weblib/tutorial/chapter5.ma

   1 (* The fact of being able to decide, via a computable boolean function, the
   2 equality between elements of a given set is an essential prerequisite for
   3 effectively searching an element of that set inside a data structure. In this
   4 section we shall define several boolean functions acting on lists of elements in
   5 a DeqSet, and prove some of their properties.*)
   6
   7 include "basics/list.ma".
   8 include "tutorial/chapter4.ma".
   9
  10 (********* search *********)
  11
  12 let rec memb (S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6) (x:S) (l: \ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 S) on l  ≝
  13   match l with
  14   [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6
  15   | cons a tl ⇒ (x \ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6= a) \ 5a title="boolean or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 memb S x tl
  16   ].
  17
  18 notation < "\memb x l" non associative with precedence 90 for @{'memb $x $l}.
  19 interpretation "boolean membership" 'memb a l = (memb ? a l).
  20
  21 lemma memb_hd: ∀S,a,l. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  22 #S #a #l normalize >(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/proj2.def(2)"\ 6proj2\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/eqb_true.fix(0,0,4)"\ 6eqb_true\ 5/a\ 6 S …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 S a)) //
  23 qed.
  24
  25 lemma memb_cons: ∀S,a,b,l.
  26   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (b\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  27 #S #a #b #l normalize cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b) normalize //
  28 qed.
  29
  30 lemma memb_single: ∀S,a,x. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6x] \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x.
  31 #S #a #x normalize cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 … (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=x)) #H
  32   [#_ >(\P H) // |>H normalize #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
  33 qed.
  34
  35 lemma memb_append: ∀S,a,l1,l2.
  36 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
  37   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  38 #S #a #l1 elim l1 normalize [#l2 #H %2 //]
  39 #b #tl #Hind #l2 cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6orb_true_l\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  40 qed.
  41
  42 lemma memb_append_l1: ∀S,a,l1,l2.
  43  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  44 #S #a #l1 elim l1 normalize
  45   [normalize #le #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  46   |#b #tl #Hind #l2 cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  47   ]
  48 qed.
  49
  50 lemma memb_append_l2: ∀S,a,l1,l2.
  51  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l2\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  52 #S #a #l1 elim l1 normalize //
  53 #b #tl #Hind #l2 cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  54 qed.
  55
  56 lemma memb_exists: ∀S,a,l.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
  57   \ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6l1,l2.l\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6(a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l2).
  58 #S #a #l elim l [normalize #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
  59 #b #tl #Hind #H cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6orb_true_l\ 5/a\ 6 … H)
  60   [#eqba @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.con(0,1,1)"\ 6nil\ 5/a\ 6 S)) @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … tl) >(\P eqba) //
  61   |#mem_tl cases (Hind mem_tl) #l1 * #l2 #eqtl
  62    @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … (b\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l1)) @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … l2) >eqtl //
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 lemma not_memb_to_not_eq: ∀S,a,b,l.
  67  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S b l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
  68 #S #a #b #l cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b)) //
  69 #eqab >(\P eqab) #H >H #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  70 qed.
  71
  72 lemma memb_map: ∀S1,S2,f,a,l. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S1 a l\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
  73   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S2 (f a) (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 … f l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  74 #S1 #S2 #f #a #l elim l normalize [//]
  75 #x #tl #memba cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=x))
  76   [#eqx >eqx >(\P eqx) >(\b (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 … (f x))) normalize //
  77   |#eqx >eqx cases (f a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=f x) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  78   ]
  79 qed.
  80
  81 lemma memb_compose: ∀S1,S2,S3,op,a1,a2,l1,l2.
  82   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S1 a1 l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S2 a2 l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
  83   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S3 (op a1 a2) (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/compose.def(2)"\ 6compose\ 5/a\ 6 S1 S2 S3 op l1 l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
  84 #S1 #S2 #S3 #op #a1 #a2 #l1 elim l1 [normalize //]
  85 #x #tl #Hind #l2 #memba1 #memba2 cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6orb_true_l\ 5/a\ 6 … memba1)
  86   [#eqa1 >(\P eqa1) @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append_l1.def(5)"\ 6memb_append_l1\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_map.def(5)"\ 6memb_map\ 5/a\ 6 //
  87   |#membtl @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append_l2.def(5)"\ 6memb_append_l2\ 5/a\ 6 @Hind //
  88   ]
  89 qed.
  90
  91 (**************** unicity test *****************)
  92
  93 let rec uniqueb (S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6) l on l : \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 ≝
  94   match l with
  95   [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6
  96   | cons a tl ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/notb.def(1)"\ 6notb\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a tl) \ 5a title="boolean and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 uniqueb S tl
  97   ].
  98
  99 (* unique_append l1 l2 add l1 in fornt of l2, but preserving unicity *)
 100
 101 let rec unique_append (S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6) (l1,l2: \ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 S) on l1 ≝
 102   match l1 with
 103   [ nil ⇒ l2
 104   | cons a tl ⇒
 105      let r ≝ unique_append S tl l2 in
 106      if \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a r then r else a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:r
 107   ].
 108
 109 axiom unique_append_elim: ∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.∀P: S → Prop.∀l1,l2.
 110 (∀x. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → P x) → (∀x. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → P x) →
 111 ∀x. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S l1 l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → P x.
 112
 113 lemma unique_append_unique: ∀S,l1,l2. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/uniqueb.fix(0,1,5)"\ 6uniqueb\ 5/a\ 6 S l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 114   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/uniqueb.fix(0,1,5)"\ 6uniqueb\ 5/a\ 6 S (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S l1 l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 115 #S #l1 elim l1 normalize // #a #tl #Hind #l2 #uniquel2
 116 cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S tl l2)))
 117 #H >H normalize [@Hind //] >H normalize @Hind //
 118 qed.
 119
 120 (******************* sublist *******************)
 121 definition sublist ≝
 122   λS,l1,l2.∀a. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 123
 124 lemma sublist_length: ∀S,l1,l2.
 125  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/uniqueb.fix(0,1,5)"\ 6uniqueb\ 5/a\ 6 S l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/sublist.def(5)"\ 6sublist\ 5/a\ 6 S l1 l2 → \ 5a title="norm" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6|\ 5/a\ 6l1| \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a title="norm" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6|\ 5/a\ 6l2|.
 126 #S #l1 elim l1 //
 127 #a #tl #Hind #l2 #unique #sub
 128 cut (\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6l3,l4.l2\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6l3\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6(a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l4)) [@\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_exists.def(5)"\ 6memb_exists\ 5/a\ 6 @sub //]
 129 * #l3 * #l4 #eql2 >eql2 >\ 5a href="cic:/matita/basics/list/length_append.def(2)"\ 6length_append\ 5/a\ 6 normalize
 130 applyS \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S.def(2)"\ 6le_S_S\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/basics/list/length_append.def(2)"\ 6length_append\ 5/a\ 6 @Hind [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/andb_true_r.def(4)"\ 6andb_true_r\ 5/a\ 6 … unique)]
 131 >eql2 in sub; #sub #x #membx
 132 cases (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append.def(5)"\ 6memb_append\ 5/a\ 6 … (sub x (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_r2.def(3)"\ 6orb_true_r2\ 5/a\ 6 … membx)))
 133   [#membxl3 @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append_l1.def(5)"\ 6memb_append_l1\ 5/a\ 6 //
 134   |#membxal4 cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6orb_true_l\ 5/a\ 6 … membxal4)
 135     [#eqxa @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 lapply (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/andb_true_l.def(4)"\ 6andb_true_l\ 5/a\ 6 … unique)
 136      <(\P eqxa) >membx normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ |#membxl4 @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_append_l2.def(5)"\ 6memb_append_l2\ 5/a\ 6 //
 137     ]
 138   ]
 139 qed.
 140
 141 lemma sublist_unique_append_l1:
 142   ∀S,l1,l2. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/sublist.def(5)"\ 6sublist\ 5/a\ 6 S l1 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S l1 l2).
 143 #S #l1 elim l1 normalize [#l2 #S #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 144 #x #tl #Hind #l2 #a
 145 normalize cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 … (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=x)) #eqax >eqax
 146 [<(\P eqax) cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S tl l2)))
 147   [#H >H normalize // | #H >H normalize >(\b (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 … a)) //]
 148 |cases (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S tl l2)) normalize
 149   [/\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ |>eqax normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 150 ]
 151 qed.
 152
 153 lemma sublist_unique_append_l2:
 154   ∀S,l1,l2. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/sublist.def(5)"\ 6sublist\ 5/a\ 6 S l2 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S l1 l2).
 155 #S #l1 elim l1 [normalize //] #x #tl #Hind normalize
 156 #l2 #a cases (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/unique_append.fix(0,1,5)"\ 6unique_append\ 5/a\ 6 S tl l2)) normalize
 157 [@Hind | cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=x) normalize // @Hind]
 158 qed.
 159
 160 lemma decidable_sublist:∀S,l1,l2.
 161   (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/sublist.def(5)"\ 6sublist\ 5/a\ 6 S l1 l2) \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/sublist.def(5)"\ 6sublist\ 5/a\ 6 S l1 l2).
 162 #S #l1 #l2 elim l1
 163   [%1 #a normalize in ⊢ (%→?); #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 164   |#a #tl * #subtl
 165     [cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l2)) #memba
 166       [%1 whd #x #membx cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb_true_l.def(2)"\ 6orb_true_l\ 5/a\ 6 … membx)
 167         [#eqax >(\P eqax) // |@subtl]
 168       |%2 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/eqnot_to_noteq.def(4)"\ 6eqnot_to_noteq\ 5/a\ 6 … \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 memba)) #H1 @H1 @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_hd.def(5)"\ 6memb_hd\ 5/a\ 6
 169       ]
 170     |%2 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 … subtl) #H1 #x #H2 @H1 @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_cons.def(5)"\ 6memb_cons\ 5/a\ 6 //
 171     ]
 172   ]
 173 qed.
 174
 175 (********************* filtering *****************)
 176
 177 lemma filter_true: ∀S,f,a,l.
 178   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 S f l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → f a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 179 #S #f #a #l elim l [normalize #H @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/]
 180 #b #tl #Hind cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (f b)) #H
 181 normalize >H normalize [2:@Hind]
 182 cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b)) #eqab
 183   [#_ >(\P eqab) // | >eqab normalize @Hind]
 184 qed.
 185
 186 lemma memb_filter_memb: ∀S,f,a,l.
 187   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 S f l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S a l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 188 #S #f #a #l elim l [normalize //]
 189 #b #tl #Hind normalize (cases (f b)) normalize
 190 cases (a\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b) normalize // @Hind
 191 qed.
 192
 193 lemma memb_filter: ∀S,f,l,x. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 ? f l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 194 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 (f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6).
 195 /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/filter_true.def(5)"\ 6filter_true\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb_filter_memb.def(5)"\ 6memb_filter_memb\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 196
 197 lemma memb_filter_l: ∀S,f,x,l. (f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6) → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 198 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter5/memb.fix(0,2,4)"\ 6memb\ 5/a\ 6 S x (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 ? f l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
 199 #S #f #x #l #fx elim l normalize //
 200 #b #tl #Hind cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (x\ 5a title="eqb" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6=b)) #eqxb
 201   [<(\P eqxb) >(\b (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 … x)) >fx normalize >(\b (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 … x)) normalize //
 202   |>eqxb cases (f b) normalize [>eqxb normalize @Hind| @Hind]
 203   ]
 204 qed.
 205
 206 (********************* exists *****************)
 207
 208 let rec exists (A:Type[0]) (p:A → \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6) (l:\ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l : \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 ≝
 209 match l with
 210 [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6
 211 | cons h t ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/orb.def(1)"\ 6orb\ 5/a\ 6 (p h) (exists A p t)
 212 ].