weblib/tutorial/chapter5.ma

   1 (* The fact of being able to decide, via a computable boolean function, the
   2 equality between elements of a given set is an essential prerequisite for
   3 effectively searching an element of that set inside a data structure. In this
   4 section we shall define several boolean functions acting on lists of elements in
   5 a DeqSet, and prove some of their properties.*)
   6
   7 include "basics/list.ma".
   8 include "tutorial/chapter4.ma".
   9
  10 (* The first function we define is an effective version of the membership relation,
  11 between an element x and a list l. Its definition is a straightforward recursion on
  12 l.*)
  13
  14 let rec memb (S:DeqSet) (x:S) (l: list\ 5span class="error" title="Parse error: RPAREN expected after [term] (in [arg])"\ 6\ 5/span\ 6 S) on l  ≝
  15   match l with
  16   [ nil ⇒ false
  17   | cons a tl ⇒ (x =\ 5span class="error" title="Parse error: NUMBER '1' or [term] or [sym=] expected after [sym=] (in [term])"\ 6\ 5/span\ 6= a) ∨ memb S x tl
  18   ].
  19
  20 notation < "\memb x l" non associative with precedence 90 for @{'memb $x $l}.
  21 interpretation "boolean membership" 'memb a l = (memb ? a l).
  22
  23 (* We can now prove several interesing properties for memb:
  24 - memb_hd: x is a member of x::l
  25 - memb_cons: if x is a member of l than x is a member of a::l
  26 - memb_single: if x is a member of [a] then x=a
  27 - memb_append: if x is a member of l1@l2 then either x is a member of l1
  28   or x is a member of l2
  29 - memb_append_l1: if x is a member of l1 then x is a member of l1@l2
  30 - memb_append_l2: if x is a member of l2 then x is a member of l1@l2
  31 - memb_exists: if x is a member of l, than l can decomposed as l1@(x::l2)
  32 - not_memb_to_not_eq: if x is not a member of l and y is, then x≠y
  33 - memb_map: if a is a member of l, then (f a) is a member of (map f l)
  34 - memb_compose: if a is a member of l1 and b is a meber of l2 than
  35   (op a b) is a member of (compose op l1 l2)
  36 *)
  37
  38 lemma memb_hd: ∀S,a,l. memb S a (a::l) = true.
  39 #S #a #l normalize >(proj2 … (eqb_true S …) (refl S a)) //
  40 qed.
  41
  42 lemma memb_cons: ∀S,a,b,l.
  43   memb S a l = true → memb\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6\ 5/a\ 6 S a (b::l) = true.
  44 #S #a #b #l normalize cases (a==b) normalize //
  45 qed.
  46
  47 lemma memb_single: ∀S,a,x. memb S a (x::[]) = true → a = x.
  48 #S #a #x normalize cases (true_or_false … (a==x)) #H
  49   [#_ >(\P H) // |>H normalize #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
  50 qed.
  51
  52 lemma memb_append: ∀S,a,l1,l2.
  53 memb S a (l1@\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6l2) = true → memb S a l1= true ∨ memb S a l2 = true.
  54 #S #a #l1 elim l1 normalize [#l2 #H %2 //]
  55 #b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace orb_true_l\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  56 qed.
  57
  58 lemma memb_append_l1: ∀S,a,l1,l2.
  59  memb S a l1= true → memb S a (l1@\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6l2) = true.
  60 #S #a #l1 elim l1 normalize
  61   [normalize #le #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  62   |#b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 lemma memb_append_l2: ∀S,a,l1,l2.
  67  memb S a l2= true → memb S a (l1@l2) = true.
  68 #S #a #l1 elim l1 normalize //
  69 #b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  70 qed.
  71
  72 lemma memb_exists: ∀S,a,l.memb S a l = true\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6\ 5/a\ 6 → ∃l1,l2.l=l1@(a::l2).
  73 #S #a #l elim l [normalize #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
  74 #b #tl #Hind #H cases (orb_true_l … H)
  75   [#eqba @(ex_intro … (nil S)) @(ex_intro … tl) >(\P eqba) //
  76   |#mem_tl cases (Hind mem_tl) #l1 * #l2 #eqtl
  77    @(ex_intro … (b::l1)) @(ex_intro … l2) >eqtl //
  78   ]
  79 qed.
  80
  81 lemma not_memb_to_not_eq: ∀S,a,b,l.
  82  memb S a l = false\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6\ 5/a\ 6 → memb S b l = true → a==b = false.
  83 #S #a #b #l cases (true_or_false (a==b)) //
  84 #eqab >(\P eqab) #H >H #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  85 qed.
  86
  87 lemma memb_map: ∀S1,S2,f,a,l. memb S1 a l= true →
  88   memb S2 (f a) (map … f l) =\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 true.
  89 #S1 #S2 #f #a #l elim l normalize [//]
  90 #x #tl #memba cases (true_or_false (a==x))
  91   [#eqx >eqx >(\P eqx) >(\b (refl … (f x))) normalize //
  92   |#eqx >eqx cases (f a==f x) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  93   ]
  94 qed.
  95
  96 lemma memb_compose: ∀S1,S2,S3,op,a1,a2,l1,l2.
  97   memb S1 a1 l1 = true → memb S2 a2 l2 = true →
  98   memb S3 (op a1 a2) (compose S1 S2 S3 op l1 l2) = true.
  99 #S1 #S2 #S3 #op #a1 #a2 #l1 elim l1 [normalize //]
 100 #x #tl #Hind #l2 #memba1 #memba2 cases (orb_true_l\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6\ 5/a\ 6 … memba1)
 101   [#eqa1 >(\P eqa1) @memb_append_l1 @memb_map //
 102   |#membtl @memb_append_l2 @Hind //
 103   ]
 104 qed.
 105
 106 (* If we are interested in representing finite sets as lists, is is convenient
 107 to avoid duplications of elements. The following uniqueb check this property. *)
 108
 109 (*************** unicity test *****************)
 110
 111 let rec uniqueb (S:DeqSet) l on l : bool ≝
 112   match l with
 113   [ nil ⇒ true
 114   | cons a tl ⇒ notb (memb S a tl) ∧ uniqueb S tl
 115   ].
 116
 117 (* unique_append l1 l2 add l1 in fornt of l2, but preserving unicity *)
 118
 119 let rec unique_append (S:DeqSet) (l1,l2: list S) on l1 ≝
 120   match l1 with
 121   [ nil ⇒ l2
 122   | cons a tl ⇒
 123      let r ≝ unique_append S tl l2 in
 124      if memb S a r then r else a::r
 125   ].
 126
 127 axiom unique_append_elim: ∀S:DeqSet.∀P: S → Prop.∀l1,l2.
 128 (∀x. memb S x l1 =\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 true → P x) → (∀x. memb S x l2 = true → P x) →
 129 ∀x. memb S x (unique_append S l1 l2) = true → P x.
 130
 131 lemma unique_append_unique: ∀S,l1,l2. uniqueb S l2 = true →
 132   uniqueb S (unique_append S l1 l2) = true.
 133 #S #l1 elim l1 normalize // #a #tl #Hind #l2 #uniquel2
 134 cases (true_or_false\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 … (memb S a (unique_append S tl l2)))
 135 #H >H normalize [@Hind //] >H normalize @Hind //
 136 qed.
 137
 138 (******************* sublist *******************)
 139 definition sublist ≝
 140   λS,l1,l2.∀a. memb S a l1 = true → memb S a l2 = true.
 141
 142 lemma sublist_length: ∀S,l1,l2.
 143  uniqueb S l1 = true → sublist S l1 l2 → |l1| ≤ |l2|.
 144 #S #l1 elim l1 //
 145 #a #tl #Hind #l2 #unique #sub
 146 cut (∃\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6l3,l4.l2=l3@(a::l4)) [@memb_exists @sub //]
 147 * #l3 * #l4 #eql2 >eql2 >length_append normalize
 148 applyS le_S_S <length_append @Hind [@(andb_true_r … unique)]
 149 >eql2 in sub; #sub #x #membx
 150 cases (memb_append … (sub x (orb_true_r2 … membx)))
 151   [#membxl3 @memb_append_l1 //
 152   |#membxal4 cases (orb_true_l … membxal4)
 153     [#eqxa @False_ind lapply (andb_true_l … unique)
 154      <(\P eqxa) >membx normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ |#membxl4 @memb_append_l2\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append_l2.def(5)"\ 6\ 5/a\ 6 //
 155     ]
 156   ]
 157 qed.
 158
 159 lemma sublist_unique_append_l1:
 160   ∀S,l1,l2. sublist S l1 (unique_append S l1 l2).
 161 #S #l1 elim l1 normalize [#l2 #S #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 162 #x #tl #Hind #l2 #a
 163 normalize cases (true_or_false … (a==x)) #eqax >eqax
 164 [<(\P eqax) cases (true_or_false (memb S a (unique_append S tl l2)))
 165   [#H >H normalize // | #H >H normalize >(\b (refl … a)) //]
 166 |cases (memb S x (unique_append S tl l2)) normalize
 167   [/\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ |>eqax normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 168 ]
 169 qed.
 170
 171 lemma sublist_unique_append_l2:
 172   ∀S,l1,l2. sublist S l2 (unique_append S l1 l2).
 173 #S #l1 elim l1 [normalize //] #x #tl #Hind normalize
 174 #l2 #a cases (memb S x (unique_append\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6\ 5/a\ 6 S tl l2)) normalize
 175 [@Hind | cases (a==x) normalize // @Hind]
 176 qed.
 177
 178 lemma decidable_sublist:∀S,l1,l2.
 179   (sublist S l1 l2) ∨ ¬(sublist S l1 l2).
 180 #S #l1 #l2 elim l1
 181   [%1 #a normalize in ⊢ (%→?); #abs @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 182   |#a #tl * #subtl
 183     [cases (true_or_false (memb S a l2)) #memba
 184       [%1 whd #x #membx cases (orb_true_l … membx)
 185         [#eqax >(\P eqax) // |@subtl]
 186       |%2 @(not_to_not … (eqnot_to_noteq … true memba)) #H1 @H1 @memb_hd
 187       ]
 188     |%2 @(not_to_not … subtl) #H1 #x #H2 @H1 @memb_cons\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_cons.def(5)"\ 6\ 5/a\ 6 //
 189     ]
 190   ]
 191 qed.
 192
 193 (********************* filtering *****************)
 194
 195 lemma filter_true: ∀S,f,a,l.
 196   memb S a (filter S f l) = true → f a = true.
 197 #S #f #a #l elim l [normalize #H @False_ind /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace absurd\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 198 #b #tl #Hind cases (true_or_false (f b)) #H
 199 normalize >H normalize [2:@Hind]
 200 cases (true_or_false (a==b)) #eqab
 201   [#_ >(\P eqab) // | >eqab normalize @Hind]
 202 qed.
 203
 204 lemma memb_filter_memb: ∀S,f,a,l.
 205   memb S a (filter S f l) = true → memb\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6\ 5/a\ 6 S a l = true.
 206 #S #f #a #l elim l [normalize //]
 207 #b #tl #Hind normalize (cases (f b)) normalize
 208 cases (a==b) normalize // @Hind
 209 qed.
 210
 211 lemma memb_filter: ∀S,f,l,x. memb S x (filter ? f l) = true →
 212 memb S x l = true ∧ (f x = true).
 213 /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace conj, filter_true, memb_filter_memb\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_filter_memb.def(5)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 214
 215 lemma memb_filter_l: ∀S,f,x,l. (f x = true) → memb S x l = true →
 216 memb S x (filter ? f l) = true.
 217 #S #f #x #l #fx elim l normalize //
 218 #b #tl #Hind cases (true_or_false (x==b)) #eqxb
 219   [<(\P eqxb) >(\b (refl … x)) >fx normalize >(\b (refl … x)) normalize //
 220   |>eqxb cases (f b) normalize [>eqxb normalize @Hind| @Hind]
 221   ]
 222 qed.
 223
 224 (********************* exists *****************)
 225
 226 let rec exists (A:Type[0]) (p:A → bool) (l:list A) on l : bool\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6\ 5/a\ 6 ≝
 227 match l with
 228 [ nil ⇒ false
 229 | cons h t ⇒ orb (p h) (exists A p t)
 230 ].