matita/tests/coercions_propagation.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18 include "nat/orders.ma".
  19
  20 inductive sigma (A:Type) (P:A → Prop) : Type ≝
  21  sigma_intro: ∀a:A. P a → sigma A P.
  22
  23 interpretation "sigma" 'exists \eta.x =
  24   (cic:/matita/tests/coercions_propagation/sigma.ind#xpointer(1/1) _ x).
  25
  26 definition inject ≝ λP.λa:nat.λp:P a. sigma_intro ? P ? p.
  27
  28 coercion cic:/matita/tests/coercions_propagation/inject.con 0 1.
  29
  30 definition eject ≝ λP.λc: ∃n:nat.P n. match c with [ sigma_intro w _ ⇒ w].
  31
  32 coercion cic:/matita/tests/coercions_propagation/eject.con.
  33
  34 alias num (instance 0) = "natural number".
  35 theorem test: ∃n. 0 ≤ n.
  36  apply (S O : ∃n. 0 ≤ n).
  37  autobatch.
  38 qed.
  39
  40 theorem test2: nat → ∃n. 0 ≤ n.
  41  apply ((λn:nat. 0) : nat → ∃n. 0 ≤ n);
  42  autobatch.
  43 qed.
  44
  45 theorem test3: (∃n. 0 ≤ n) → nat.
  46  apply ((λn:nat.n) : (∃n. 0 ≤ n) → nat).
  47 qed.
  48
  49 theorem test4: (∃n. 1 ≤ n) → ∃n. 0 < n.
  50  apply ((λn:nat.n) : (∃n. 1 ≤ n) → ∃n. 0 < n);
  51  cases s;
  52  assumption.
  53 qed.
  54
  55 theorem test5: nat → ∃n. 1 ≤ n.
  56 apply (
  57  let rec aux n : nat ≝
  58   match n with
  59    [ O ⇒ 1
  60    | S m ⇒ S (aux m)
  61    ]
  62  in
  63   aux
  64 : nat → ∃n. 1 ≤ n);
  65 [ cases (aux n1); simplify; ] autobatch;
  66 qed.
  67
  68 inductive NN (A:Type) : nat -> Type ≝
  69  | NO : NN A O
  70  | NS : ∀n:nat. NN A n → NN A (S n).
  71
  72 definition injectN ≝ λA,k.λP.λa:NN A k.λp:P a. sigma_intro ? P ? p.
  73
  74 coercion cic:/matita/tests/coercions_propagation/injectN.con 0 1.
  75
  76 definition ejectN ≝ λA,k.λP.λc: ∃n:NN A k.P n. match c with [ sigma_intro w _ ⇒ w].
  77
  78 coercion cic:/matita/tests/coercions_propagation/ejectN.con.
  79
  80 definition PN :=
  81  λA,k.λx:NN A k. 1 <= k.
  82
  83 theorem test51_byhand: ∀A,k. NN A k → ∃n:NN A (S k). PN ? ? n.
  84 intros 1;
  85 apply (
  86  let rec aux (w : nat) (n : NN A w) on n : ∃p:NN A (S w).PN ? ? p ≝
  87   match n in NN return λx.λm:NN A x.∃p:NN A (S x).PN ? ? p with
  88    [ NO ⇒ injectN ? ? ? (NS A ? (NO A)) ?
  89    | NS x m ⇒ injectN ? ? ? (NS A (S x) (ejectN ? ? ? (aux ? m))) ?
  90    ]
  91  in
  92   aux
  93 : ∀n:nat. NN A n → ∃m:NN A (S n). PN ? ? m);
  94 [2: cases (aux x m); simplify; autobatch ] unfold PN; autobatch;
  95 qed.
  96
  97 theorem f : nat -> nat -> ∃n:nat.O <= n.
  98 apply (λx,y:nat.y : nat -> nat -> ∃n:nat. O <= n).
  99 apply le_O_n;
 100 qed.
 101
 102 axiom F : nat -> nat -> nat.
 103
 104 theorem f1 : nat -> nat -> ∃n:nat.O <= n.
 105 apply (F : nat -> nat -> ∃n:nat. O <= n).
 106 apply le_O_n;
 107 qed.
 108
 109 theorem test51: ∀A,k. NN A k → ∃n:NN A (S k). PN ? ? n.
 110 intros 1;
 111 letin xxx ≝ (
 112  let rec aux (w : nat) (n : NN A w) on n : NN A (S w) ≝
 113   match n in NN return λx.λm:NN A x.NN A (S x) with
 114    [ NO ⇒ NS A ? (NO A)
 115    | NS x m ⇒ NS A (S x) (aux ? m)
 116    ]
 117  in
 118   aux
 119 : ∀n:nat. NN A n → ∃m:NN A (S n). PN ? ? m); [3: apply xxx];
 120 unfold PN in aux ⊢ %; [cases (aux n2 n3)] autobatch;
 121 qed.
 122
 123 (* guarded troppo debole *)
 124 theorem test522: nat → ∃n. 1 ≤ n.
 125 apply (
 126  let rec aux n : nat ≝
 127   match n with
 128    [ O ⇒ 1
 129    | S m ⇒ S (aux m)
 130    ]
 131  in
 132   aux
 133 : nat → ∃n. 1 ≤ n);
 134 [ cases (aux n1); simplify;
 135   autobatch
 136 | autobatch].
 137 qed.
 138