weblib/basics/list.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/bool.ma".
  13 (* include "arithmetics/nat.ma". *)
  14
  15 inductive list (A:Type[0]) : Type[0] :=
  16   | nil: list A
  17   | cons: A -> list A -> list A.
  18
  19 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  20   right associative with precedence 47
  21   for @{'cons $hd $tl}.
  22
  23 notation "[ list0 x sep ; ]"
  24   non associative with precedence 90
  25   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  26
  27 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  28   right associative with precedence 47
  29   for @{'append $l1 $l2 }.
  30
  31 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  32 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  33
  34 definition not_nil: ∀A:Type[0].list A → Prop ≝
  35  λA.λl.match l with [ nil ⇒ True | cons hd tl ⇒ False ].
  36
  37 theorem nil_cons:
  38   ∀A:Type[0].∀l:list A.∀a:A. a::l ≠ [].
  39   #A #l #a @nmk #Heq (change with (not_nil ? (a::l))) >Heq //
  40 qed.
  41
  42 (*
  43 let rec id_list A (l: list A) on l :=
  44   match l with
  45   [ nil => []
  46   | (cons hd tl) => hd :: id_list A tl ]. *)
  47
  48 let rec append A (l1: list A) l2 on l1 ≝
  49   match l1 with
  50   [ nil ⇒  l2
  51   | cons hd tl ⇒  hd :: append A tl l2 ].
  52
  53 definition hd ≝ λA.λl: list A.λd:A.
  54   match l with [ nil ⇒ d | cons a _ ⇒ a].
  55
  56 definition tail ≝  λA.λl: list A.
  57   match l with [ nil ⇒  [] | cons hd tl ⇒  tl].
  58
  59 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  60
  61 theorem append_nil: ∀A.∀l:list A.l @ [] = l.
  62 #A #l (elim l) normalize // qed.
  63
  64 theorem associative_append:
  65  ∀A.associative (list A) (append A).
  66 #A #l1 #l2 #l3 (elim l1) normalize // qed.
  67
  68 (* deleterio per auto
  69 ntheorem cons_append_commute:
  70   ∀A:Type.∀l1,l2:list A.∀a:A.
  71     a :: (l1 @ l2) = (a :: l1) @ l2.
  72 //; nqed. *)
  73
  74 theorem append_cons:∀A.∀a:A.∀l,l1.l@(a::l1)=(l@[a])@l1.
  75 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace trans_eq\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
  76
  77 theorem nil_append_elim: ∀A.∀l1,l2: list A.∀P:?→?→Prop.
  78   l1@l2=[] → P (nil A) (nil A) → P l1 l2.
  79 #A #l1 #l2 #P (cases l1) normalize //
  80 #a #l3 #heq destruct
  81 qed.
  82
  83 theorem nil_to_nil:  ∀A.∀l1,l2:list A.
  84   l1@l2 = [] → l1 = [] ∧ l2 = [].
  85 #A #l1 #l2 #isnil @(nil_append_elim A l1 l2) /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace conj\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  86 qed.
  87
  88 (* iterators *)
  89
  90 let rec map (A,B:Type[0]) (f: A → B) (l:list A) on l: list B ≝
  91  match l with [ nil ⇒ nil ? | cons x tl ⇒ f x :: (map A B f tl)].
  92
  93 let rec foldr (A,B:Type[0]) (f:A → B → B) (b:B) (l:list A) on l :B ≝
  94  match l with [ nil ⇒ b | cons a l ⇒ f a (foldr A B f b l)].
  95
  96 definition filter ≝
  97   λT.λp:T → bool.
  98   foldr T (list T) (λx,l0.if_then_else ? (p x) (x::l0) l0) (nil T).
  99
 100 lemma filter_true : ∀A,l,a,p. p a = true →
 101   filter A p (a::l) = a :: filter A p l.
 102 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa normalize // qed.
 103
 104 lemma filter_false : ∀A,l,a,p. p a = false →
 105   filter A p (a::l) = filter A p l.
 106 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa normalize // qed.
 107
 108 theorem eq_map : ∀A,B,f,g,l. (∀x.f x = g x) → map A B f l = map A B g l.
 109 #A #B #f #g #l #eqfg (elim l) normalize // qed.
 110
 111 (*
 112 let rec dprodl (A:Type[0]) (f:A→Type[0]) (l1:list A) (g:(∀a:A.list (f a))) on l1 ≝
 113 match l1 with
 114   [ nil ⇒ nil ?
 115   | cons a tl ⇒ (map ??(dp ?? a) (g a)) @ dprodl A f tl g
 116   ]. *)
 117
 118 (**************************** length ******************************
 119
 120 let rec length (A:Type[0]) (l:list A) on l ≝
 121   match l with
 122     [ nil ⇒ 0
 123     | cons a tl ⇒ S (length A tl)].
 124
 125 notation "|M|" non associative with precedence 60 for @{'norm $M}.
 126 interpretation "norm" 'norm l = (length ? l).
 127
 128 let rec nth n (A:Type[0]) (l:list A) (d:A)  ≝
 129   match n with
 130     [O ⇒ hd A l d
 131     |S m ⇒ nth m A (tail A l) d].
 132
 133 **************************** fold *******************************)
 134
 135 let rec fold (A,B:Type[0]) (op:B → B → B) (b:B) (p:A→bool) (f:A→B) (l:list A) on l :B ≝
 136  match l with
 137   [ nil ⇒ b
 138   | cons a l ⇒ if_then_else ? (p a) (op (f a) (fold A B op b p f l))
 139       (fold A B op b p f l)].
 140
 141 notation "\fold  [ op , nil ]_{ ident i ∈ l | p} f"
 142   with precedence 80
 143 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}. $p) (λ${ident i}. $f) $l}.
 144
 145 notation "\fold [ op , nil ]_{ident i ∈ l } f"
 146   with precedence 80
 147 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f) $l}.
 148
 149 interpretation "\fold" 'fold op nil p f l = (fold ? ? op nil p f l).
 150
 151 theorem fold_true:
 152 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A→B. p a = true →
 153   \fold[op,nil]_{i ∈ a::l| p i} (f i) =
 154     op (f a) \fold[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 155 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 156
 157 theorem fold_false:
 158 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f.
 159 p a = false → \fold[op,nil]_{i ∈ a::l| p i} (f i) =
 160   \fold[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 161 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 162
 163 theorem fold_filter:
 164 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A →B.
 165   \fold[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i) =
 166     \fold[op,nil]_{i ∈ (filter A p l)} (f i).
 167 #A #B #a #l #p #op #nil #f elim l //
 168 #a #tl #Hind cases(true_or_false (p a)) #pa
 169   [ >filter_true // > fold_true // >fold_true //
 170   | >filter_false // >fold_false // ]
 171 qed.
 172
 173 record Aop (A:Type[0]) (nil:A) : Type[0] ≝
 174   {op :2> A → A → A;
 175    nill:∀a. op nil a = a;
 176    nilr:∀a. op a nil = a;
 177    assoc: ∀a,b,c.op a (op b c) = op (op a b) c
 178   }.
 179
 180 theorem fold_sum: ∀A,B. ∀I,J:list A.∀nil.∀op:Aop B nil.∀f.
 181   op (\fold[op,nil]_{i∈I} (f i)) (\fold[op,nil]_{i∈J} (f i)) =
 182     \fold[op,nil]_{i∈(I@J)} (f i).
 183 #A #B #I #J #nil #op #f (elim I) normalize
 184   [>nill //|#a #tl #Hind <assoc //]
 185 qed.