weblib/tutorial/chapter4.ma

   1 (* In this Chapter we shall develop a naif theory of sets represented as characteristic
   2 predicates over some universe \ 5code\ 6A\ 5/code\ 6, that is as objects of type A→Prop. *)
   3
   4 include "basics/types.ma".
   5 include "basics/bool.ma".
   6
   7 (**** For instance the empty set is defined by the always function predicate *)
   8
   9 definition empty_set ≝ λA:Type[0].λa:A.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6.
  10 notation "\emptyv" non associative with precedence 90 for @{'empty_set}.
  11 interpretation "empty set" 'empty_set = (empty_set ?).
  12
  13 (* Similarly, a singleton set contaning containing an element a, is defined
  14 by by the characteristic function asserting equality with a *)
  15
  16 definition singleton ≝ λA.λx,a:A.x\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6a.
  17 (* notation "{x}" non associative with precedence 90 for @{'sing_lang $x}. *)
  18 interpretation "singleton" 'singl x = (singleton ? x).
  19
  20 (* The membership relation between an element of type A and a set S:A →Prop is
  21 simply the predicate resulting from the application of S to a.
  22 The operations of union, intersection, complement and substraction
  23 are easily defined in terms of the propositional connectives of dijunction,
  24 conjunction and negation *)
  25
  26 definition union : ∀A:Type[0].∀P,Q.A → Prop ≝ λA,P,Q,a.P a \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 Q a.
  27 interpretation "union" 'union a b = (union ? a b).
  28
  29 definition intersection : ∀A:Type[0].∀P,Q.A→Prop ≝ λA,P,Q,a.P a \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 Q a.
  30 interpretation "intersection" 'intersects a b = (intersection ? a b).
  31
  32 definition complement ≝ λU:Type[0].λA:U → Prop.λw.\ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6 A w.
  33 interpretation "complement" 'not a = (complement ? a).
  34
  35 definition substraction := λU:Type[0].λA,B:U → Prop.λw.A w \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6 B w.
  36 interpretation "substraction" 'minus a b = (substraction ? a b).
  37
  38 (* Finally, we use implication to define the inclusion relation between
  39 sets *)
  40
  41 definition subset: ∀A:Type[0].∀P,Q:A→Prop.Prop ≝ λA,P,Q.∀a:A.(P a → Q a).
  42 interpretation "subset" 'subseteq a b = (subset ? a b).
  43
  44 (* Two sets are equals if and only if they have the same elements, that is,
  45 if the two characteristic functions are extensionally equivalent: *)
  46
  47 definition eqP ≝ λA:Type[0].λP,Q:A → Prop.∀a:A.P a \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 Q a.
  48 notation "A =1 B" non associative with precedence 45 for @{'eqP $A $B}.
  49 interpretation "extensional equality" 'eqP a b = (eqP ? a b).
  50
  51 (* This notion of equality is different from the intensional equality of
  52 functions; the fact it defines an equivalence relation must be explicitly
  53 proved: *)
  54
  55 lemma eqP_sym: ∀U.∀A,B:U →Prop.
  56   A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 B → B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A.
  57 #U #A #B #eqAB #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_sym.def(2)"\ 6iff_sym\ 5/a\ 6 @eqAB qed.
  58
  59 lemma eqP_trans: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  60   A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 B → B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C → A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C.
  61 #U #A #B #C #eqAB #eqBC #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_trans.def(2)"\ 6iff_trans\ 5/a\ 6 // qed.
  62
  63 (* For the same reason, we must also prove that all the operations behave well
  64 with respect to eqP: *)
  65
  66 lemma eqP_union_r: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  67   A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B.
  68 #U #A #B #C #eqAB #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_or_r.def(2)"\ 6iff_or_r\ 5/a\ 6 @eqAB qed.
  69
  70 lemma eqP_union_l: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  71   B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 C.
  72 #U #A #B #C #eqBC #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_or_l.def(2)"\ 6iff_or_l\ 5/a\ 6 @eqBC qed.
  73
  74 lemma eqP_intersect_r: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  75   A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 B.
  76 #U #A #B #C #eqAB #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_and_r.def(2)"\ 6iff_and_r\ 5/a\ 6 @eqAB qed.
  77
  78 lemma eqP_intersect_l: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  79   B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C.
  80 #U #A #B #C #eqBC #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_and_l.def(2)"\ 6iff_and_l\ 5/a\ 6 @eqBC qed.
  81
  82 lemma eqP_substract_r: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  83   A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 B.
  84 #U #A #B #C #eqAB #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_and_r.def(2)"\ 6iff_and_r\ 5/a\ 6 @eqAB qed.
  85
  86 lemma eqP_substract_l: ∀U.∀A,B,C:U →Prop.
  87   B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 C  → A \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 C.
  88 #U #A #B #C #eqBC #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_and_l.def(2)"\ 6iff_and_l\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff_not.def(4)"\ 6iff_not\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
  89
  90 (* We can now prove several properties of the previous set-theoretic operations.
  91 In particular, union is commutative and associative, and the empty set is an
  92 identity element: *)
  93
  94 lemma union_empty_r: ∀U.∀A:U→Prop.
  95   A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 \ 5a title="empty set" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∅\ 5/a\ 6 \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A.
  96 #U #A #w % [* // normalize #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
  97 qed.
  98
  99 lemma union_comm : ∀U.∀A,B:U →Prop.
 100   A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 B \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 A.
 101 #U #A #B #a % * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 102
 103 lemma union_assoc: ∀U.∀A,B,C:U → Prop.
 104   A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 C \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 (B \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 C).
 105 #S #A #B #C #w % [* [* /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/] | * [/\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 106 qed.
 107
 108 (* In the same way we prove commutativity and associativity for set
 109 interesection *)
 110
 111 lemma cap_comm : ∀U.∀A,B:U →Prop.
 112   A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 B \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 A.
 113 #U #A #B #a % * /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 114
 115 lemma cap_assoc: ∀U.∀A,B,C:U→Prop.
 116   A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 (B \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C) \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 (A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 B) \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C.
 117 #U #A #B #C #w % [ * #Aw * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ \ 5span class="autotactic"\ 6\ 5span class="autotrace"\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6| * * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ ]
 118 qed.
 119
 120 (* We can also easily prove idempotency for union and intersection *)
 121
 122 lemma union_idemp: ∀U.∀A:U →Prop.
 123   A  \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A.
 124 #U #A #a % [* // | /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/] qed.
 125
 126 lemma cap_idemp: ∀U.∀A:U →Prop.
 127   A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A.
 128 #U #A #a % [* // | /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/] qed.
 129
 130 (* We conclude our examples with a couple of distributivity theorems, and a
 131 characterization of substraction in terms of interesection and complementation. *)
 132
 133 lemma distribute_intersect : ∀U.∀A,B,C:U→Prop.
 134   (A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B) \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 (A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C) \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 (B \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 C).
 135 #U #A #B #C #w % [* * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | * * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 136 qed.
 137
 138 lemma distribute_substract : ∀U.∀A,B,C:U→Prop.
 139   (A \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 B) \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 C \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 (A \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 C) \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 (B \ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 C).
 140 #U #A #B #C #w % [* * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | * * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 141 qed.
 142
 143 lemma substract_def:∀U.∀A,B:U→Prop. A\ 5a title="substraction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6B \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 A \ 5a title="intersection" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∩\ 5/a\ 6 \ 5a title="complement" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6B.
 144 #U #A #B #w normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 145 qed.
 146
 147 (* In several situation it is important to assume to have a decidable equality
 148 between elements of a set U, namely a boolean function eqb: U→U→bool such that
 149 for any pair of elements a and b in U, (eqb x y) is true if and only if x=y.
 150 A set equipped with such an equality is called a DeqSet: *)
 151
 152 record DeqSet : Type[1] ≝ { carr :> Type[0];
 153    eqb: carr → carr → \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6;
 154    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6) \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 (x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y)
 155 }.
 156
 157 (* We use the notation == to denote the decidable equality, to distinguish it
 158 from the propositional equality. In particular, a term of the form a==b is a
 159 boolean, while a=b is a proposition. *)
 160
 161 notation "a == b" non associative with precedence 45 for @{ 'eqb $a $b }.
 162 interpretation "eqb" 'eqb a b = (eqb ? a b).
 163
 164 (* It is convenient to have a simple way to reflect a proof of the fact
 165 that (eqb a b) is true into a proof of the proposition (a = b); to this aim,
 166 we introduce two operators "\P" and "\b". *)
 167
 168 notation "\P H" non associative with precedence 90
 169   for @{(proj1 … (eqb_true ???) $H)}.
 170
 171 notation "\b H" non associative with precedence 90
 172   for @{(proj2 … (eqb_true ???) $H)}.
 173
 174 (* If H:eqb a b = true, then \P H: a = b, and conversely if h:a = b, then
 175 \b h: eqb a b = true. Let us see an example of their use: the following
 176 statement asserts that we can reflect a proof that eqb a b is false into
 177 a proof of the proposition a ≠ b. *)
 178
 179 lemma eqb_false: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.∀a,b:S.
 180   (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/eqb.fix(0,0,3)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 ? a b) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 a \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 b.
 181
 182 (* We start the proof introducing the hypothesis, and then split the "if" and
 183 "only if" cases *)
 184
 185 #S #a #b % #H
 186
 187 (* The latter is easily reduced to prove the goal true=false under the assumption
 188 H1: a = b *)
 189   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 … \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/not_eq_true_false.def(3)"\ 6not_eq_true_false\ 5/a\ 6) #H1
 190
 191 (* since by assumption H false is equal to (a==b), by rewriting we obtain the goal
 192 true=(a==b) that is just the boolean version of H1 *)
 193
 194   <H @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 @(\b H1)
 195
 196 (* In the "if" case, we proceed by cases over the boolean equality (a==b); if
 197 (a==b) is false, the goal is trivial; the other case is absurd, since if (a==b) is
 198 true, then by reflection a=b, while by hypothesis a≠b *)
 199
 200  |cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/eqb.fix(0,0,3)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 ? a b)) // #H1 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6 … (\P H1) H)
 201   ]
 202 qed.
 203
 204 (* We also introduce two operators "\Pf" and "\bf" to reflect a proof
 205 of (a==b)=false into a proof of a≠b, and vice-versa *)
 206
 207 notation "\Pf H" non associative with precedence 90
 208   for @{(proj1 … (eqb_false ???) $H)}.
 209
 210 notation "\bf H" non associative with precedence 90
 211   for @{(proj2 … (eqb_false ???) $H)}.
 212
 213 (* The following statement proves that propositional equality in a
 214 DeqSet is decidable in the traditional sense, namely either a=b or a≠b *)
 215
 216  lemma dec_eq: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.∀a,b:S. a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 a \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 b.
 217 #S #a #b cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/eqb.fix(0,0,3)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 ? a b)) #H
 218   [%1 @(\P H) | %2 @(\Pf H)]
 219 qed.
 220
 221 (* A simple example of a set with a decidable equality is bool. We first define
 222 the boolean equality beqb, that is just the xand function, then prove that
 223 beqb b1 b2 is true if and only if b1=b2, and finally build the type DeqBool by
 224 instantiating the DeqSet record with the previous information *)
 225
 226 definition beqb ≝ λb1,b2.
 227   match b1 with [ true ⇒ b2 | false ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/notb.def(1)"\ 6notb\ 5/a\ 6 b2].
 228
 229 notation < "a == b" non associative with precedence 45 for @{beqb $a $b }.
 230
 231 lemma beqb_true: ∀b1,b2. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/iff.def(1)"\ 6iff\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb.def(2)"\ 6beqb\ 5/a\ 6 b1 b2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6) (b1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b2).
 232 #b1 #b2 cases b1 cases b2 normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 233 qed.
 234
 235 definition DeqBool ≝ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.con(0,1,0)"\ 6mk_DeqSet\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb.def(2)"\ 6beqb\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb_true.def(4)"\ 6beqb_true\ 5/a\ 6.
 236
 237 (* At this point, we would expect to be able to prove things like the
 238 following: for any boolean b, if b==false is true then b=false.
 239 Unfortunately, this would not work, unless we declare b of type
 240 DeqBool (change the type in the following statement and see what
 241 happens). *)
 242
 243 example exhint: ∀b:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqBool.def(5)"\ 6DeqBool\ 5/a\ 6. (b\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → b\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
 244 #b #H @(\P H)
 245 qed.
 246
 247 (* The point is that == expects in input a pair of objects object whose type
 248 must be the carrier of a DeqSet; bool is indeed the carrier of DeqBool, but the
 249 type inference system has no knowledge of it (it is an information that has been
 250 supplied by the user, and stored somewhere in the library). More explicitly, the
 251 type inference inference system, would face an unification problem consisting to
 252 unify bool against the carrier of something (a metavaribale) and it has no way to
 253 synthetize the answer. To solve this kind of situations, matita provides a
 254 mechanism to hint the system the expected solution. A unification hint is a kind of
 255 rule, whose rhd is the unification problem, containing some metavariables X1, ...,
 256 Xn, and whose left hand side is the solution suggested to the system, in the form
 257 of equations Xi=Mi. The hint is accepted by the system if and only the solution is
 258 correct, that is, if it is a unifier for the given problem.
 259 To make an example, in the previous case, the unification problem is bool = carr X,
 260 and the hint is to take X= mk_DeqSet bool beqb true. The hint is correct, since
 261 bool is convertible with (carr (mk_DeqSet bool beb true)). *)
 262
 263 unification hint  0 \ 5a href="cic:/fakeuri.def(1)" title="hint_decl_Type1"\ 6≔\ 5/a\ 6 ;
 264     X ≟ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.con(0,1,0)"\ 6mk_DeqSet\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb.def(2)"\ 6beqb\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb_true.def(4)"\ 6beqb_true\ 5/a\ 6
 265 (* ---------------------------------------- *) ⊢
 266     \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 ≡ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/carr.fix(0,0,2)"\ 6carr\ 5/a\ 6 X.
 267
 268 unification hint  0 \ 5a href="cic:/fakeuri.def(1)" title="hint_decl_Type0"\ 6≔\ 5/a\ 6 b1,b2:\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6;
 269     X ≟ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.con(0,1,0)"\ 6mk_DeqSet\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb.def(2)"\ 6beqb\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb_true.def(4)"\ 6beqb_true\ 5/a\ 6
 270 (* ---------------------------------------- *) ⊢
 271     \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/beqb.def(2)"\ 6beqb\ 5/a\ 6 b1 b2 ≡ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/eqb.fix(0,0,3)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 X b1 b2.
 272
 273 (* After having provided the previous hints, we may rewrite example exhint delcaring
 274 b of type bool. *)
 275
 276 example exhint1: ∀b:\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6. (b \ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6= \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → b \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
 277 #b #H @(\P H)
 278 qed.
 279
 280 (* pairs *)
 281 definition eq_pairs ≝
 282   λA,B:DeqSet.λp1,p2:A×B.(\fst p1 == \fst p2) ∧ (\snd p1 == \snd p2).
 283
 284 lemma eq_pairs_true: ∀A,B:DeqSet.∀p1,p2:A×B.
 285   eq_pairs A B p1 p2 = true ↔ p1 = p2.
 286 #A #B * #a1 #b1 * #a2 #b2 %
 287   [#H cases (andb_true …H) normalize #eqa #eqb >(\P eqa) >(\P eqb) //
 288   |#H destruct normalize >(\b (refl … a2)) >(\b (refl … b2)) //
 289   ]
 290 qed.
 291
 292 definition DeqProd ≝ λA,B:DeqSet.
 293   mk_DeqSet (A×B) (eq_pairs A B) (eq_pairs_true A B).
 294
 295 unification hint  0 ≔ C1,C2;
 296     T1 ≟ carr C1,
 297     T2 ≟ carr C2,
 298     X ≟ DeqProd C1 C2
 299 (* ---------------------------------------- *) ⊢
 300     T1×T2 ≡ carr X.
 301
 302 unification hint  0 ≔ T1,T2,p1,p2;
 303     X ≟ DeqProd T1 T2
 304 (* ---------------------------------------- *) ⊢
 305     eq_pairs T1 T2 p1 p2 ≡ eqb X p1 p2.
 306
 307 example hint2: ∀b1,b2.
 308   〈b1,true〉==〈false,b2〉=true → 〈b1,true〉=〈false,b2〉.
 309 #b1 #b2 #H @(\P H).