleft #Hc #Houtc % %
 299   [ generalize in match Hl1bits; -Hl1bits cases l1' in Hl1;
 300     [ normalize #Hl1 #c1 destruct (Hl1) %
 301     | * #c' #b' #l0 #Heq normalize in Heq; destruct (Heq)
 302       #Hl1bits lapply (Hl1bits 〈c',false〉 ?) [ @memb_hd ]
 303       >Hc #Hfalse destruct ]
 304   | @Houtc ]
 305 | #tc #td whd in ⊢ (%→?→(?→%)→%→?); #Htc #Hstar1 #Hind #Htd
 306   lapply (Hind Htd) -Hind #Hind
 307   #ls #c #c0 #rs #l1 #l3 #l4 #Htb #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen #l1' #bv
 308   #Hl1 #Hl1bits #l4' #bg #Hl4 #Hl4bits %2
 309   cases (Htc … Htb) -Htc #Hcbitnull #Htc
 310   % [ % #Hc' >Hc' in Hcbitnull; normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 311   cut (|l1| = |reverse ? l4|) [>length_reverse @Hlen] #Hlen1
 312   @(list_cases2_full … Hlen1)
 313   [ (* case l1 = [] is discriminated because l1 contains at least comma *)
 314     #Hl1nil @False_ind >Hl1nil in Hl1; cases l1' normalize
 315     [ #Hl1 destruct normalize in Hcbitnull; destruct (Hcbitnull)
 316     | #p0 #l0 normalize #Hfalse destruct (Hfalse) cases l0 in e0;
 317       [ normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)
 318       | #p0' #l0' normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ] ]
 319   | (* case c::l1 = c::a::l1'' *)
 320     * #a #ba * #a0 #ba0 #l1'' #l4'' #Hl1cons #Hl4cons
 321     lapply (eq_f ?? (reverse ?) ?? Hl4cons) >reverse_reverse >reverse_cons -Hl4cons #Hl4cons
 322     cut (ba = false)
 323     [ >Hl1cons in Hl1nomarks; #Hl1nomarks lapply (Hl1nomarks 〈a,ba〉 ?)
 324       [ @memb_hd | normalize // ] ] #Hba
 325     cut (ba0 = false)
 326     [ >Hl4cons in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks lapply (Hl3l4nomarks 〈a0,ba0〉 ?)
 327       [ @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd | normalize // ] ] #Hba0
 328     >Hba0 in Hl4cons; >Hba in Hl1cons; -Hba0 -Hba #Hl1cons #Hl4cons
 329     >Hl4cons in Htc; >Hl1cons #Htc
 330     lapply (Htc a (l3@reverse ? l4'') c0 a0 ls (l1''@rs) ? (refl ??) ?)
 331     [ #x #Hx @Hl3l4nomarks >Hl4cons <associative_append
 332       @memb_append_l1 @Hx
 333     | >associative_append >associative_append %
 334     | -Htc
 335       cut (∃la.l1' = 〈c,false〉::la)
 336       [ >Hl1cons in Hl1; cases l1'
 337         [normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 338         | #p #la normalize #Hla destruct (Hla) @(ex_intro ?? la) % ] ]
 339       * #la #Hla
 340       cut (∃lb.l4' = lb@[〈c0,false〉])
 341       [ >Hl4cons in Hl4;
 342         @(list_elim_left … l4')
 343         [ #Heq lapply (eq_f … (length ?) … Heq)
 344           >length_append >length_append
 345           >commutative_plus normalize >commutative_plus normalize
 346           #Hfalse destruct
 347         | #a1 #tl #_ #Heq
 348           >(inj_append_singleton_l2 ? (reverse ? l4''@[〈a0,false〉]) (〈grid,bg〉::tl) 〈c0,false〉 a1 Heq)
 349           @ex_intro //
 350       ] ] * #lb #Hlb
 351       cut (|lb| = |reverse ? la|)
 352       [ >Hla in Hl1; >Hlb in Hl4; #Hl4 #Hl1
 353         >(?:l1 = la@[〈comma,bv〉]) in Hlen;
 354         [|normalize in Hl1; destruct (Hl1) %]
 355         >(?:l4 = 〈grid,bg〉::lb)
 356         [|@(inj_append_singleton_l1 ?? (〈grid,bg〉::lb) ?? Hl4) ]
 357         >length_append >commutative_plus >length_reverse
 358         normalize #Hlalb destruct (Hlalb) //
 359       ] #Hlen2
 360       *
 361       (* by hyp on the first iteration step,
 362          we consider whether c = bit x or c = null *)
 363       (* c = bit x *)
 364       [ * #x * #Hx #Htc
 365         lapply (Hind (〈bit x,false〉::ls) a a0 rs l1''
 366                 (〈bit x,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 367         [ >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus
 368           normalize #Hlen destruct (Hlen) //
 369         | #x0 #Hx0 cases (orb_true_l … Hx0)
 370           [ #Hx0eq >(\P Hx0eq) %
 371           | -Hx0 #Hx0 @Hl3l4nomarks >Hl4cons
 372             <associative_append @memb_append_l1 // ]
 373         | #x0 #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 374         | >Htc >associative_append %
 375         | -Hind
 376           <Hl1cons <Hl4cons #Hind lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 377           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 378           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 379             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 380           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 381           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 382             destruct (Hl1) // ] -Hind
 383           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 384              (consequently several lists = []) or not *)
 385           *
 386           [ * #Ha #Houtc1
 387            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 388            [ @daemon ] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 389            >Hl1cons in Hl1; >Hla
 390            >Houtc1 >Htc #Hl1
 391            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 392            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hx
 393            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 394            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 395           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 396             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 397             >Hx whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 398             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 399           ]
 400        ]
 401     | (* c = null *)
 402       * #Hc #Htc
 403       lapply (Hind (〈c0,false〉::ls) a a0 rs l1'' (〈null,false〉::l3) (reverse ? l4'') ????)
 404       [  >Hl1cons in Hlen; >Hl4cons >length_append >commutative_plus normalize
 405          #Hlen destruct (Hlen) @e0
 406       | #x0 #Hx0 cases (memb_append STape ? [〈null,false〉] (l3@reverse ? l4'') … Hx0) -Hx0 #Hx0
 407         [ >(memb_single … Hx0) %
 408         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx0) -Hx0 #Hx0
 409           [ @memb_append_l1 //
 410           | @memb_append_l2 >Hl4cons @memb_append_l1 // ]
 411         ]
 412       | >Hl1cons #x' #Hx0 @Hl1nomarks >Hl1cons @memb_cons //
 413       | >Htc @eq_f3 // >associative_append % ] -Hind <Hl1cons <Hl4cons #Hind
 414         lapply (Hind la bv ?? lb bg ??)
 415           [ #x0 #Hx0 @Hl4bits >Hlb @memb_append_l1 //
 416           | >Hlb in Hl4; normalize in ⊢ (%→?); #Hl4
 417             @(inj_append_singleton_l1 ? l4 (〈grid,bg〉::lb) … Hl4)
 418           | #x0 #Hx0 @Hl1bits >Hla @memb_cons //
 419           | >Hla in Hl1; normalize in ⊢ (%→?); #Hl1
 420             destruct (Hl1) // ] -Hind *
 421           (* by IH, we proceed by cases, whether a = comma
 422              (consequently several lists = []) or not *)
 423           [ * #Ha #Houtc1 >Hl1cons in Hl1; >Hla
 424            >Houtc1 >Htc #Hl1
 425            >Hl4cons in Hl4; >Hlb #Hl4
 426            cut (la = [] ∧ lb = [] ∧ l1'' = [] ∧ l4'' = [])
 427            [@daemon] * * * #Hla1 #Hlb1 #Hl1nil #Hl4nil
 428            >Hla1 >Hlb1 >Hl1nil >Hl4nil >Hc
 429            cut (a0 = grid) [ @daemon ] #Ha0 <Ha <Ha0
 430            normalize in ⊢ (??(??%?%)(??%?%)); >associative_append %
 431           | * #Ha #Houtc1 >Houtc1 @eq_f3 //
 432             >Hla >reverse_cons >associative_append @eq_f
 433             >Hc whd in ⊢ (??%?); @eq_f whd in ⊢ (???%); @eq_f @eq_f
 434             >Hlb >append_cons @eq_f2 // >(merge_config_append … Hlen2) %
 435           ]
 436        ]
 437 ]]]
 438 qed.
 439
 440 definition Pre_copy0 ≝ λt1.
 441   ∃ls,c,c0,rs,l1,l3,l4.
 442   t1 = midtape STape (l3@l4@〈c0,true〉::ls) 〈c,true〉 (l1@rs) ∧
 443   no_marks l1 ∧ no_marks (l3@l4) ∧ |l1| = |l4| ∧
 444   (∃l1',bv.〈c,false〉::l1 = l1'@[〈comma,bv〉] ∧ only_bits_or_nulls l1') ∧
 445   (∃l4',bg.l4@[〈c0,false〉] = 〈grid,bg〉::l4' ∧ only_bits_or_nulls l4').
 446
 447 definition Pre_copy ≝ λt1.
 448   ∃ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 449   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) ∧
 450   no_marks l1 ∧ no_marks l3 ∧ no_marks l4 ∧ |l1| = |l4| ∧
 451   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) ∧ only_bits (〈s1,false〉::l1) ∧
 452   bit_or_null c0 = true ∧ bit_or_null c1 = true.
 453
 454 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 455   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 456 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 457   [%1 //
 458   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 459   ]
 460 qed.
 461
 462 lemma terminate_copy0 : ∀t.Pre_copy0 t → Terminate ? copy0 t.
 463 #t #HPre
 464 @(terminate_while_guarded ???
 465    Pre_copy0 …
 466    (acc_Realize_to_acc_GRealize ??? Pre_copy0 … sem_copy_step)
 467    … HPre) [%]
 468   [ -HPre -t #t1 #t2 * #ls * #c * #c0 * #rs * #l1 * #l3 * #l4
 469     * * * * * #Ht1 #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen
 470     * #l1' * #bv * #Hl1 #Hbitsnullsl1' * #l4' * #bg * #Hl4 #Hbitsnullsl4'
 471     #HR cases (HR … Ht1) -HR #Hbitnullc
 472     cut (∃d1,l1''.l1 = 〈d1,false〉::l1'')
 473     [ lapply Hl1nomarks cases l1 in Hl1;
 474       [ whd in ⊢ (???%→?); #Hl1
 475         lapply (append_l2_injective_r ? [] l1' [〈c,false〉] [〈comma,bv〉] (refl ??) Hl1)
 476         #Hc destruct (Hc) normalize in Hbitnullc; destruct (Hbitnullc)
 477       | * #d #bd #l1'' #_ #Hl1nomarks >(?:bd = false) [| @(Hl1nomarks 〈d,bd〉) @memb_hd ] /3/ ] ]
 478     * #d1 * #l1'' #Hl1''
 479     cut (∃d2,l4''.l4 = l4''@[〈d2,false〉])
 480     [ lapply Hl4 cases (list_last ? l4)
 481       [ #Hl4' >Hl4' in Hlen; >Hl1'' normalize in ⊢ (%→?); #HFalse destruct (HFalse)
 482       | * * #d2 #bd2 * #l4'' #Hl4'' >Hl4'' in Hl3l4nomarks; #Hl3l4nomarks #_
 483         <(?:bd2 = false) [| @(Hl3l4nomarks 〈d2,bd2〉) @memb_append_l2 @memb_append_l2 @memb_hd ]
 484         /3/ ] ]
 485     * #d2 * #l4'' #Hl4'' >Hl1'' >Hl4''
 486     cut (∃l1''',bv0.〈d1,false〉::l1''=l1'''@[〈comma,bv0〉]∧only_bits_or_nulls l1''')
 487     [ <Hl1'' cases (list_last ? l1) in Hl1'';
 488         [ #Hl1'' >Hl1''#HFalse destruct(HFalse)
 489         | * #a * #l1''' #Hl1''' >Hl1''' in Hl1; #Hl1 #_
 490           lapply (append_l2_injective_r ? (〈c,false〉::l1''') l1' [a] [〈comma,bv〉] (refl …) Hl1)
 491           #Ha destruct (Ha) %{l1'''} %{bv} % //
 492           #x #Hx @Hbitsnullsl1'
 493           lapply (append_l1_injective_r ? (〈c,false〉::l1''') l1' [〈comma,bv〉] [〈comma,bv〉] (refl …) Hl1)
 494           #H <H @memb_cons @Hx ] ]
 495     cut (∃l4''',bg0.l4''@[〈d2,false〉]=〈grid,bg0〉::l4'''∧only_bits_or_nulls l4''')
 496     [ <Hl4'' cases (list_last ? l4') in Hl4;
 497         [ #Hl4' >Hl4' >Hl4'' cases l4''
 498           [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 499           | #y #yl normalize in ⊢ (%→?); #H1 destruct (H1) cases yl in e0;
 500             [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 501             | #z #zl normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ] ]
 502         | * #a * #l4''' #Hl4''' >Hl4''' #Hl4
 503           lapply (append_l1_injective_r ? l4 (〈grid,bg〉::l4''') [〈c0,false〉] [a] (refl …) Hl4)
 504           -Hl4 #Hl4 >Hl4 %{l4'''} %{bg} % //
 505           #x #Hx @Hbitsnullsl4' >Hl4''' @memb_append_l1 @Hx ] ]
 506     #Hl4''' #Hl1'''
 507     #HR cases (HR d1 (l3@l4'') c0 d2 ls (l1''@rs) ? ? ?)
 508     [3: >associative_append >associative_append %
 509     |4: %
 510     |5: #x #Hx @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx)
 511       [ @memb_append_l1
 512       | >Hl4'' -Hx #Hx @memb_append_l2 @memb_append_l1 @Hx ]
 513     | * #x1 * #Hc #Ht2 whd >Ht2
 514       %{(〈bit x1,false〉::ls)} %{d1} %{d2} %{rs} %{l1''} %{(〈bit x1,false〉::l3)} %{l4''}
 515       % [ % [ % [ % [ %
 516       [ >associative_append %
 517       | #x #Hx @Hl1nomarks >Hl1'' @memb_cons @Hx ]
 518       | #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 519         [ >(\P Hx) %
 520         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx)
 521           [ @memb_append_l1
 522           | -Hx #Hx >Hl4'' @memb_append_l2 @memb_append_l1 @Hx ] ] ]
 523       | >Hl1'' in Hlen; >Hl4'' >length_append >commutative_plus
 524         normalize in ⊢ (%→?); #Hlen destruct (Hlen) @e0 ]
 525       | @Hl1''' ]
 526       | @Hl4''' ]
 527    | * #Hc #Ht2 whd >Ht2
 528       %{(〈c0,false〉::ls)} %{d1} %{d2} %{rs} %{l1''} %{(〈null,false〉::l3)} %{l4''}
 529       % [ % [ % [ % [ %
 530       [ >associative_append %
 531       | #x #Hx @Hl1nomarks >Hl1'' @memb_cons @Hx ]
 532       | #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 533         [ >(\P Hx) %
 534         | @Hl3l4nomarks cases (memb_append … Hx)
 535           [ @memb_append_l1
 536           | -Hx #Hx >Hl4'' @memb_append_l2 @memb_append_l1 @Hx ] ] ]
 537       | >Hl1'' in Hlen; >Hl4'' >length_append >commutative_plus
 538         normalize in ⊢ (%→?); #Hlen destruct (Hlen) @e0 ]
 539       | @Hl1''' ]
 540       | @Hl4''' ]
 541     ]
 542  |cases HPre -HPre #ls * #c * #c0 * #rs * #l1 * #l3 * #l4
 543   * * * * * #Ht #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #Hlen
 544   * #l1' * #bv * #Hl1 #Hbitsnullsl1'
 545   * #l4' * #bg * #Hl4 #Hbitsnullsl4'
 546   >Ht lapply Hbitsnullsl1' lapply Hl1 lapply l1' lapply Hl3l4nomarks
 547   lapply Hl1nomarks lapply l3 lapply c0 lapply c lapply ls
 548   -Hbitsnullsl1' -Hl1 -l1' -Hl3l4nomarks -Hl1nomarks -l3 -Hl4 -c0 -c -ls
 549   <(reverse_reverse ? l4) <(length_reverse ? l4) in Hlen; #Hlen
 550   @(list_ind2 … Hlen)
 551   [ #ls #c #c0 #l3 #_ #_ #l1' #Hl1 #Hbitsnullsl1' cases l1' in Hl1;
 552     [| #x * [| #x0 #xs ] normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 553     normalize in ⊢ (%→?); #Hl1' destruct (Hl1') % #t1 whd in ⊢ (%→?);
 554     #HR cases (HR … (refl …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 555   | #xs #ys * #x #bx * #y #by #IH
 556     #ls #c #c0 #l3 #Hl1nomarks #Hl3l4nomarks #l1' #Hl1
 557     #Hbitsnullsl1' %
 558     #t1 whd in ⊢ (%→?); #HR cases (HR … (refl …)) -HR
 559     #Hbitnullc #HR
 560     lapply (Hl1nomarks 〈x,bx〉 (memb_hd …)) normalize in ⊢ (%→?); #Hbx destruct (Hbx)
 561     (*cut (∃d2,l4''.〈y,by〉::ys = l4''@[〈d2,false〉])
 562     [ cases (list_last ? ys) in Hl3l4nomarks;
 563       [ #Hl4' #Hl3l4nomarks >Hl4' >(?:by = false) [%{y} %{([])} %]
 564         @(Hl3l4nomarks 〈y,by〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 565       | * * #d2 #bd2 * #l4'' #Hl4'' >Hl4'' #Hl3l4nomarks
 566         <(?:bd2 = false) [| @(Hl3l4nomarks 〈d2,bd2〉) @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l2 @memb_hd ]
 567         %{d2} %{(〈y,by〉::l4'')} % ] ]
 568     * #a0 * #l4'' #Hl4'' >Hl4'' in HR; #HR *)
 569     cases (HR x (l3@reverse ? ys) c0 y ls (xs@rs) ? (refl …) ?)
 570     [3: >reverse_cons >associative_append >associative_append
 571         >(?:by = false) [|@(Hl3l4nomarks 〈y,by〉) @memb_append_l2 >reverse_cons @memb_append_l2 @memb_hd ] %
 572     |4: #x #Hx @Hl3l4nomarks >reverse_cons <associative_append @memb_append_l1 @Hx
 573     | * #x1 * #Hc #Ht1 >Ht1
 574       <(?: (〈bit x1,false〉::l3)@reverse (FSUnialpha×bool) ys@〈y,true〉::〈bit x1,false〉::ls =
 575             〈bit x1,false〉::(l3@reverse (FSUnialpha×bool) ys)@〈y,true〉::〈bit x1,false〉::ls)
 576      [cut (∃l1''.〈x,false〉::xs = l1''@[〈comma,bv〉] ∧ only_bits_or_nulls l1'')
 577       [lapply Hbitsnullsl1' lapply Hl1 -Hl1 -Hbitsnullsl1' cases l1'
 578        [normalize in ⊢(%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 579        |#x2 #l1'' normalize in ⊢ (%→?); #Heq #Hbitsnullsl1' destruct (Heq)
 580         %{l1''} % [@e0]
 581         #x #Hx @Hbitsnullsl1' @memb_cons @Hx ] ]
 582       * #l1'' * #Hl1'' #Hbitsnullsl1''
 583       @(IH (〈bit x1,false〉::ls) x y (〈bit x1,false〉::l3) ?? l1'' Hl1'' Hbitsnullsl1'')
 584       [#x #Hx @Hl1nomarks @memb_cons @Hx
 585       |#x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 586        [>(\P Hx) %
 587        |cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx @Hl3l4nomarks
 588         [@memb_append_l1 @Hx
 589         |@memb_append_l2 >reverse_cons @memb_append_l1 @Hx ] ] ]
 590      |>associative_append % ]
 591     | * #Hc #Ht1 >Ht1
 592       <(?: (〈null,false〉::l3)@reverse (FSUnialpha×bool) ys@〈y,true〉::〈c0,false〉::ls =
 593             〈null,false〉::(l3@reverse (FSUnialpha×bool) ys)@〈y,true〉::〈c0,false〉::ls)
 594      [cut (∃l1''.〈x,false〉::xs = l1''@[〈comma,bv〉] ∧ only_bits_or_nulls l1'')
 595       [lapply Hbitsnullsl1' lapply Hl1 -Hl1 -Hbitsnullsl1' cases l1'
 596        [normalize in ⊢(%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 597        |#x2 #l1'' normalize in ⊢ (%→?); #Heq #Hbitsnullsl1' destruct (Heq)
 598         %{l1''} % [@e0]
 599         #x #Hx @Hbitsnullsl1' @memb_cons @Hx ] ]
 600       * #l1'' * #Hl1'' #Hbitsnullsl1''
 601       @(IH (〈c0,false〉::ls) x y (〈null,false〉::l3) ?? l1'' Hl1'' Hbitsnullsl1'')
 602       [#x #Hx @Hl1nomarks @memb_cons @Hx
 603       |#x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 604        [>(\P Hx) %
 605        |cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx @Hl3l4nomarks
 606         [@memb_append_l1 @Hx
 607         |@memb_append_l2 >reverse_cons @memb_append_l1 @Hx ] ] ]
 608     |>associative_append % ]
 609 ]]]
 610 qed.
 611
 612 definition merge_char ≝ λc1,c2.
 613   match c2 with
 614   [ null ⇒ c1
 615   | _ ⇒ c2 ].
 616
 617 lemma merge_cons :
 618   ∀c1,c2,conf1,conf2.
 619   merge_config (〈c1,false〉::conf1) (〈c2,false〉::conf2) =
 620     〈merge_char c1 c2,false〉::merge_config conf1 conf2.
 621 #c1 #c2 #conf1 #conf2 normalize @eq_f2 //
 622 cases c2 /2/
 623 qed.
 624
 625 lemma merge_bits : ∀l1,l2.|l1| = |l2| → only_bits l2 → merge_config l1 l2 = l2.
 626 #l1 #l2 #Hlen @(list_ind2 … Hlen) //
 627 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH
 628 >(eq_pair_fst_snd … hd1) >(eq_pair_fst_snd … hd2) #Hbits
 629 change with (cons ???) in ⊢ (??%?); @eq_f2
 630 [ cases (\fst hd2) in Hbits;
 631   [ #b #_ %
 632   |*: #Hfalse lapply (Hfalse … (memb_hd …)) normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1) ]
 633 | @IH #x #Hx @Hbits @memb_cons // ]
 634 qed.
 635
 636 lemma merge_config_c_nil :
 637   ∀c.merge_config c [] = [].
 638 #c cases c normalize //
 639 qed.
 640
 641 lemma reverse_merge_config :
 642   ∀c1,c2.|c1| = |c2| → reverse ? (merge_config c1 c2) =
 643     merge_config (reverse ? c1) (reverse ? c2).
 644 #c1 #c2 <(length_reverse ? c1) <(length_reverse ? c2) #Hlen
 645 <(reverse_reverse ? c1) in ⊢ (??%?); <(reverse_reverse ? c2) in ⊢ (??%?);
 646 generalize in match Hlen; @(list_ind2 … Hlen) -Hlen //
 647 #tl1 #tl2 #hd1 #hd2 #IH whd in ⊢ (??%%→?); #Hlen destruct (Hlen) -Hlen
 648 <(length_reverse ? tl1) in e0; <(length_reverse ? tl2) #Hlen
 649 >reverse_cons >reverse_cons >(merge_config_append ???? Hlen)
 650 >reverse_append >(eq_pair_fst_snd ?? hd1) >(eq_pair_fst_snd ?? hd2)
 651 whd in ⊢ (??%%); @eq_f2 // @IH //
 652 qed.
 653
 654 definition copy
 655 ≝
 656   seq STape copy0 (seq ? (move_l …) (seq ? (adv_to_mark_l … (is_marked ?))
 657    (seq ? (clear_mark …) (seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?)) (clear_mark …))))).
 658
 659 (*
 660    s0, s1 = caratteri di testa dello stato
 661    c0 = carattere corrente del nastro oggetto
 662    c1 = carattere in scrittura sul nastro oggetto
 663
 664    questa dimostrazione sfrutta il fatto che
 665    merge_config (l0@[c0]) (l1@[c1]) = l1@[merge_char c0 c1]
 666    se l0 e l1 non contengono null
 667 *)
 668
 669 definition R_copy ≝ λt1,t2.
 670   ∀ls,s0,s1,c0,c1,rs,l1,l3,l4.
 671   t1 = midtape STape (l3@〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4@〈s0,true〉::ls) 〈s1,true〉 (l1@〈c1,false〉::〈comma,false〉::rs) →
 672   no_marks l1 → no_marks l3 → no_marks l4 → |l1| = |l4| →
 673   only_bits (l4@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::l1) →
 674   bit_or_null c0 = true → bit_or_null c1 = true →
 675   t2 = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l3@〈grid,false〉::
 676                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 677        〈comma,false〉 rs.
 678
 679 lemma sem_copy0 : GRealize ? copy0 Pre_copy0 R_copy0.
 680 @WRealize_to_GRealize
 681 [ @terminate_copy0
 682 | @wsem_copy0 ]
 683 qed.
 684
 685 definition option_cons ≝ λA.λa:option A.λl.
 686   match a with
 687   [ None ⇒ l
 688   | Some a' ⇒ a'::l ].
 689
 690 lemma sem_copy : GRealize ? copy Pre_copy R_copy.
 691 @(GRealize_to_GRealize_2 ?? Pre_copy0 ? R_copy) //
 692 (* preamble: Pre_copy0 implies Pre_copy *)
 693 [ #t1 * #ls * #s0 * #s1 * #c0 * #c1 * #rs * #l1 * #l3 * #l4 * * * * * * * *
 694   #Ht1 #Hl1nomarks #Hl3nomarks #Hl4nomarks #Hlen #Hbitsl4 #Hbitsl1
 695   #Hbitnullc0 #Hbitnullc1 whd
 696   %{ls} %{s1} %{s0} %{rs} %{(l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉])}
 697   %{l3} %{(〈grid,false〉::〈c0,false〉::l4)}
 698   % [ % [ % [ % [ %
 699   [ >Ht1 -Ht1 @eq_f >associative_append %
 700   | #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 701     [ @(Hl1nomarks ? Hx)
 702     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 703       [ >(\P Hx) %
 704       | >(memb_single … Hx) % ] ] ]
 705   | #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 706     [ @(Hl3nomarks ? Hx)
 707     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 708       [ >(\P Hx) %
 709       | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 710         [ >(\P Hx) %
 711         | @(Hl4nomarks ? Hx) ]]]]
 712   |>length_append >Hlen >commutative_plus % ]
 713   | %{(〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉])} %{false} %
 714     [ @eq_f >associative_append %
 715     | #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 716       [ >(\P Hx) @is_bit_to_bit_or_null @(Hbitsl1 〈s1,false〉) @memb_hd
 717       | cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 718         [ @is_bit_to_bit_or_null @(Hbitsl1 〈\fst x,\snd x〉) @memb_cons <eq_pair_fst_snd @Hx
 719         | >(memb_single… Hx) // ]
 720       ]
 721     ] ]
 722   | %{(〈c0,false〉::l4@[〈s0,false〉])} %{false} %
 723     [ %
 724     | #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 725       [ >(\P Hx) //
 726       | cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 727         [ @is_bit_to_bit_or_null @(Hbitsl4 〈\fst x,\snd x〉) @memb_append_l1 <eq_pair_fst_snd @Hx
 728         | >(memb_single… Hx) @is_bit_to_bit_or_null @(Hbitsl4 〈s0,false〉) @memb_append_l2 @memb_hd ]
 729       ]
 730 ] ] ]
 731 (*whd in ⊢ (%→%)
 732 change with (?·?) in match copy;*)
 733 @(sem_seq_app_guarded ???? (λx.True) ??? sem_copy0)
 734 [2:@(sem_seq_app_guarded ???????? (Realize_to_GRealize … (sem_move_l (FinProd FSUnialpha FinBool))))
 735   [@(λx.True)
 736   |4://
 737   |5:@sub_reflexive
 738   |3:@(sem_seq_app_guarded ???????? (Realize_to_GRealize … (sem_adv_to_mark_l … (is_marked FSUnialpha))))
 739     [@(λx.True)
 740     |4://
 741     |5:@sub_reflexive
 742     |3:@(sem_seq_app_guarded ???????? (Realize_to_GRealize … (sem_clear_mark ?)))
 743       [@(λx.True)
 744       |4://
 745       |5:@sub_reflexive
 746       |3:@(sem_seq_app_guarded ???????? (Realize_to_GRealize … (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))))
 747         [@(λx.True)
 748         |4://
 749         |5:@sub_reflexive
 750         |3:@(Realize_to_GRealize … (sem_clear_mark ?)) ] ] ] ]
 751 |3: //
 752 |1:skip]
 753 #intape #outtape #HR
 754 #ls #s0 #s1 #c0 #c1 #rs #l1 #l2 #l3 #Hintape #Hl1marks #Hl2marks #Hl3marks #Hlen
 755 #Hbits1 #Hbits2 #Hc0bits #Hc1bits
 756 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 757 cut (ta = midtape STape (〈c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::l2@〈grid,true〉::
 758                       〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)
 759        〈comma,true〉 rs)
 760 [lapply (Hta ls s1 s0 rs (l1@[〈c1,false〉;〈comma,false〉]) l2 (〈grid,false〉::〈c0,false〉::l3) ?)
 761   [>associative_append in ⊢ (???(????%)); normalize in ⊢ (???(??%%%)); @Hintape ]
 762  -Hta #Hta cases (Hta ??? (〈s1,false〉::l1@[〈c1,false〉]) false ? ? ?? (refl ??) ?)
 763   [3: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 764     [ @Hl1marks //
 765     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | >(memb_single … Hx) % ]]
 766   |4: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 767     [ @Hl2marks //
 768     | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) % | cases (orb_true_l … Hx) [-Hx #Hx >(\P Hx) % | @Hl3marks ] ] ]
 769   |5: >length_append normalize >Hlen >commutative_plus %
 770   |6: normalize >associative_append %
 771   |7: #x #Hx cases (memb_append ?? (〈s1,false〉::l1) … Hx) -Hx #Hx
 772     [ whd in ⊢ (??%?); >(Hbits2 … Hx) %
 773     | >(memb_single … Hx) // ]
 774   |8: #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 775     [ cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx [ >(\P Hx) // | whd in ⊢ (??%?); >Hbits1 // @memb_append_l1 // ]
 776     | >(memb_single … Hx) whd in ⊢ (??%?); >(Hbits1 〈s0,false〉) // @memb_append_l2 @memb_hd ]
 777   | * #Hs1 @False_ind >Hs1 in Hbits2; #Hbits2 lapply (Hbits2 〈comma,false〉 ?) //
 778     normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 779   | * #Hs1 #Ht2 >Ht2 >reverse_cons >reverse_append >reverse_single @eq_f3 //
 780     >merge_cons >merge_bits
 781     [2: #x #Hx @Hbits2 cases (memb_append STape ? (reverse ? l1) ? Hx) -Hx #Hx
 782       [@daemon | >(memb_single … Hx) @memb_hd ]
 783     |3: >length_append >length_append >length_reverse >Hlen % ]
 784     normalize >associative_append normalize >associative_append %
 785   ]
 786 ] -Hta #Hta * #tb * * #_ #Htb
 787 lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb change with (midtape ????) in Htb:(???%);
 788 * #tc * * #_ #Htc
 789 cases (Htc … Htb)
 790 (* [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ] *)
 791 #_ #Htc cases (Htc (refl ??)) -Htc #Htc #_
 792 lapply (Htc (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2) 〈grid,true〉
 793           (〈merge_char c0 c1,false〉::reverse ? l1@〈s1,false〉::ls)???)
 794 [ #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 795   [ @Hl1marks @daemon
 796   | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 797     [ >(\P Hx) % | @(Hl2marks … Hx) ] ]
 798 | %
 799 | whd in ⊢ (??%?); >associative_append % ] -Htc #Htc
 800 * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd #Htd
 801 * #te * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hte cases (Hte … Htd) -Hte -Htd
 802 [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 803 * * #_ #Hte #_
 804 lapply (Hte (reverse ? (reverse ? l1@〈s1,false〉::l2)@[〈c1,false〉])
 805          〈comma,true〉 rs ? (refl ??) ?) -Hte
 806 [ >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse #x #Hx
 807   cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 808   [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 809     [ cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 810       [ @daemon
 811       | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 812     | @(Hl1marks … Hx) ]
 813   | lapply (memb_single … Hx) -Hx #Hx >Hx % ]
 814 | >reverse_append >reverse_reverse >reverse_cons
 815   >associative_append >associative_append >associative_append
 816   >associative_append >associative_append % ]
 817 #Hte * #_ #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc #Houtc >Houtc
 818 @eq_f3 //
 819 >reverse_append >reverse_append >reverse_single >reverse_cons
 820 >reverse_append >reverse_append >reverse_reverse >reverse_reverse
 821 >reverse_single >associative_append >associative_append %
 822 qed.