matita/tests/fguidi.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 include "coq.ma".
  17
  18 alias id "O" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/1)".
  19 alias id "nat" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1)".
  20 alias id "S" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/2)".
  21 alias id "le" = "cic:/matita/tests/fguidi/le.ind#xpointer(1/1)".
  22 alias id "False_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/False_ind.con".
  23 alias id "I" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1/1)".
  24 alias id "ex_intro" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex.ind#xpointer(1/1/1)".
  25 alias id "False" = "cic:/Coq/Init/Logic/False.ind#xpointer(1/1)".
  26 alias id "True" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1)".
  27
  28 alias symbol "and" (instance 0) = "Coq's logical and".
  29 alias symbol "eq" (instance 0) = "Coq's leibnitz's equality".
  30 alias symbol "exists" (instance 0) = "Coq's exists".
  31
  32 definition is_S: nat \to Prop \def
  33    \lambda n. match n with
  34       [ O     \Rightarrow False
  35       | (S n) \Rightarrow True
  36       ].
  37
  38 definition pred: nat \to nat \def
  39    \lambda n. match n with
  40       [ O     \Rightarrow O
  41       | (S n) \Rightarrow n
  42       ].
  43
  44 theorem eq_gen_S_O: \forall x. (S x = O) \to \forall P:Prop. P.
  45 intros. apply False_ind. cut (is_S O). elim Hcut. rewrite < H. apply I.
  46 qed.
  47
  48 theorem eq_gen_S_O_cc: (\forall P:Prop. P) \to \forall x. (S x = O).
  49 intros. apply H.
  50 qed.
  51
  52 theorem eq_gen_S_S: \forall m,n. (S m) = (S n) \to m = n.
  53 intros. cut ((pred (S m)) = (pred (S n))).
  54 assumption. elim H. autobatch.
  55 qed.
  56
  57 theorem eq_gen_S_S_cc: \forall m,n. m = n \to (S m) = (S n).
  58 intros. elim H. autobatch.
  59 qed.
  60
  61 inductive le: nat \to nat \to Prop \def
  62      le_zero: \forall n. (le O n)
  63    | le_succ: \forall m, n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  64
  65 theorem le_refl: \forall x. (le x x).
  66 intros. elim x; autobatch.
  67 qed.
  68
  69 theorem le_gen_x_O_aux: \forall x, y. (le x y) \to (y =O) \to
  70                         (x = O).
  71 intros 3. elim H. autobatch. apply eq_gen_S_O. exact n1. autobatch.
  72 qed.
  73
  74 theorem le_gen_x_O: \forall x. (le x O) \to (x = O).
  75 intros. apply le_gen_x_O_aux. exact O. autobatch. autobatch.
  76 qed.
  77
  78 theorem le_gen_x_O_cc: \forall x. (x = O) \to (le x O).
  79 intros. elim H. autobatch.
  80 qed.
  81
  82 theorem le_gen_S_x_aux: \forall m,x,y. (le y x) \to (y = S m) \to
  83                         (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  84 intros 4. elim H; clear H x y.
  85 apply eq_gen_S_O. exact m. elim H1. autobatch.
  86 clear H2. cut (n = m).
  87 elim Hcut. apply ex_intro. exact n1. split; autobatch.
  88 apply eq_gen_S_S. autobatch.
  89 qed.
  90
  91 theorem le_gen_S_x: \forall m,x. (le (S m) x) \to
  92                     (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  93 intros. apply le_gen_S_x_aux. exact (S m). autobatch. autobatch.
  94 qed.
  95
  96 theorem le_gen_S_x_cc: \forall m,x. (\exists n. x = (S n) \land (le m n)) \to
  97                        (le (S m) x).
  98 intros. elim H. elim H1. cut ((S x1) = x). elim Hcut. autobatch.
  99 elim H2. autobatch.
 100 qed.
 101
 102 theorem le_gen_S_S: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
 103 intros.
 104 lapply le_gen_S_x to H as H0. elim H0. elim H1.
 105 lapply eq_gen_S_S to H2 as H4. rewrite > H4. assumption.
 106 qed.
 107
 108 theorem le_gen_S_S_cc: \forall m,n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
 109 intros. autobatch.
 110 qed.
 111
 112 (*
 113 theorem le_trans: \forall x,y. (le x y) \to \forall z. (le y z) \to (le x z).
 114 intros 1. elim x; clear H. clear x.
 115 autobatch.
 116 fwd H1 [H]. decompose.
 117 *)