matita/matita/lib/turing/wmono.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "basics/vectors.ma".
  13 include "basics/finset.ma".
  14 include "basics/core_notation/compose_2.ma".
  15 (* include "basics/relations.ma". *)
  16
  17 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝
  18 { left : list sig;
  19   right: list sig
  20 }.
  21
  22 inductive move : Type[0] ≝
  23 | L : move
  24 | R : move
  25 .
  26
  27 (* We do not distinuish an input tape *)
  28
  29 record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
  30 { states : FinSet;
  31   trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
  32   start: states;
  33   halt : states → bool
  34 }.
  35
  36 record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
  37 { cstate : states;
  38   ctape: tape sig
  39 }.
  40
  41 definition option_hd ≝ λA.λl:list A.
  42   match l with
  43   [nil ⇒ None ?
  44   |cons a _ ⇒ Some ? a
  45   ].
  46
  47 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
  48   match m with
  49   [ None ⇒ t
  50   | Some m1 ⇒
  51     match \snd m1 with
  52     [ R ⇒ mk_tape sig ((\fst m1)::(left ? t)) (tail ? (right ? t))
  53     | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t)) ((\fst m1)::(right ? t))
  54     ]
  55   ].
  56
  57 definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
  58   let current_char ≝ option_hd ? (right ? (ctape ?? c)) in
  59   let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
  60   mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
  61
  62 let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
  63   match n with
  64   [ O ⇒ None ?
  65   | S m ⇒ if p a then (Some ? a) else loop A m f p (f a)
  66   ].
  67
  68 lemma loop_incr : ∀A,f,p,k1,k2,a1,a2.
  69   loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
  70     loop A (k2+k1) f p a1 = Some ? a2.
  71 #A #f #p #k1 #k2 #a1 #a2 generalize in match a1; elim k1
  72 [normalize #a0 #Hfalse destruct
  73 |#k1' #IH #a0 <plus_n_Sm whd in ⊢ (??%? → ??%?);
  74  cases (true_or_false (p a0)) #Hpa0 >Hpa0 whd in ⊢ (??%? → ??%?); // @IH
  75 ]
  76 qed.
  77
  78 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. q b = true → p b = true) →
  79  ∀k,a1,a2.
  80    loop A k f q a1 = Some ? a2 →
  81    ∃k1,a3.
  82     loop A k1 f p a1 = Some ? a3 ∧
  83       loop A (S(k-k1)) f q a3 = Some ? a2.
  84 #A #f #p #q #Hpq #k elim k
  85   [#a1 #a2 normalize #Heq destruct
  86   |#i #Hind #a1 #a2 normalize
  87    cases (true_or_false (q a1)) #Hqa1 >Hqa1 normalize
  88     [ #Ha1a2 destruct
  89      @(ex_intro … 1) @(ex_intro … a2) %
  90        [normalize >(Hpq …Hqa1) // |>Hqa1 //]
  91     |#Hloop cases (true_or_false (p a1)) #Hpa1
  92        [@(ex_intro … 1) @(ex_intro … a1) %
  93          [normalize >Hpa1 // |>Hqa1 <Hloop normalize //]
  94        |cases (Hind …Hloop) #k2 * #a3 * #Hloop1 #Hloop2
  95         @(ex_intro … (S k2)) @(ex_intro … a3) %
  96          [normalize >Hpa1 normalize // | @Hloop2 ]
  97        ]
  98     ]
  99   ]
 100 qed.
 101
 102 (*
 103 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 104  ∀k1,k2,a1,a2,a3,a4.
 105    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 106      f a2 = a3 → q a2 = false →
 107        loop A k2 f q a3 = Some ? a4 →
 108          loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a4.
 109 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 110   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 #H destruct
 111   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 normalize in ⊢ (%→?);
 112    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 113    [#eqa1a2 destruct #eqa2a3 #Hqa2 #H
 114     whd in ⊢ (??(??%???)?); >plus_n_Sm @loop_incr
 115     whd in ⊢ (??%?); >Hqa2 >eqa2a3 @H
 116    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 117     #H1 #H2 #H3 @(Hind … H2) //
 118    ]
 119  ]
 120 qed. *)
 121
 122 (*
 123 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 124  ∀k1,k2,a1,a2,a3.
 125    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 126      loop A k2 f q a2 = Some ? a3 →
 127        loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a3.
 128 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 129   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #H destruct
 130   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 normalize in ⊢ (%→?→?);
 131    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 132    [#eqa1a2 destruct #H @loop_incr //
 133    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 134     #H1 #H2 @(Hind … H2) //
 135    ]
 136  ]
 137 qed.
 138 *)
 139
 140 definition initc ≝ λsig.λM:TM sig.λt.
 141   mk_config sig (states sig M) (start sig M) t.
 142
 143 definition Realize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 144 ∀t.∀i.∀outc.
 145   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc →
 146   R t (ctape ?? outc).
 147
 148
 149 definition accRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λacc:states sig M.λRtrue,Rfalse:relation (tape sig).
 150 ∀t.∃i.∃outc.
 151   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 152   (cstate ?? outc = acc → Rtrue t (ctape ?? outc)) ∧
 153   (cstate ?? outc ≠ acc → Rfalse t (ctape ?? outc)).
 154
 155 (* Compositions *)
 156
 157 definition seq_trans ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 158 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
 159   match s with
 160   [ inl s1 ⇒
 161       if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
 162       else
 163       let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
 164       〈inl … news1,m〉
 165   | inr s2 ⇒
 166       let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
 167       〈inr … news2,m〉
 168   ].
 169
 170 definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 171   mk_TM sig
 172     (FinSum (states sig M1) (states sig M2))
 173     (seq_trans sig M1 M2)
 174     (inl … (start sig M1))
 175     (λs.match s with
 176       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig M2 s2]).
 177
 178 definition Rcomp ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa1,a2.
 179   ∃am.R1 a1 am ∧ R2 am a2.
 180
 181 (*
 182 definition injectRl ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 183    λc1,c2. ∃c11,c12.
 184      inl … (cstate sig M1 c11) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 185      inl … (cstate sig M1 c12) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 186      ctape sig M1 c11 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 187      ctape sig M1 c12 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 188      R c11 c12.
 189
 190 definition injectRr ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 191    λc1,c2. ∃c21,c22.
 192      inr … (cstate sig M2 c21) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 193      inr … (cstate sig M2 c22) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 194      ctape sig M2 c21 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 195      ctape sig M2 c22 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 196      R c21 c22.
 197
 198 definition Rlink ≝ λsig.λM1,M2.λc1,c2.
 199   ctape sig (seq sig M1 M2) c1 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 200   cstate sig (seq sig M1 M2) c1 = inl … (halt sig M1) ∧
 201   cstate sig (seq sig M1 M2) c2 = inr … (start sig M2). *)
 202
 203 interpretation "relation composition" 'compose R1 R2 = (Rcomp ? R1 R2).
 204
 205 definition lift_confL ≝
 206   λsig,S1,S2,c.match c with
 207   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inl … s) t ].
 208
 209 definition lift_confR ≝
 210   λsig,S1,S2,c.match c with
 211   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inr … s) t ].
 212
 213 definition halt_liftL ≝
 214   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 215   match s with
 216   [ inl s1 ⇒ halt s1
 217   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
 218
 219 definition halt_liftR ≝
 220   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 221   match s with
 222   [ inl _ ⇒ false
 223   | inr s2 ⇒ halt s2 ].
 224
 225 lemma p_halt_liftL : ∀sig,S1,S2,halt,c.
 226   halt (cstate sig S1 c) =
 227      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
 228 #sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
 229 qed.
 230
 231 lemma trans_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 232   halt ? M1 s = false →
 233   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 234   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
 235 #sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
 236 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 237 qed.
 238
 239 lemma trans_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 240   halt ? M2 s = false →
 241   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 242   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
 243 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
 244 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 245 qed.
 246
 247 lemma config_eq :
 248   ∀sig,M,c1,c2.
 249   cstate sig M c1 = cstate sig M c2 →
 250   ctape sig M c1 = ctape sig M c2 →  c1 = c2.
 251 #sig #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
 252 qed.
 253
 254 lemma step_lift_confR : ∀sig,M1,M2,c0.
 255  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 256  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 257  lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) (step sig M2 c0).
 258 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 259 #rs #Hhalt
 260 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 261 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 262 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 263 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 264 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 265 >(trans_liftR … Heq)
 266 [% | //]
 267 qed.
 268
 269 lemma step_lift_confL : ∀sig,M1,M2,c0.
 270  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
 271  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confL sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 272  lift_confL sig ?? (step sig M1 c0).
 273 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 274 #rs #Hhalt
 275 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 276 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 277 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 278 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 279 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 280 >(trans_liftL … Heq)
 281 [% | //]
 282 qed.
 283
 284 lemma loop_lift : ∀A,B,k,lift,f,g,h,hlift,c1,c2.
 285   (∀x.hlift (lift x) = h x) →
 286   (∀x.h x = false → lift (f x) = g (lift x)) →
 287   loop A k f h c1 = Some ? c2 →
 288   loop B k g hlift (lift c1) = Some ? (lift … c2).
 289 #A #B #k #lift #f #g #h #hlift #c1 #c2 #Hfg #Hhlift
 290 generalize in match c1; elim k
 291 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 292 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 293  cases (true_or_false (h c0)) #Hc0 >Hfg >Hc0
 294  [ normalize #Heq destruct (Heq) %
 295  | normalize <Hhlift // @IH ]
 296 qed.
 297
 298 (*
 299 lemma loop_liftL : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 300   loop ? k (step sig M1) (λc.halt sig M1 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 301     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 302       (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? c)) (lift_confL … c1) =
 303     Some ? (lift_confL … c2).
 304 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 305 elim k
 306 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 307 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 308  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig (states ? M1) c0))) #Hc0 >Hc0
 309  [ >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate sig ? (lift_confL … c0)) = true)
 310    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 311    | <Hc0 cases c0 // ]
 312  | >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? (lift_confL … c0)) = false)
 313    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 314     @step_lift_confL //
 315    | <Hc0 cases c0 // ]
 316 qed.
 317
 318 lemma loop_liftR : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 319   loop ? k (step sig M2) (λc.halt sig M2 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 320     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 321       (λc.halt sig (seq sig M1 M2) (cstate ?? c)) (lift_confR … c1) =
 322     Some ? (lift_confR … c2).
 323 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 324 elim k
 325 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 326 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 327  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig ? c0))) #Hc0 >Hc0
 328  [ >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = true)
 329    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 330    | <Hc0 cases c0 // ]
 331  | >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = false)
 332    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 333     @step_lift_confR //
 334    | <Hc0 cases c0 // ]
 335  ]
 336 qed.
 337
 338 *)
 339
 340 lemma loop_Some :
 341   ∀A,k,f,p,a,b.loop A k f p a = Some ? b → p b = true.
 342 #A #k #f #p elim k
 343 [#a #b normalize #Hfalse destruct
 344 |#k0 #IH #a #b whd in ⊢ (??%? → ?); cases (true_or_false (p a)) #Hpa
 345  [ >Hpa normalize #H1 destruct //
 346  | >Hpa normalize @IH
 347  ]
 348 ]
 349 qed.
 350
 351 lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
 352   halt ? M1 s = true →
 353   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
 354 #sig #M1 #M2 #s #a
 355 #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 356 qed.
 357
 358 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,S1,S2,outc.
 359   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confL … outc) = ctape … outc.
 360 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 361 qed.
 362
 363 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,S1,S2,outc.
 364   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confR … outc) = ctape … outc.
 365 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 366 qed.
 367
 368 axiom daemon :∀P:Prop.P.
 369
 370 theorem sem_seq: ∀sig,M1,M2,R1,R2.
 371   Realize sig M1 R1 → Realize sig M2 R2 →
 372     Realize sig (seq sig M1 M2) (R1 ∘ R2).
 373 @daemon (* this no longer works: TODO *) (*
 374 #sig #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t #i #outc #Hloop
 375 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
 376 cases (HR2 (ctape sig (states ? M1) outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 377 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
 378 %
 379 [@(loop_split ???????????
 380    (loop_lift ??? (lift_confL sig (states sig M1) (states sig M2))
 381    (step sig M1) (step sig (seq sig M1 M2))
 382    (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 383    (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c)) … Hloop1))
 384   [ * *
 385    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 386    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 387   || #c0 #Hhalt <step_lift_confL //
 388   | #x <p_halt_liftL %
 389   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
 390   |7:@(loop_lift … (initc ?? (ctape … outc1)) … Hloop2)
 391     [ * #s2 #t2 %
 392     | #c0 #Hhalt <step_lift_confR // ]
 393   |whd in ⊢ (??(???%)?);whd in ⊢ (??%?);
 394    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10
 395    >(trans_liftL_true sig M1 M2 ??)
 396     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
 397       @config_eq whd in ⊢ (???%); //
 398     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
 399  ]
 400 | @(ex_intro … (ctape ? (FinSum (states ? M1) (states ? M2)) (lift_confL … outc1)))
 401   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
 402 ]
 403 *)
 404 qed.
 405