weblib/basics/types.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/logic.ma".
  13
  14 (* void *)
  15 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="void"\ 6inductive void : Type[0] ≝.
  16
  17 (* unit *)
  18 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="unit"\ 6inductive unit : Type[0] ≝ it: unit.
  19
  20 (* sum *)
  21 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="Sum"\ 6inductive Sum (A,B:Type[0]) : Type[0] ≝
  22   inl : A → Sum A B
  23 | inr : B → Sum A B.
  24
  25 interpretation "Disjoint union" 'plus A B = (Sum A B).
  26
  27 (* option *)
  28 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="option"\ 6inductive option (A:Type[0]) : Type[0] ≝
  29    None : option A
  30  | Some : A → option A.
  31
  32 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="option_map"\ 6definition option_map : ∀A,B:Type[0]. (A → B) → \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.ind(1,0,1)"\ 6option\ 5/a\ 6 A → \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.ind(1,0,1)"\ 6option\ 5/a\ 6 B ≝
  33 λA,B,f,o. match o with [ None ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,1,1)"\ 6None\ 5/a\ 6 B | Some a ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,2,1)"\ 6Some\ 5/a\ 6 B (f a) ].
  34
  35 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="option_map_none"\ 6lemma option_map_none : ∀A,B,f,x.
  36   \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option_map.def(1)"\ 6option_map\ 5/a\ 6 A B f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,1,1)"\ 6None\ 5/a\ 6 B → x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,1,1)"\ 6None\ 5/a\ 6 A.
  37 #A #B #f * [ // | #a #E whd in E:(??%?); destruct ]
  38 qed.
  39
  40 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="option_map_some"\ 6lemma option_map_some : ∀A,B,f,x,v.
  41   \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option_map.def(1)"\ 6option_map\ 5/a\ 6 A B f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,2,1)"\ 6Some\ 5/a\ 6 B v → \ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6y. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,2,1)"\ 6Some\ 5/a\ 6 ? y \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 f y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 v.
  42 #A #B #f *
  43 [ #v normalize #E destruct
  44 | #y #v normalize #E %{y} destruct % //
  45 ] qed.
  46
  47 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="option_map_def"\ 6definition option_map_def : ∀A,B:Type[0]. (A → B) → B → \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.ind(1,0,1)"\ 6option\ 5/a\ 6 A → B ≝
  48 λA,B,f,d,o. match o with [ None ⇒ d | Some a ⇒ f a ].
  49
  50 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="refute_none_by_refl"\ 6lemma refute_none_by_refl : ∀A,B:Type[0]. ∀P:A → B. ∀Q:B → Type[0]. ∀x:\ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.ind(1,0,1)"\ 6option\ 5/a\ 6 A. ∀H:x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,1,1)"\ 6None\ 5/a\ 6 ? → \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6.
  51   (∀v. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/types/option.con(0,2,1)"\ 6Some\ 5/a\ 6 ? v → Q (P v)) →
  52   Q (match x return λy.x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → ? with [ Some v ⇒ λ_. P v | None ⇒ λE. match H E in False with [ ] ] (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? x)).
  53 #A #B #P #Q *
  54 [ #H cases (H (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ??))
  55 | #a #H #p normalize @p @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6
  56 ] qed.
  57
  58 (* sigma *)
  59 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="Sig"\ 6record Sig (A:Type[0]) (f:A→Type[0]) : Type[0] ≝ {
  60     pi1: A
  61   ; pi2: f pi1
  62   }.
  63
  64 interpretation "Sigma" 'sigma x = (Sig ? x).
  65
  66 notation "hvbox(« term 19 a, break term 19 b»)"
  67 with precedence 90 for @{ 'dp $a $b }.
  68
  69 interpretation "mk_Sig" 'dp x y = (mk_Sig ?? x y).
  70
  71 (* Prod *)
  72
  73 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="Prod"\ 6record Prod (A,B:Type[0]) : Type[0] ≝ {
  74    fst: A
  75  ; snd: B
  76  }.
  77
  78 interpretation "Pair construction" 'pair x y = (mk_Prod ? ? x y).
  79
  80 interpretation "Product" 'product x y = (Prod x y).
  81
  82 interpretation "pair pi1" 'pi1 = (fst ? ?).
  83 interpretation "pair pi2" 'pi2 = (snd ? ?).
  84 interpretation "pair pi1" 'pi1a x = (fst ? ? x).
  85 interpretation "pair pi2" 'pi2a x = (snd ? ? x).
  86 interpretation "pair pi1" 'pi1b x y = (fst ? ? x y).
  87 interpretation "pair pi2" 'pi2b x y = (snd ? ? x y).
  88
  89 notation "π1" with precedence 10 for @{ (proj1 ??) }.
  90 notation "π2" with precedence 10 for @{ (proj2 ??) }.
  91
  92 (* Yeah, I probably ought to do something more general... *)
  93 notation "hvbox(\langle term 19 a, break term 19 b, break term 19 c\rangle)"
  94 with precedence 90 for @{ 'triple $a $b $c}.
  95 interpretation "Triple construction" 'triple x y z = (mk_Prod ? ? (mk_Prod ? ? x y) z).
  96
  97 notation "hvbox(\langle term 19 a, break term 19 b, break term 19 c, break term 19 d\rangle)"
  98 with precedence 90 for @{ 'quadruple $a $b $c $d}.
  99 interpretation "Quadruple construction" 'quadruple w x y z = (mk_Prod ? ? (mk_Prod ? ? w x) (mk_Prod ? ? y z)).
 100
 101
 102 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="eq_pair_fst_snd"\ 6theorem eq_pair_fst_snd: ∀A,B.∀p:A \ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6 B.
 103   p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 p, \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 p \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 104 #A #B #p (cases p) // qed.
 105
 106 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="fst_eq"\ 6lemma fst_eq : ∀A,B.∀a:A.∀b:B. \ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6a,b\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a.
 107 // qed.
 108
 109 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="snd_eq"\ 6lemma snd_eq : ∀A,B.∀a:A.∀b:B. \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6a,b\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b.
 110 // qed.
 111
 112 notation > "hvbox('let' 〈ident x,ident y〉 ≝ t 'in' s)"
 113  with precedence 10
 114 for @{ match $t with [ mk_Prod ${ident x} ${ident y} ⇒ $s ] }.
 115
 116 notation < "hvbox('let' \nbsp hvbox(〈ident x,ident y〉 \nbsp≝ break t \nbsp 'in' \nbsp) break s)"
 117  with precedence 10
 118 for @{ match $t with [ mk_Prod (${ident x}:$X) (${ident y}:$Y) ⇒ $s ] }.
 119
 120 (* Also extracts an equality proof (useful when not using Russell). *)
 121 notation > "hvbox('let' 〈ident x,ident y〉 'as' ident E ≝ t 'in' s)"
 122  with precedence 10
 123 for @{ match $t return λx.x = $t → ? with [ mk_Prod ${ident x} ${ident y} ⇒
 124         λ${ident E}.$s ] (refl ? $t) }.
 125
 126 (* Prop sigma *)
 127 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="PSig"\ 6record PSig (A:Type[0]) (P:A→Prop) : Type[0] ≝
 128   {elem:>A; eproof: P elem}.
 129
 130 interpretation "subset type" 'sigma x = (PSig ? x).
 131
 132 notation < "hvbox('let' \nbsp hvbox(〈ident x,ident y〉 \nbsp 'as'\nbsp ident E\nbsp ≝ break t \nbsp 'in' \nbsp) break s)"
 133  with precedence 10
 134 for @{ match $t return λ${ident k}:$X.$eq $T $k $t → ? with [ mk_Prod (${ident x}:$U) (${ident y}:$W) ⇒
 135         λ${ident E}:$e.$s ] ($refl $T $t) }.
 136
 137 notation > "hvbox('let' 〈ident x,ident y,ident z〉 'as' ident E ≝ t 'in' s)"
 138  with precedence 10
 139 for @{ match $t return λx.x = $t → ? with [ mk_Prod ${fresh xy} ${ident z} ⇒
 140        match ${fresh xy} return λx. ? = $t → ? with [ mk_Prod ${ident x} ${ident y} ⇒
 141         λ${ident E}.$s ] ] (refl ? $t) }.
 142
 143 notation < "hvbox('let' \nbsp hvbox(〈ident x,ident y,ident z〉 \nbsp'as'\nbsp ident E\nbsp ≝ break t \nbsp 'in' \nbsp) break s)"
 144  with precedence 10
 145 for @{ match $t return λ${ident x}.$eq $T $x $t → $U with [ mk_Prod (${fresh xy}:$V) (${ident z}:$Z) ⇒
 146        match ${fresh xy} return λ${ident y}. $eq $R $r $t → ? with [ mk_Prod (${ident x}:$L) (${ident y}:$I) ⇒
 147         λ${ident E}:$J.$s ] ] ($refl $A $t) }.
 148
 149 notation > "hvbox('let' 〈ident w,ident x,ident y,ident z〉 ≝ t 'in' s)"
 150  with precedence 10
 151 for @{ match $t with [ mk_Prod ${fresh wx} ${fresh yz} ⇒ match ${fresh wx} with [ mk_Prod ${ident w} ${ident x} ⇒ match ${fresh yz} with [ mk_Prod ${ident y} ${ident z} ⇒ $s ] ] ] }.
 152
 153 notation > "hvbox('let' 〈ident x,ident y,ident z〉 ≝ t 'in' s)"
 154  with precedence 10
 155 for @{ match $t with [ mk_Prod ${fresh xy} ${ident z} ⇒ match ${fresh xy} with [ mk_Prod ${ident x} ${ident y} ⇒ $s ] ] }.
 156
 157 (* This appears to upset automation (previously provable results require greater
 158    depth or just don't work), so use example rather than lemma to prevent it
 159    being indexed. *)
 160 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="contract_pair"\ 6example contract_pair : ∀A,B.∀e:A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B. (let 〈a,b〉 ≝ e in \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6a,b\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 e.
 161 #A #B * // qed.
 162
 163 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="extract_pair"\ 6lemma extract_pair : ∀A,B,C,D.  ∀u:A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B. ∀Q:A → B → C\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6D. ∀x,y.
 164 ((let 〈a,b〉 ≝ u in Q a b) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6x,y\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) →
 165 \ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6a,b\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6.\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6a,b\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 u \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 Q a b \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6x,y\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 166 #A #B #C #D * #a #b #Q #x #y normalize #E1 %{a} %{b} % try @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 @E1 qed.
 167
 168 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="breakup_pair"\ 6lemma breakup_pair : ∀A,B,C:Type[0].∀x. ∀R:C → Prop. ∀P:A → B → C.
 169   R (P (\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 x) (\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 x)) → R (let 〈a,b〉 ≝ x in P a b).
 170 #A #B #C *; normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 171 qed.
 172
 173 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="pair_elim"\ 6lemma pair_elim:
 174   ∀A,B,C: Type[0].
 175   ∀T: A → B → C.
 176   ∀p.
 177   ∀P: A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B → C → Prop.
 178     (∀lft, rgt. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6lft,rgt\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → P \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6lft,rgt\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 (T lft rgt)) →
 179       P p (let 〈lft, rgt〉 ≝ p in T lft rgt).
 180  #A #B #C #T * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 181 qed.
 182
 183 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="pair_elim2"\ 6lemma pair_elim2:
 184   ∀A,B,C,C': Type[0].
 185   ∀T: A → B → C.
 186   ∀T': A → B → C'.
 187   ∀p.
 188   ∀P: A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B → C → C' → Prop.
 189     (∀lft, rgt. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6lft,rgt\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → P \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6lft,rgt\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 (T lft rgt) (T' lft rgt)) →
 190       P p (let 〈lft, rgt〉 ≝ p in T lft rgt) (let 〈lft, rgt〉 ≝ p in T' lft rgt).
 191  #A #B #C #C' #T #T' * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 192 qed.