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1
2 include "logic/equality.ma".
3 (* Inclusion of: GRP162-1.p *)
4 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
5 (*  File     : GRP162-1 : TPTP v3.1.1. Bugfixed v1.2.1. *)
6 (*  Domain   : Group Theory (Lattice Ordered) *)
7 (*  Problem  : Prove transitivity axiom using the LUB transformation *)
8 (*  Version  : [Fuc94] (equality) axioms. *)
9 (*  English  : This problem proves the original transitivity axiom from the *)
10 (*             equational axiomatization. *)
11 (*  Refs     : [Fuc94] Fuchs (1994), The Application of Goal-Orientated Heuri *)
12 (*           : [Sch95] Schulz (1995), Explanation Based Learning for Distribu *)
13 (*  Source   : [Sch95] *)
14 (*  Names    : ax_transa [Sch95]  *)
15 (*  Status   : Unsatisfiable *)
16 (*  Rating   : 0.00 v2.0.0 *)
17 (*  Syntax   : Number of clauses     :   18 (   0 non-Horn;  18 unit;   3 RR) *)
18 (*             Number of atoms       :   18 (  18 equality) *)
19 (*             Maximal clause size   :    1 (   1 average) *)
20 (*             Number of predicates  :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
21 (*             Number of functors    :    8 (   4 constant; 0-2 arity) *)
22 (*             Number of variables   :   33 (   2 singleton) *)
23 (*             Maximal term depth    :    3 (   2 average) *)
24 (*  Comments : ORDERING LPO inverse > product > greatest_lower_bound > *)
25 (*             least_upper_bound > identity > a > b > c *)
26 (*  Bugfixes : v1.2.1 - Duplicate axioms in GRP004-2.ax removed. *)
27 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
28 (* ----Include equality group theory axioms  *)
29 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-0.ax *)
30 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
31 (*  File     : GRP004-0 : TPTP v3.1.1. Released v1.0.0. *)
32 (*  Domain   : Group Theory *)
33 (*  Axioms   : Group theory (equality) axioms *)
34 (*  Version  : [MOW76] (equality) axioms :  *)
35 (*             Reduced > Complete. *)
36 (*  English  :  *)
37 (*  Refs     : [MOW76] McCharen et al. (1976), Problems and Experiments for a *)
38 (*           : [Wos88] Wos (1988), Automated Reasoning - 33 Basic Research Pr *)
39 (*  Source   : [ANL] *)
40 (*  Names    :  *)
41 (*  Status   :  *)
42 (*  Syntax   : Number of clauses    :    3 (   0 non-Horn;   3 unit;   0 RR) *)
43 (*             Number of literals   :    3 (   3 equality) *)
44 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
45 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
46 (*             Number of functors   :    3 (   1 constant; 0-2 arity) *)
47 (*             Number of variables  :    5 (   0 singleton) *)
48 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
49 (*  Comments : [MOW76] also contains redundant right_identity and *)
50 (*             right_inverse axioms. *)
51 (*           : These axioms are also used in [Wos88] p.186, also with *)
52 (*             right_identity and right_inverse. *)
53 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
54 (* ----For any x and y in the group x*y is also in the group. No clause  *)
55 (* ----is needed here since this is an instance of reflexivity  *)
56 (* ----There exists an identity element  *)
57 (* ----For any x in the group, there exists an element y such that x*y = y*x  *)
58 (* ----= identity. *)
59 (* ----The operation '*' is associative  *)
60 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
61 (* ----Include Lattice ordered group (equality) axioms *)
62 (* Inclusion of: Axioms/GRP004-2.ax *)
63 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
64 (*  File     : GRP004-2 : TPTP v3.1.1. Bugfixed v1.2.0. *)
65 (*  Domain   : Group Theory (Lattice Ordered) *)
66 (*  Axioms   : Lattice ordered group (equality) axioms *)
67 (*  Version  : [Fuc94] (equality) axioms. *)
68 (*  English  :  *)
69 (*  Refs     : [Fuc94] Fuchs (1994), The Application of Goal-Orientated Heuri *)
70 (*           : [Sch95] Schulz (1995), Explanation Based Learning for Distribu *)
71 (*  Source   : [Sch95] *)
72 (*  Names    :  *)
73 (*  Status   :  *)
74 (*  Syntax   : Number of clauses    :   12 (   0 non-Horn;  12 unit;   0 RR) *)
75 (*             Number of literals   :   12 (  12 equality) *)
76 (*             Maximal clause size  :    1 (   1 average) *)
77 (*             Number of predicates :    1 (   0 propositional; 2-2 arity) *)
78 (*             Number of functors   :    3 (   0 constant; 2-2 arity) *)
79 (*             Number of variables  :   28 (   2 singleton) *)
80 (*             Maximal term depth   :    3 (   2 average) *)
81 (*  Comments : Requires GRP004-0.ax *)
82 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
83 (* ----Specification of the least upper bound and greatest lower bound *)
84 (* ----Monotony of multiply *)
85 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
86 (* -------------------------------------------------------------------------- *)
87 theorem prove_ax_transa:
88  \forall Univ:Set.
89 \forall a:Univ.
90 \forall b:Univ.
91 \forall c:Univ.
92 \forall greatest_lower_bound:\forall _:Univ.\forall _:Univ.Univ.
93 \forall identity:Univ.
94 \forall inverse:\forall _:Univ.Univ.
95 \forall least_upper_bound:\forall _:Univ.\forall _:Univ.Univ.
96 \forall multiply:\forall _:Univ.\forall _:Univ.Univ.
97 \forall H0:eq Univ (least_upper_bound b c) c.
98 \forall H1:eq Univ (least_upper_bound a b) b.
99 \forall H2:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (multiply (greatest_lower_bound Y Z) X) (greatest_lower_bound (multiply Y X) (multiply Z X)).
100 \forall H3:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (multiply (least_upper_bound Y Z) X) (least_upper_bound (multiply Y X) (multiply Z X)).
101 \forall H4:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (multiply X (greatest_lower_bound Y Z)) (greatest_lower_bound (multiply X Y) (multiply X Z)).
102 \forall H5:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (multiply X (least_upper_bound Y Z)) (least_upper_bound (multiply X Y) (multiply X Z)).
103 \forall H6:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X (least_upper_bound X Y)) X.
104 \forall H7:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.eq Univ (least_upper_bound X (greatest_lower_bound X Y)) X.
105 \forall H8:\forall X:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X X) X.
106 \forall H9:\forall X:Univ.eq Univ (least_upper_bound X X) X.
107 \forall H10:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (least_upper_bound X (least_upper_bound Y Z)) (least_upper_bound (least_upper_bound X Y) Z).
108 \forall H11:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X (greatest_lower_bound Y Z)) (greatest_lower_bound (greatest_lower_bound X Y) Z).
109 \forall H12:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.eq Univ (least_upper_bound X Y) (least_upper_bound Y X).
110 \forall H13:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.eq Univ (greatest_lower_bound X Y) (greatest_lower_bound Y X).
111 \forall H14:\forall X:Univ.\forall Y:Univ.\forall Z:Univ.eq Univ (multiply (multiply X Y) Z) (multiply X (multiply Y Z)).
112 \forall H15:\forall X:Univ.eq Univ (multiply (inverse X) X) identity.
113 \forall H16:\forall X:Univ.eq Univ (multiply identity X) X.eq Univ (least_upper_bound a c) c
114 .
115 intros.
116 autobatch paramodulation timeout=100;
117 try assumption.
118 print proofterm.
119 qed.
120 (* -------------------------------------------------------------------------- *)