weblib/tutorial/chapter8.ma

   1 include "tutorial/chapter7.ma".
   2
   3 definition lo ≝ λS:DeqSet.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a ∨ \snd b〉.
   4 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
   5 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
   6
   7 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b1,b2. 〈i1,b1〉⊕〈i2,b2〉=〈i1+i2,b1∨b2〉.
   8 // qed.
   9
  10 definition pre_concat_r ≝ λS:DeqSet.λi:pitem S.λe:pre S.
  11   match e with [ mk_Prod i1 b ⇒ 〈i · i1, b〉].
  12
  13 notation "i ◃ e" left associative with precedence 60 for @{'lhd $i $e}.
  14 interpretation "pre_concat_r" 'lhd i e = (pre_concat_r ? i e).
  15
  16 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:word S → Prop.
  17   A = B → A =1 B.
  18 #S #A #B #H >H /2/ qed.
  19
  20 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:pre S.
  21   \sem{i ◃ e} =1 \sem{i} · \sem{|\fst e|} ∪ \sem{e}.
  22 #S #i * #i1 #b1 cases b1 [2: @eq_to_ex_eq //]
  23 >sem_pre_true >sem_cat >sem_pre_true /2/
  24 qed.
  25
  26 definition pre_concat_l ≝ λS:DeqSet.λbcast:∀S:DeqSet.pitem S → pre S.λe1:pre S.λi2:pitem S.
  27   match e1 with
  28   [ mk_Prod i1 b1 ⇒ match b1 with
  29     [ true ⇒ (i1 ◃ (bcast ? i2))
  30     | false ⇒ 〈i1 · i2,false〉
  31     ]
  32   ].
  33
  34 notation "a ▹ b" left associative with precedence 60 for @{'tril eclose $a $b}.
  35 interpretation "item-pre concat" 'tril op a b = (pre_concat_l ? op a b).
  36
  37 notation "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
  38
  39 let rec eclose (S: DeqSet) (i: pitem S) on i : pre S ≝
  40  match i with
  41   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
  42   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
  43   | ps x ⇒ 〈 `.x, false〉
  44   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
  45   | po i1 i2 ⇒ •i1 ⊕ •i2
  46   | pc i1 i2 ⇒ •i1 ▹ i2
  47   | pk i ⇒ 〈(\fst (•i))^*,true〉].
  48
  49 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
  50 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
  51
  52 lemma eclose_plus: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
  53   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
  54 // qed.
  55
  56 lemma eclose_dot: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
  57   •(i1 · i2) = •i1 ▹ i2.
  58 // qed.
  59
  60 lemma eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
  61   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
  62 // qed.
  63
  64 definition lift ≝ λS.λf:pitem S →pre S.λe:pre S.
  65   match e with
  66   [ mk_Prod i b ⇒ 〈\fst (f i), \snd (f i) ∨ b〉].
  67
  68 definition preclose ≝ λS. lift S (eclose S).
  69 interpretation "preclose" 'eclose x = (preclose ? x).
  70
  71 (* theorem 16: 2 *)
  72 lemma sem_oplus: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S.
  73   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
  74 #S * #i1 #b1 * #i2 #b2 #w %
  75   [cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
  76   |cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
  77   ]
  78 qed.
  79
  80 lemma odot_true :
  81   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
  82   〈i1,true〉 ▹ i2 = i1 ◃ (•i2).
  83 // qed.
  84
  85 lemma odot_true_bis :
  86   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
  87   〈i1,true〉 ▹ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
  88 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
  89
  90 lemma odot_false:
  91   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
  92   〈i1,false〉 ▹ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
  93 // qed.
  94
  95 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
  96   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
  97 // qed.
  98
  99 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 100 #S #i elim i //
 101   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 102     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 103   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 104     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 105   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 106   ]
 107 qed.
 108
 109 (*
 110 lemma sem_eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 111   \sem{〈i^*,true〉} =1 \sem{〈i,false〉}·\sem{|i|}^* ∪ {ϵ}.
 112 /2/ qed.
 113 *)
 114
 115 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 116 lemma odot_dot_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 117    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 118    \sem{e1 ▹ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 119 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 120   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 121   |#H >odot_true >sem_pre_true @(eqP_trans … (sem_pre_concat_r …))
 122    >erase_bull @eqP_trans [|@(eqP_union_l … H)]
 123     @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@union_comm ]]
 124     @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc ] /3/
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma minus_eps_pre_aux: ∀S.∀e:pre S.∀i:pitem S.∀A.
 129  \sem{e} =1 \sem{i} ∪ A → \sem{\fst e} =1 \sem{i} ∪ (A - {[ ]}).
 130 #S #e #i #A #seme
 131 @eqP_trans [|@minus_eps_pre]
 132 @eqP_trans [||@eqP_union_r [|@eqP_sym @minus_eps_item]]
 133 @eqP_trans [||@distribute_substract]
 134 @eqP_substract_r //
 135 qed.
 136
 137 (* theorem 16: 1 *)
 138 theorem sem_bull: ∀S:DeqSet. ∀i:pitem S.  \sem{•i} =1 \sem{i} ∪ \sem{|i|}.
 139 #S #e elim e
 140   [#w normalize % [/2/ | * //]
 141   |/2/
 142   |#x normalize #w % [ /2/ | * [@False_ind | //]]
 143   |#x normalize #w % [ /2/ | * // ]
 144   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_dot
 145    @eqP_trans [|@odot_dot_aux //] >sem_cat
 146    @eqP_trans
 147      [|@eqP_union_r
 148        [|@eqP_trans [|@(cat_ext_l … IH1)] @distr_cat_r]]
 149    @eqP_trans [|@union_assoc]
 150    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 151    @eqP_union_l //
 152   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus
 153    @eqP_trans [|@sem_oplus] >sem_plus >erase_plus
 154    @eqP_trans [|@(eqP_union_l … IH2)]
 155    @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc]
 156    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r
 157    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 158    @eqP_trans [||@eqP_union_l [|@union_comm]]
 159    @eqP_trans [||@union_assoc] /2/
 160   |#i #H >sem_pre_true >sem_star >erase_bull >sem_star
 161    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@cat_ext_l [|@minus_eps_pre_aux //]]]
 162    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 163    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l >erase_star
 164    @eqP_sym @star_fix_eps
 165   ]
 166 qed.
 167
 168 (* blank item *)
 169 let rec blank (S: DeqSet) (i: re S) on i :pitem S ≝
 170  match i with
 171   [ z ⇒ `∅
 172   | e ⇒ ϵ
 173   | s y ⇒ `y
 174   | o e1 e2 ⇒ (blank S e1) + (blank S e2)
 175   | c e1 e2 ⇒ (blank S e1) · (blank S e2)
 176   | k e ⇒ (blank S e)^* ].
 177
 178 lemma forget_blank: ∀S.∀e:re S.|blank S e| = e.
 179 #S #e elim e normalize //
 180 qed.
 181
 182 lemma sem_blank: ∀S.∀e:re S.\sem{blank S e} =1 ∅.
 183 #S #e elim e
 184   [1,2:@eq_to_ex_eq //
 185   |#s @eq_to_ex_eq //
 186   |#e1 #e2 #Hind1 #Hind2 >sem_cat
 187    @eqP_trans [||@(union_empty_r … ∅)]
 188    @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@Hind2]] @eqP_union_r
 189    @eqP_trans [||@(cat_empty_l … ?)] @cat_ext_l @Hind1
 190   |#e1 #e2 #Hind1 #Hind2 >sem_plus
 191    @eqP_trans [||@(union_empty_r … ∅)]
 192    @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@Hind2]] @eqP_union_r @Hind1
 193   |#e #Hind >sem_star
 194    @eqP_trans [||@(cat_empty_l … ?)] @cat_ext_l @Hind
 195   ]
 196 qed.
 197
 198 theorem re_embedding: ∀S.∀e:re S.
 199   \sem{•(blank S e)} =1 \sem{e}.
 200 #S #e @eqP_trans [|@sem_bull] >forget_blank
 201 @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@sem_blank]]
 202 @eqP_trans [|@union_comm] @union_empty_r.
 203 qed.
 204
 205 (* lefted operations *)
 206 definition lifted_cat ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 207   lift S (pre_concat_l S eclose e).
 208
 209 notation "e1 ⊙ e2" left associative with precedence 70 for @{'odot $e1 $e2}.
 210
 211 interpretation "lifted cat" 'odot e1 e2 = (lifted_cat ? e1 e2).
 212
 213 lemma odot_true_b : ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b.
 214   〈i1,true〉 ⊙ 〈i2,b〉 = 〈i1 · (\fst (•i2)),\snd (•i2) ∨ b〉.
 215 #S #i1 #i2 #b normalize in ⊢ (??%?); cases (•i2) //
 216 qed.
 217
 218 lemma odot_false_b : ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b.
 219   〈i1,false〉 ⊙ 〈i2,b〉 = 〈i1 · i2 ,b〉.
 220 //
 221 qed.
 222
 223 lemma erase_odot:∀S.∀e1,e2:pre S.
 224   |\fst (e1 ⊙ e2)| = |\fst e1| · (|\fst e2|).
 225 #S * #i1 * * #i2 #b2 // >odot_true_b >erase_dot //
 226 qed.
 227
 228 definition lk ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 229   match e with
 230   [ mk_Prod i1 b1 ⇒
 231     match b1 with
 232     [true ⇒ 〈(\fst (eclose ? i1))^*, true〉
 233     |false ⇒ 〈i1^*,false〉
 234     ]
 235   ].
 236
 237 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $a}.*)
 238 interpretation "lk" 'lk a = (lk ? a).
 239 notation "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $a}.
 240
 241
 242 lemma ostar_true: ∀S.∀i:pitem S.
 243   〈i,true〉^⊛ = 〈(\fst (•i))^*, true〉.
 244 // qed.
 245
 246 lemma ostar_false: ∀S.∀i:pitem S.
 247   〈i,false〉^⊛ = 〈i^*, false〉.
 248 // qed.
 249
 250 lemma erase_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 251   |\fst (e^⊛)| = |\fst e|^*.
 252 #S * #i * // qed.
 253
 254 lemma sem_odot_true: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 255   \sem{e1 ⊙ 〈i,true〉} =1 \sem{e1 ▹ i} ∪ { [ ] }.
 256 #S #e1 #i
 257 cut (e1 ⊙ 〈i,true〉 = 〈\fst (e1 ▹ i), \snd(e1 ▹ i) ∨ true〉) [//]
 258 #H >H cases (e1 ▹ i) #i1 #b1 cases b1
 259   [>sem_pre_true @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 260    @eqP_union_l /2/
 261   |/2/
 262   ]
 263 qed.
 264
 265 lemma eq_odot_false: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 266   e1 ⊙ 〈i,false〉 = e1 ▹ i.
 267 #S #e1 #i
 268 cut (e1 ⊙ 〈i,false〉 = 〈\fst (e1 ▹ i), \snd(e1 ▹ i) ∨ false〉) [//]
 269 cases (e1 ▹ i) #i1 #b1 cases b1 #H @H
 270 qed.
 271
 272 lemma sem_odot:
 273   ∀S.∀e1,e2: pre S. \sem{e1 ⊙ e2} =1 \sem{e1}· \sem{|\fst e2|} ∪ \sem{e2}.
 274 #S #e1 * #i2 *
 275   [>sem_pre_true
 276    @eqP_trans [|@sem_odot_true]
 277    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r @odot_dot_aux //
 278   |>sem_pre_false >eq_odot_false @odot_dot_aux //
 279   ]
 280 qed.
 281
 282 (* theorem 16: 4 *)
 283 theorem sem_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 284   \sem{e^⊛} =1  \sem{e} · \sem{|\fst e|}^*.
 285 #S * #i #b cases b
 286   [>sem_pre_true >sem_pre_true >sem_star >erase_bull
 287    @eqP_trans [|@eqP_union_r[|@cat_ext_l [|@minus_eps_pre_aux //]]]
 288    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 289    @eqP_trans [||@eqP_sym @distr_cat_r]
 290    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l
 291    @eqP_trans [||@eqP_sym @epsilon_cat_l] @eqP_sym @star_fix_eps
 292   |>sem_pre_false >sem_pre_false >sem_star /2/
 293   ]
 294 qed.