weblib/tutorial/chapter4.ma

   1 include "tutorial/chapter3.ma".
   2
   3 (* As a simple application of lists, let us now consider strings of characters
   4 over a given alphabet Alpha. We shall assume to have a decidable equality between
   5 characters, that is a (computable) function eqb associating a boolean value true
   6 or false to each pair of characters; eqb is correct, in the sense that (eqb x y)
   7 if and only if (x = y). The type Alpha of alphabets is hence defined by the
   8 following record *)
   9
  10 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  11
  12 record Alpha : Type[1] ≝ { carr :> Type[0];
  13    eqb: carr → carr → \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6;
  14    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6) \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 (x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y)
  15 }.
  16
  17 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
  18 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
  19
  20 definition word ≝ λS: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 S.
  21
  22 inductive re (S: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) : Type[0] ≝
  23    zero: re S
  24  | epsilon: re S
  25  | char: S → re S
  26  | concat: re S → re S → re S
  27  | or: re S → re S → re S
  28  | star: re S → re S.
  29
  30 (* notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}. *)
  31 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'kstar $a}.
  32 interpretation "star" 'kstar a = (star ? a).
  33 interpretation "or" 'plus a b = (or ? a b).
  34
  35 notation "a · b" non associative with precedence 60 for @{ 'concat $a $b}.
  36 interpretation "cat" 'concat a b = (concat ? a b).
  37
  38 (* to get rid of \middot
  39 coercion c  : ∀S:Alpha.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?. *)
  40
  41 (* notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}. *)
  42 notation "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'atom $a}.
  43 interpretation "atom" 'atom a = (char ? a).
  44
  45 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
  46 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
  47
  48 notation "∅" (* slash emptyv *) non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
  49 interpretation "empty" 'empty = (zero ?).
  50
  51 let rec flatten (S : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) (l : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S)) on l : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S ≝
  52 match l with [ nil ⇒ \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6 ] | cons w tl ⇒ w \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 flatten ? tl ].
  53
  54 let rec conjunct (S : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) (l : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S)) (L :\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S → Prop) on l: Prop ≝
  55 match l with [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/True.ind(1,0,0)"\ 6True\ 5/a\ 6 | cons w tl ⇒ L w \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 conjunct ? tl L ].
  56
  57 definition empty_lang ≝ λS.λw:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6.
  58 (* notation "{}" non associative with precedence 90 for @{'empty_lang}. *)
  59 interpretation "empty lang" 'empty = (empty_lang ?).
  60
  61 definition sing_lang ≝ λS.λx,w:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S.x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 w.
  62 notation "{: x }" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}.
  63 interpretation "sing lang" 'sing_lang x = (sing_lang ? x).
  64
  65 definition union : ∀S,L1,L2,w.Prop ≝ λS,L1,L2.λw: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S.L1 w \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 L2 w.
  66 interpretation "union lang" 'union a b = (union ? a b).
  67
  68 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  69   λS.λl1,l2.λw:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S.\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6w1,w2.w1 \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 w2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 w \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 l1 w1 \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 l2 w2.
  70 interpretation "cat lang" 'concat a b = (cat ? a b).
  71
  72 definition star_lang ≝ λS.λl.λw:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S.\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6lw. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/flatten.fix(0,1,4)"\ 6flatten\ 5/a\ 6 ? lw \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 w \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/conjunct.fix(0,1,4)"\ 6conjunct\ 5/a\ 6 ? lw l.
  73 interpretation "star lang" 'kstar l = (star_lang ? l).
  74
  75 (* notation "| term 70 E| " non associative with precedence 75 for @{in_l ? $E}. *)
  76
  77 let rec in_l (S : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) (r : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/re.ind(1,0,1)"\ 6re\ 5/a\ 6 S) on r : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S → Prop ≝
  78 match r with
  79  [ zero ⇒ \ 5a title="empty lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6
  80  | epsilon ⇒ \ 5a title="sing lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6{\ 5/a\ 6: \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] }
  81  | char x ⇒ \ 5a title="sing lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6{\ 5/a\ 6: x\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:\ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] }
  82  | concat r1 r2 ⇒ in_l ? r1 \ 5a title="cat lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 in_l ? r2
  83  | or r1 r2 ⇒ in_l ? r1 \ 5a title="union lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 in_l ? r2
  84  | star r1 ⇒ (in_l ? r1)\ 5a title="star lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6^\ 5/a\ 6*
  85  ].
  86
  87 notation "\sem{E}" non associative with precedence 75 for @{'sem $E}.
  88 interpretation "in_l" 'sem E = (in_l ? E).
  89 interpretation "in_l mem" 'mem w l = (in_l ? l w).
  90
  91 notation "a ∨ b" left associative with precedence 30 for @{'orb $a $b}.
  92 interpretation "orb" 'orb a b = (orb a b).
  93
  94 (* ndefinition if_then_else ≝ λT:Type[0].λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
  95 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 19 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  96 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  97 interpretation "if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f). *)
  98
  99 inductive pitem (S: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) : Type[0] ≝
 100  | pzero: pitem S
 101  | pepsilon: pitem S
 102  | pchar: S → pitem S
 103  | ppoint: S → pitem S
 104  | pconcat: pitem S → pitem S → pitem S
 105  | por: pitem S → pitem S → pitem S
 106  | pstar: pitem S → pitem S.
 107
 108 definition pre ≝ λS.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S \ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)" title="null"\ 6bool\ 5/a\ 6.
 109
 110 interpretation "pstar" 'kstar a = (pstar ? a).
 111 interpretation "por" 'plus a b = (por ? a b).
 112 interpretation "pcat" 'concat a b = (pconcat ? a b).
 113
 114 notation "• a" non associative with precedence 90 for @{ 'ppoint $a}.
 115 (* notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}. *)
 116
 117 interpretation "ppatom" 'ppoint a = (ppoint ? a).
 118 (* to get rid of \middot
 119 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?. *)
 120 interpretation "patom" 'pchar a = (pchar ? a).
 121 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pepsilon ?).
 122 interpretation "pempty" 'empty = (pzero ?).
 123
 124 notation "| e |" non associative with precedence 65 for @{forget ? $e}.
 125
 126 let rec forget (S: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) (l : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S) on l: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/re.ind(1,0,1)"\ 6re\ 5/a\ 6 S ≝
 127  match l with
 128   [ pzero ⇒ \ 5a title="empty" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6
 129   | pepsilon ⇒ \ 5a title="epsilon" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6ϵ\ 5/a\ 6
 130   | pchar x ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/re.con(0,3,1)"\ 6char\ 5/a\ 6 ? x
 131   | ppoint x ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/re.con(0,3,1)"\ 6char\ 5/a\ 6 ? x
 132   | pconcat e1 e2 ⇒ |e1| \ 5a title="cat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 |e2|
 133   | por e1 e2 ⇒ |e1|  \ 5a title="or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 |e2|
 134   | pstar e ⇒ |e|\ 5a title="star" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6^\ 5/a\ 6*
 135   ].
 136
 137 notation "| e |" non associative with precedence 65 for @{'fmap $e}.
 138 interpretation "forget" 'fmap a = (forget ? a).
 139
 140 let rec in_pl (S : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6) (r : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S) on r : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S → Prop ≝
 141 match r with
 142   [ pzero ⇒ \ 5a title="empty lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6
 143   | pepsilon ⇒ \ 5a title="empty lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6
 144   | pchar _ ⇒ \ 5a title="empty lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6
 145   | ppoint x ⇒ \ 5a title="sing lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6{\ 5/a\ 6: x\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:\ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] }
 146   | pconcat pe1 pe2 ⇒ in_pl ? pe1 \ 5a title="cat lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 \ 5a title="in_l" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{|pe2|}  \ 5a title="union lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 in_pl ? pe2
 147   | por pe1 pe2 ⇒ in_pl ? pe1 \ 5a title="union lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 in_pl ? pe2
 148   | pstar pe ⇒ in_pl ? pe \ 5a title="cat lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 \ 5a title="in_l" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{|pe|}\ 5a title="star lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6^\ 5/a\ 6*
 149   ].
 150
 151 interpretation "in_pl" 'sem E = (in_pl ? E).
 152 interpretation "in_pl mem" 'mem w l = (in_pl ? l w).
 153
 154 definition eps: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S → Prop
 155   ≝ λS,b. \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? b \ 5a title="sing lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6{\ 5/a\ 6: \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] } \ 5a title="empty lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6.
 156
 157 notation "ϵ _ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 158 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (eps ? b).
 159
 160 definition in_prl ≝ λS : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.λp:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.  \ 5a title="in_pl" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 p} \ 5a title="union lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 \ 5a title="epsilon lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6ϵ\ 5/a\ 6_(\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 p).
 161
 162 interpretation "in_prl mem" 'mem w l = (in_prl ? l w).
 163 interpretation "in_prl" 'sem E = (in_prl ? E).
 164
 165 lemma not_epsilon_lp :∀S.∀pi:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S.\ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\neg\ 5/a\ 6(\ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="in_pl mem" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∈\ 5/a\ 6 pi).
 166 #S #pi (elim pi) normalize /  \ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 167   [#pi1 #pi2 #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ * #w1 * #w2 * * #appnil
 168    cases (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/nil_to_nil.def(5)"\ 6nil_to_nil\ 5/a\ 6 … appnil) /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 169   |#p11 #p12 #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 170   |#pi #H % * #w1 * #w2 * * #appnil (cases (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/nil_to_nil.def(5)"\ 6nil_to_nil\ 5/a\ 6 … appnil)) /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 171   ]
 172 qed.
 173
 174 lemma if_true_epsilon: ∀S.∀e:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S. \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 e \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → (\ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="in_prl mem" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∈\ 5/a\ 6 e).
 175 #S #e #H %2 >H // qed.
 176
 177 lemma if_epsilon_true : ∀S.∀e:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S. \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6 ] \ 5a title="in_prl mem" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∈\ 5/a\ 6 e → \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 e \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 178 #S * #pi #b * [normalize #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/] cases b normalize // @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6
 179 qed.
 180
 181 definition lor ≝ λS:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.λa,b:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 a \ 5a title="por" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 b,\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 a \ 5a title="boolean or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 b〉.
 182
 183 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
 184 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lor ? a b).
 185
 186 definition item_concat: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S ≝
 187  λS,i,e.\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i \ 5a title="pcat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 e, \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 e〉.
 188
 189 interpretation "item concat" 'concat i e = (item_concat ? i e).
 190
 191 definition lcat: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.∀bcast:(∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/Alpha.ind(1,0,0)"\ 6Alpha\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S →\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S).\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S
 192  ≝ λS,bcast,e1,e2.
 193   match e1 with [ pair i1 b1 ⇒ if_then_else b1 (i1 \ 5a title="item concat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 e2) (i1 ·(bcast S e2)) ]
 194 ].
 195
 196 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc $op $a $b}.
 197 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 198 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 60 for @{'lc eclose $a $b}.
 199
 200 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 201    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 202    match b1 with
 203    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 204    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 205
 206 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 207 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 208 notation > "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk eclose $a}.
 209
 210 notation > "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
 211 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 212  match E with
 213   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 214   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 215   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 216   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 217   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 218   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 219   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 220 notation < "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 221 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 222 notation > "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 223
 224 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 225 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 226
 227 ndefinition eq_f1 ≝ λS.λa,b:word S → Prop.∀w.a w ↔ b w.
 228 notation > "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 229 notation "A =\sub 1 B" non associative with precedence 45 for @{'eq_f1 $A $B}.
 230 interpretation "eq f1" 'eq_f1 a b = (eq_f1 ? a b).
 231
 232 naxiom extP : ∀S.∀p,q:word S → Prop.(p =1 q) → p = q.
 233
 234 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 235 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *;
 236 nqed.
 237
 238 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:word S → Prop.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 239 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/; *; /3/; nqed.
 240
 241 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:word S → Prop.a ∪ b = b ∪ a.
 242 #S a b; napply extP; #w; @; *; nnormalize; /2/; nqed.
 243
 244 (* theorem 16: 2 *)
 245 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 246 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 247 nwhd in ⊢ (??(??%)?);
 248 nchange in ⊢(??%?) with (𝐋\p (e1 + e2) ∪ ϵ (b1 || b2));
 249 nchange in ⊢(??(??%?)?) with (𝐋\p (e1) ∪ 𝐋\p (e2));
 250 nrewrite > (epsilon_or S …); nrewrite > (cupA S (𝐋\p e1) …);
 251 nrewrite > (cupC ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA S (𝐋\p e2) …);
 252 nrewrite > (cupC ? ? (ϵ b1) …); nrewrite < (cupA …); //;
 253 nqed.
 254
 255 nlemma odotEt :
 256   ∀S.∀e1,e2:pitem S.∀b2. 〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 257 #S e1 e2 b2; nnormalize; ncases (•e2); //; nqed.
 258
 259 nlemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 260
 261 nlemma cup_dotD : ∀S.∀p,q,r:word S → Prop.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 262 #S p q r; napply extP; #w; nnormalize; @;
 263 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 264 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 265 nqed.
 266
 267 nlemma cup0 :∀S.∀p:word S → Prop.p ∪ {} = p.
 268 #S p; napply extP; #w; nnormalize; @; /2/; *; //; *; nqed.
 269
 270 nlemma erase_dot : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 271 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 272 nqed.
 273
 274 nlemma erase_plus : ∀S.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 275 #S e1 e2; napply extP; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 276
 277 nlemma erase_star : ∀S.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 278
 279 ndefinition substract := λS.λp,q:word S → Prop.λw.p w ∧ ¬ q w.
 280 interpretation "substract" 'minus a b = (substract ? a b).
 281
 282 nlemma cup_sub: ∀S.∀a,b:word S → Prop. ¬ (a []) → a ∪ (b - {[]}) = (a ∪ b) - {[]}.
 283 #S a b c; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /4/; *; /4/; nqed.
 284
 285 nlemma sub0 : ∀S.∀a:word S → Prop. a - {} = a.
 286 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 287
 288 nlemma subK : ∀S.∀a:word S → Prop. a - a = {}.
 289 #S a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 290
 291 nlemma subW : ∀S.∀a,b:word S → Prop.∀w.(a - b) w → a w.
 292 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 293
 294 nlemma erase_bull : ∀S.∀a:pitem S. |\fst (•a)| = |a|.
 295 #S a; nelim a; // by {};
 296 ##[ #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (|e1| · |e2|);
 297     nrewrite < IH1; nrewrite < IH2;
 298     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊙ 〈e2,false〉));
 299     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; nnormalize;
 300     ##[ ncases (•e2); //; ##| nrewrite > IH2; //]
 301 ##| #e1 e2 IH1 IH2; nchange in ⊢ (???%) with (|e1| + |e2|);
 302     nrewrite < IH2; nrewrite < IH1;
 303     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e1 ⊕ •e2));
 304     ncases (•e1); ncases (•e2); //;
 305 ##| #e IH; nchange in ⊢ (???%) with (|e|^* ); nrewrite < IH;
 306     nchange in ⊢ (??(??%)?) with (\fst (•e))^*; //; ##]
 307 nqed.
 308
 309 nlemma eta_lp : ∀S.∀p:pre S.𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 310 #S p; ncases p; //; nqed.
 311
 312 nlemma epsilon_dot: ∀S.∀p:word S → Prop. {[]} · p = p.
 313 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; /3/; ##]
 314 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2; nrewrite < defw; nrewrite < defw1;
 315 napply Hw2; nqed.
 316
 317 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 318 nlemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1,e2: pre S.
 319       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 |\fst e2| →
 320          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 321 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 322 ##[ nwhd in ⊢ (??(??%)?); nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 323     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 324     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 325     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (?∪?);
 326     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 327     nrewrite > (epsilon_or …); nrewrite > (cupC ? (ϵ ?)…);
 328     nrewrite > (cupA …);nrewrite < (cupA ?? (ϵ?)…);
 329     nrewrite > (?: 𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' = 𝐋\p e2' ∪ 𝐋 |e2'|); ##[##2:
 330       nchange with (𝐋\p 〈e2'',b2''〉 =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋 |e2'|);
 331       ngeneralize in match th1;
 332       nrewrite > (eta_lp…); #th1; nrewrite > th1; //;##]
 333     nrewrite > (eta_lp ? e2);
 334     nchange in match (𝐋\p 〈\fst e2,?〉) with (𝐋\p e2'∪ ϵ b2');
 335     nrewrite > (cup_dotD …); nrewrite > (epsilon_dot…);
 336     nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2')…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (cupA…);
 337     nrewrite < (erase_bull S e2') in ⊢ (???(??%?)); //;
 338 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (〈e1',false〉⊙?) with 〈?,?〉;
 339     nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?);
 340     nchange in match (𝐋\p (e1'·?)) with (?∪?);
 341     nchange in match (𝐋\p 〈e1',?〉) with (?∪?);
 342     nrewrite > (cup0…);
 343     nrewrite > (cupA…); //;##]
 344 nqed.
 345
 346 nlemma sub_dot_star :
 347   ∀S.∀X:word S → Prop.∀b. (X - ϵ b) · X^* ∪ {[]} = X^*.
 348 #S X b; napply extP; #w; @;
 349 ##[ *; ##[##2: nnormalize; #defw; nrewrite < defw; @[]; @; //]
 350     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 351     @ (w1 :: lw); nrewrite < defw; nrewrite < flx; @; //;
 352     @; //; napply (subW … sube);
 353 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; nrewrite < defw; nelim wl in Pwl; ##[ #_; @2; //]
 354     #w' wl' IH; *; #Pw' IHp; nlapply (IH IHp); *;
 355     ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defwl' H1 H2;
 356         @; ncases b in H1; #H1;
 357         ##[##2: nrewrite > (sub0…); @w'; @(w1@w2);
 358                 nrewrite > (associative_append ? w' w1 w2);
 359                 nrewrite > defwl'; @; ##[@;//] @(wl'); @; //;
 360            ##| ncases w' in Pw';
 361                ##[ #ne; @w1; @w2; nrewrite > defwl'; @; //; @; //;
 362                ##| #x xs Px; @(x::xs); @(w1@w2);
 363                    nrewrite > (defwl'); @; ##[@; //; @; //; @; nnormalize; #; ndestruct]
 364                    @wl'; @; //; ##] ##]
 365         ##| #wlnil; nchange in match (flatten ? (w'::wl')) with (w' @ flatten ? wl');
 366             nrewrite < (wlnil); nrewrite > (append_nil…); ncases b;
 367             ##[ ncases w' in Pw'; /2/; #x xs Pxs; @; @(x::xs); @([]);
 368                 nrewrite > (append_nil…); @; ##[ @; //;@; //; nnormalize; @; #; ndestruct]
 369                 @[]; @; //;
 370             ##| @; @w'; @[]; nrewrite > (append_nil…); @; ##[##2: @[]; @; //]
 371                 @; //; @; //; @; *;##]##]##]
 372 nqed.
 373
 374 (* theorem 16: 1 *)
 375 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 376 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 377 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 378 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 379 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 |e|.
 380 #S e; nelim e; //;
 381   ##[ #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 382   ##| #a; napply extP; #w; nnormalize; @; *; /3/ by or_introl; *;
 383   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 384       nchange in ⊢ (??(??(%))?) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 385       nrewrite > (odot_dot_aux S (•e1) 〈e2,false〉 IH2);
 386       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (cup_dotD …);
 387       nrewrite > (cupA …); nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p ?) …);
 388       nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (𝐋\p e2 ∪ {}); nrewrite > (cup0 …);
 389       nrewrite < (erase_dot …); nrewrite < (cupA …); //;
 390   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 391       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2); nrewrite > (oplus_cup …);
 392       nrewrite > (IH1 …); nrewrite > (IH2 …); nrewrite > (cupA …);
 393       nrewrite > (cupC ? (𝐋\p e2)…);nrewrite < (cupA ??? (𝐋\p e2)…);
 394       nrewrite > (cupC ?? (𝐋\p e2)…); nrewrite < (cupA …);
 395       nrewrite < (erase_plus …); //.
 396   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 397       nchange in match (𝐋\p ?) with  (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 398       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 399       nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 400       nrewrite > (erase_bull…e);
 401       nrewrite > (erase_star …);
 402       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b')); ##[##2:
 403         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 404         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 405             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 406         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 407       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 408       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 |e^*|)); //;
 409       nchange in match (𝐋 |e^*|) with ((𝐋 |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 410  nqed.
 411
 412 (* theorem 16: 3 *)
 413 nlemma odot_dot:
 414   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 415 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 416
 417 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 418 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 419 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 420     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 421     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 422 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 423     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 424     @; /2/; @xs; /2/;##]
 425  nqed.
 426
 427 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 428 #S e; @[]; /2/; nqed.
 429
 430 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 431 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 432
 433 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 434 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 435
 436 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 437   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 438 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 439 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 440 nqed.
 441
 442 (* theorem 16: 4 *)
 443 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 |\fst e|)^*.
 444 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 445 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 446     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 447     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 448     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 |e'|^* );
 449     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 |e| - ϵ b' )); ##[##2:
 450       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 451       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 452       nchange in match b' in bc with b';
 453       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 454       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 455     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 456     nrewrite > (sub_dot_star…);
 457     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 458     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 459 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 460     nrewrite > (cup0…);
 461     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 |e|^* );
 462     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 463 nqed.
 464
 465 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 466   match e with
 467   [ z ⇒ pz ?
 468   | e ⇒ pe ?
 469   | s x ⇒ ps ? x
 470   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 471   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 472   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 473
 474 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 475
 476 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 477 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 478 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 479
 480 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 481 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 482 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 483     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 484 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 485     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 486 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 487     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 488 nqed.
 489
 490 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 |pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 491 #S A; nelim A; //;
 492 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 493     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 494 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 495     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 496 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 497     nrewrite < H1; //]
 498 nqed.
 499
 500 (* corollary 17 *)
 501 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 502 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 503 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 504 nqed.
 505
 506 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 507 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 508
 509 (* corollary 18 *)
 510 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ |e|.
 511 #S e; @;
 512 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 513     nrewrite > defsnde; #H;
 514     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 515
 516 STOP
 517
 518 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 519 non associative with precedence 60 for @{move ? $x $E}.
 520 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 521  match E with
 522   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 523   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 524   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 525   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 526   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 527   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 528   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 529 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 530 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 60 for @{'move $x $E}.
 531 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 532
 533 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
 534 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
 535
 536 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w ∈ ∅ → False.
 537 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 538 nqed.
 539
 540
 541 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
 542 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
 543 nqed.
 544
 545 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
 546 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
 547 nqed.
 548
 549
 550 naxiom in_move_cat:
 551  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
 552    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
 553 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
 554 ncases e1 in H; ncases e2;
 555 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 556    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 557    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 558 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
 559    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 560    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
 561 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
 562    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
 563    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
 564    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
 565 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
 566    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
 567    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
 568 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
 569     ...
 570 nqed.
 571
 572 ntheorem move_ok:
 573  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
 574 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
 575 ##[##1,2: #a w; @;
 576    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
 577       #H; ninversion H; #; ndestruct;
 578    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
 579        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
 580 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
 581    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
 582 ##|#a c w; @; nnormalize;
 583    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
 584        #H; ninversion H; #; ndestruct;
 585    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
 586               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
 587 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
 588    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
 589       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
 590           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
 591           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
 592       ##|
 593       ...
 594 ##|
 595 ##|
 596 ##]
 597 nqed.
 598
 599
 600 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{move_star ? $x $E}.
 601 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
 602  match w with
 603   [ nil ⇒ E
 604   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
 605
 606 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
 607
 608 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
 609  mk_equiv:
 610   ∀E1,E2: bool × (pre S).
 611    \fst E1  = \fst E2 →
 612     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
 613      equiv S E1 E2.
 614
 615 ndefinition NAT: decidable.
 616  @ nat eqb; /2/.
 617 nqed.
 618
 619 include "hints_declaration.ma".
 620
 621 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 622 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
 623
 624 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
 625
 626 nlet corec foo_nop (b: bool):
 627  equiv ?
 628   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
 629   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
 630  @; //; #x; ncases x
 631   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 632   | #y; ncases y
 633      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
 634      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
 635 nqed.
 636
 637 (*
 638 nlet corec foo (a: unit):
 639  equiv NAT
 640   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
 641   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
 642 ≝ ?.
 643  @;
 644   ##[ nnormalize; //
 645   ##| #x; ncases x
 646        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 647          nnormalize in foo: (? → ??%%);
 648          @; //; #y; ncases y
 649            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 650            | #y; ncases y
 651               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
 652
 653             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
 654      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
 655   ##]
 656 nqed.
 657 *)
 658
 659 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
 660 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
 661 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
 662
 663
 664 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
 665  nnormalize in match test3;
 666  nnormalize;
 667 //;
 668 nqed.
 669
 670 (**********************************************************)
 671
 672 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
 673    der_z: der S a (z S) (z S)
 674  | der_e: der S a (e S) (z S)
 675  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
 676  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
 677  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 678             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
 679  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
 680             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
 681  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
 682     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
 683
 684 nlemma eq_rect_CProp0_r:
 685  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
 686  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
 687 nqed.
 688
 689 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
 690
 691 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
 692 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
 693   [ #K; ninversion K
 694   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
 695   | (* tutti casi assurdi *) *)
 696
 697 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
 698    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
 699  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
 700
 701 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
 702    mk_eq_re: ∀E1,E2.
 703     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
 704     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
 705     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
 706       eq_re S E1 E2.
 707
 708 (* serve il lemma dopo? *)
 709 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
 710  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
 711   [ #r; #K (* ok *)
 712   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
 713
 714 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
 715 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
 716 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
 717   [ //
 718   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
 719   ]
 720 nqed. *)
 721
 722 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
 723  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
 724   [##1,2: #H1; ninversion H1
 725      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
 726      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 727      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 728      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 729      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 730      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 731      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
 732 ##| #H1; ninversion H1
 733      [ //
 734      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 735      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 736      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 737      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 738      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 739      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 740 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
 741      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
 742      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
 743      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
 744      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 745      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
 746      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
 747      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
 748 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;